2164:
1582:
2159:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}
43:
423:
1145:
2255:
3015:
1391:
184:
2834:
799:
953:
2187:
2846:
1448:
in nature. If bosonic, then the + sign is always chosen, if fermionic then the sign will depend on the number of operator interchanges necessary to achieve the proper time ordering. Note that the statistical factors do not enter here.
2560:
601:
2375:
2839:
Note that the evolution operators over the "past" time intervals appears on the right side of the product. We see that the formula is analogous to the identity above satisfied by the exponential, and we may write
1217:
418:{\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}
517:
1587:
2707:
1534:
usually indicates the coordinate dependent time-like index of the spacetime point. Note that the time-ordering is usually written with the time argument increasing from right to left.
1140:{\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}
612:
2672:
3070:
3042:
2250:{\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}}
918:
894:
172:
3010:{\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}
1202:
1175:
2596:
1414:
2699:
1532:
1505:
1478:
1438:
2389:
2646:
1452:
Since the operators depend on their location in spacetime (i.e. not just time) this time-ordering operation is only coordinate independent if operators at
523:
2299:
3128:
1386:{\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}
126:
64:
60:
31:
442:
107:
3147:
79:
30:
This article is about rearranging a product of operators in physics. For the well-orderings on mathematical terms, see
86:
2829:{\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}
53:
829:
794:{\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}
93:
3152:
1417:
849:
75:
2651:
2265:
865:
820:
is not simply expressed as a product, but as a function of another operator, we must first perform a
3051:
3023:
2211:
1006:
899:
875:
153:
3081:
845:
140:
2381:
817:
1180:
1153:
3124:
2568:
1399:
837:
821:
2677:
2555:{\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }
1510:
1483:
1463:
100:
3116:
2174:
1423:
921:
853:
3048:
above were time-ordered, too (and operators do not commute in general) and the operator
2601:
3141:
1457:
925:
148:
596:{\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}
17:
3092:
3087:
2268:
is an example of a time-ordered product. The S-matrix, transforming the state at
920:
is often called the "time-ordering operator", strictly speaking it is neither an
2287:
825:
433:
42:
2370:{\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}
1453:
175:
848:, and because the contour is closed, the Wilson loop must be defined as a
3097:
2283:
2261:
833:
174:) that orders a product of operators according to the value of a chosen
2290:. We obtain a time-ordered expression because of the following reason:
1445:
804:
In many fields of physics, the most common type of path-ordering is
3020:
The only subtlety we had to include was the time-ordering operator
1441:
2598:
is the evolution operator over an infinitesimal time interval
1576:
the time-ordered product of operators are defined as follows:
36:
3057:
3029:
2918:
2858:
1592:
1223:
959:
905:
881:
618:
190:
159:
2243:
1133:
844:
that determines the ordering is a parameter describing the
947:) that depend on spacetime locations x and y we define:
2648:. The higher order terms can be neglected in the limit
2293:
We start with this simple formula for the exponential
512:{\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}
3054:
3026:
2849:
2710:
2680:
2654:
2604:
2571:
2392:
2302:
2190:
1585:
1513:
1486:
1466:
1426:
1402:
1220:
1183:
1156:
956:
902:
878:
615:
526:
445:
187:
156:
872:product of operators. This operation is denoted by
67:. Unsourced material may be challenged and removed.
3064:
3036:
3009:
2828:
2693:
2666:
2640:
2590:
2554:
2369:
2249:
2158:
1526:
1499:
1472:
1432:
1408:
1385:
1196:
1169:
1139:
912:
888:
793:
595:
511:
417:
166:
2316:
1208:scalar time-coordinates of the points x and y.
3072:ensures that this ordering will be preserved.
832:to guarantee that the Wilson loop encodes the
8:
3123:, Vol. 3, Cambridge University Press, 1995,
3044:because the factors in the product defining
1681:
1597:
506:
482:
476:
452:
824:of this function. This is the case of the
3056:
3055:
3053:
3028:
3027:
3025:
2968:
2967:
2958:
2957:
2948:
2943:
2917:
2916:
2902:
2892:
2878:
2857:
2856:
2848:
2803:
2802:
2795:
2786:
2772:
2751:
2743:
2724:
2715:
2709:
2685:
2679:
2653:
2603:
2582:
2570:
2537:
2512:
2490:
2465:
2440:
2415:
2391:
2358:
2343:
2319:
2301:
2235:
2228:
2219:
2206:
2189:
2141:
2136:
2121:
2116:
2098:
2093:
2078:
2073:
2058:
2053:
2038:
2033:
1995:
1990:
1975:
1970:
1948:
1937:
1922:
1897:
1892:
1877:
1872:
1854:
1849:
1834:
1829:
1814:
1809:
1794:
1789:
1762:
1757:
1736:
1731:
1716:
1711:
1695:
1672:
1659:
1643:
1630:
1617:
1604:
1591:
1590:
1586:
1584:
1518:
1512:
1491:
1485:
1465:
1425:
1401:
1347:
1334:
1288:
1275:
1222:
1221:
1219:
1188:
1182:
1161:
1155:
1121:
1108:
1099:
1057:
1044:
1035:
1001:
958:
957:
955:
904:
903:
901:
880:
879:
877:
773:
754:
735:
716:
689:
670:
651:
632:
617:
616:
614:
582:
577:
556:
551:
536:
531:
525:
444:
401:
396:
381:
376:
358:
353:
338:
333:
318:
313:
298:
293:
272:
259:
243:
230:
217:
204:
189:
188:
186:
158:
157:
155:
127:Learn how and when to remove this message
27:Procedure of ordering a product operators
3109:
2993:
2733:
2282:, can also be thought of as a kind of "
1460:. This is why it is necessary to use
808:, which is discussed in detail below.
