3593:
2961:
3588:{\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}
4131:
1846:
481:
3941:
512:
2954:
177:
2411:
2039:
1700:
262:
2625:
2266:
2795:
2336:
1816:
1758:
3844:
2728:
matrices of sizes 2, 4 and 8. It is important to note, that the ordering R of
Hadamard matrix’s rows (against the Sylvester-Hadamard matrix) does not depend on the vector
2095:
1311:
47:
1546:
1510:
346:
282:
83:
3688:
2437:
2141:
109:
4016:
3625:
2469:
341:
3721:
2500:
4117:
4067:
3969:
3839:
3793:
3767:
2859:
2821:
2726:
2651:
2121:
1931:
1474:
4041:
3648:
2696:
1905:
1874:
1839:
1592:
1569:
1446:
1400:
1370:
1341:
4087:
3989:
3813:
3741:
3668:
2766:
2746:
2673:
1420:
2340:
2864:
4265:
4210:
4187:
114:
4200:
2273:
1936:
1597:
3691:
2440:
182:
2509:
2150:
485:
2824:
2771:
2147:
whose rows (except the first one) are rearranged relative to the rows of
Sylvester-Hadamard matrix in order
4130:
1763:
1705:
3769:
matrix are mutually orthogonal. As can be seen from the figure above, the first row of the resulting
49:
4149:
1373:
4136:
2044:
476:{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}
26:
4296:
4261:
4206:
4183:
4154:
1515:
1479:
285:
267:
55:
4281:
4232:
4144:
3673:
2422:
2126:
1344:
88:
4246:
3994:
3598:
2447:
1907:
matrices gives the possibility to create matrix with mutually orthogonal rows and columns (
314:
4242:
3697:
2503:
2476:
2144:
4096:
4046:
3948:
3818:
3772:
3746:
2838:
2800:
2705:
2630:
2100:
1910:
1451:
4023:
3630:
2678:
1887:
1856:
1821:
1574:
1551:
1428:
1382:
1352:
1323:
4072:
3974:
3815:
without transpositions and sign change. Taking into consideration that the rows of the
3798:
3726:
3653:
2751:
2731:
2658:
1405:
4237:
4220:
4290:
3936:{\displaystyle Trs(X).X=\left\|X\right\|^{2}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
2506:, which rows are interchanged against the Sylvester-Hadamard matrix in given order
288:
1933:
matrix ) by changing the sign to an odd number of elements in every one of fours
4196:
292:
143:
1845:
1476:
fours of elements with the same values of the diagonal elements. In example if
1376:, i.e. it is symmetric with respect to the northeast-to-southwest diagonal too.
4126:
111:, which elements are obtained from the elements of given n-dimensional vector
4257:
Determination of a
Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications
2949:{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\end{pmatrix}}^{T}}
2268:, for which the rows of the resulting Trs matrix are mutually orthogonal.
2702:
Orderings R of
Hadamard matrix’s rows were obtained experimentally for
172:{\displaystyle X=(x_{i})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\end{smallmatrix}}}
4260:. Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29–45.
3991:, from which it is derived, in the direction of the coordinate axis
4020:
In are given as examples code of a Matlab functions that creates
1844:
303:/2 transpositions between every two rows or columns of the matrix
1880:
Transpositions matrix with mutually orthogonal rows (Trs matrix)
291:" (XOR). The rows and columns of Transpositions matrix consists
3723:
is
Hadamard matrix, which rows are interchanged in given order
1548:
are two arbitrary selected elements from the same column q of
2406:{\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}
4093:= 2, 4, or, 8. Stay open question is it possible to create
4282:
http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html
2823:
matrix (obtained as it was described above) is matrix of
1853:
The figure on the right shows some fours of elements in
3898:
3360:
3145:
3024:
2880:
361:
4099:
4075:
4049:
4026:
3997:
3977:
3951:
3847:
3821:
3801:
3775:
3749:
3729:
3700:
3676:
3656:
3633:
3601:
2964:
2867:
2841:
2835:
Transpositions matrix with mutually orthogonal rows (
2803:
2774:
2754:
2734:
2708:
2681:
2661:
2633:
2512:
2479:
2450:
2425:
2343:
2276:
2153:
2129:
2103:
2047:
2034:{\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}
1939:
1913:
1890:
1859:
1824:
1766:
1708:
1695:{\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}
1600:
1577:
1554:
1518:
1482:
1454:
1431:
1408:
1385:
1355:
1326:
488:
349:
317:
270:
185:
117:
91:
58:
29:
1818:. This property, named “Tr-property” is specific to
4111:
4081:
4061:
4035:
4010:
3983:
3963:
3935:
3833:
3807:
3787:
3761:
3735:
3715:
3682:
3662:
3642:
3619:
3587:
2948:
2853:
2815:
2789:
2760:
2740:
2720:
2690:
2667:
2645:
2619:
2494:
2463:
2431:
2405:
2330:
2260:
2135:
2115:
2089:
2033:
1925:
1899:
1868:
1833:
1810:
1752:
1694:
1586:
1563:
1540:
1504:
1468:
1440:
1414:
1394:
1364:
1335:
1305:
475:
335:
276:
256:
171:
103:
77:
41:
257:{\displaystyle Tr_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}}
1402:matrix consists all n elements of given vector
4170:Matrix Algebra from Statistician’s Perspective
2620:{\displaystyle R=^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in }
2261:{\displaystyle R=^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in }
311:The figure below shows Transpositions matrix
8:
4182:(2nd ed.), Cambridge University Press,
4178:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013),
3795:matrix contains the elements of the vector
2123:matrix using Hadamard product, (denoted by
4221:"Hadamard matrices of the Williamson type"
343:of order 8, created from arbitrary vector
4236:
4098:
4074:
4048:
4025:
4002:
3996:
3976:
3950:
3893:
3887:
3846:
3820:
3800:
3774:
3748:
3728:
3699:
3675:
3655:
3632:
3600:
3571:
3556:
3541:
3529:
3515:
3503:
3488:
3473:
3459:
3444:
3432:
3417:
3403:
3391:
3379:
3367:
3355:
3338:
3326:
3314:
3302:
3288:
3276:
3264:
3252:
3238:
3226:
3214:
3202:
3188:
3176:
3164:
3152:
3140:
3019:
2963:
2940:
2926:
2913:
2900:
2887:
2875:
2866:
2840:
2802:
2773:
2753:
2733:
2707:
2680:
2675:is the vector from which the elements of
2660:
2632:
2593:
2574:
2561:
2551:
2532:
2511:
2478:
2455:
2449:
2424:
2397:
2384:
2368:
2357:
2342:
2275:
2234:
2215:
2202:
2192:
2173:
2152:
2128:
2102:
2046:
2016:
1994:
1972:
1950:
1938:
1912:
1889:
1858:
1823:
1796:
1774:
1765:
1738:
1716:
1707:
1677:
1655:
1633:
1611:
1599:
1576:
1553:
1526:
1517:
1490:
1481:
1458:
1453:
1430:
1407:
1384:
1354:
1325:
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1277:
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1253:
1241:
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1217:
1205:
1191:
1179:
1167:
1155:
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1119:
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911:
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701:
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677:
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653:
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617:
603:
591:
579:
567:
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519:
511:
487:
459:
446:
433:
420:
407:
394:
381:
368:
356:
348:
316:
269:
212:
193:
184:
152:
141:
131