436:that orders the parameters by value:
7:
65:adding citations to reliable sources
2893:
2888:
2326:
25:
2667:{\displaystyle \varepsilon \to 0}
1440:depends on if the operators are
41:
1537:In general, for the product of
52:needs additional citations for
3084:(essentially the same concept)
3065:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
3037:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
2985:
2973:
2964:
2820:
2808:
2799:
2764:
2752:
2658:
2635:
2629:
2617:
2605:
2546:
2524:
2521:
2499:
2496:
2477:
2474:
2452:
2449:
2427:
2424:
2402:
2323:
2200:
2194:
2149:
2129:
2106:
2086:
2066:
2046:
2026:
2020:
2009:
1963:
1905:
1885:
1862:
1842:
1822:
1802:
1782:
1776:
1770:
1704:
1678:
1665:
1649:
1636:
1623:
1610:
1377:
1371:
1365:
1359:
1353:
1327:
1318:
1312:
1306:
1300:
1294:
1268:
1254:
1248:
1242:
1236:
1094:
1088:
1082:
1076:
1030:
1024:
1018:
1012:
990:
984:
978:
972:
913:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
889:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
785:
779:
766:
760:
747:
741:
728:
722:
701:
695:
682:
676:
663:
657:
644:
638:
479:
409:
389:
366:
346:
326:
306:
278:
265:
249:
236:
223:
210:
167:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
32:Path ordering (term rewriting)
1:
2380:Now consider the discretized
3121:The Quantum Theory of Fields
2169:where the sum runs all over
3169:
29:
1197:{\displaystyle \tau _{y}}
1170:{\displaystyle \tau _{x}}
868:it is useful to take the
2237:for fermionic operators.
2181:degree permutations and
830:path-ordered exponential
828:, which is defined as a
2591:{\displaystyle 1+h_{j}}
2230:sign of the permutation
1418:Heaviside step function
1409:{\displaystyle \theta }
147:is the procedure (or a
3066:
3038:
3011:
2897:
2830:
2695:
2668:
2642:
2592:
2556:
2371:
2251:
2221:for bosonic operators,
2160:
1959:
1528:
1501:
1474:
1434:
1410:
1387:
1198:
1171:
1141:
914:
890:
795:
597:
513:
419:
168:
3067:
3039:
3012:
2874:
2831:
2696:
2694:{\displaystyle h_{j}}
2669:
2643:
2593:
2557:
2372:
2252:
2161:
1933:
1529:
1527:{\displaystyle t_{0}}
1502:
1500:{\displaystyle t_{0}}
1475:
1473:{\displaystyle \tau }
1435:
1411:
1388:
1199:
1172:
1142:
915:
891:
796:
598:
514:
420:
169:
3148:Quantum field theory
3052:
3024:
2847:
2708:
2678:
2652:
2602:
2569:
2390:
2300:
2286:", analogous to the
2266:quantum field theory
2188:
1583:
1511:
1484:
1464:
1433:{\displaystyle \pm }
1424:
1400:
1218:
1181:
1154:
954:
900:
876:
866:quantum field theory
613:
524:
443:
185:
154:
61:improve this article
18:Time-ordered product
3082:Ordered exponential
2771:
1211:Explicitly we have
141:theoretical physics
3062:
3034:
3007:
2826:
2739:
2691:
2664:
2638:
2588:
2552:
2382:evolution operator
2367:
2330:
2247:
2242:
2156:
2154:
1927:
1700:
1524:
1497:
1470:
1430:
1406:
1383:
1194:
1167:
1137:
1132:
931:For two operators
910:
886:
791:
593:
509:
415:
164:
2997:
2976:
2811:
2737:
2351:
2315:
2238:
2231:
2222:
1918:
1691:
1456:separated points
1102:
1038:
137:
136:
129:
111:
16:(Redirected from
3160:
3132:
3114:
3071:
3069:
3068:
3063:
3061:
3060:
3043:
3041:
3040:
3035:
3033:
3032:
3016:
3014:
3013:
3008:
3003:
2999:
2998:
2996:
2988:
2978:
2977:
2969:
2959:
2953:
2952:
2922:
2921:
2912:
2908:
2907:
2906:
2896:
2891:
2862:
2861:
2835:
2833:
2832:
2827:
2813:
2812:
2804:
2791:
2790:
2770:
2750:
2738:
2736:
2725:
2720:
2719:
2700:
2698:
2697:
2692:
2690:
2689:
2673:
2671:
2670:
2665:
2647:
2645:
2644:
2641:{\displaystyle }
2639:
2597:
2595:
2594:
2589:
2587:
2586:
2561:
2559:
2558:
2553:
2545:
2544:
2520:
2519:
2495:
2494:
2473:
2472:
2448:
2447:
2423:
2422:
2376:
2374:
2373:
2368:
2363:
2362:
2357:
2353:
2352:
2344:
2329:
2281:
2274:
2256:
2254:
2253:
2248:
2246:
2245:
2239:
2236:
2232:
2229:
2223:
2220:
2165:
2163:
2162:
2157:
2155:
2148:
2147:
2146:
2145:
2128:
2127:
2126:
2125:
2105:
2104:
2103:
2102:
2085:
2084:
2083:
2082:
2065:
2064:
2063:
2062:
2045:
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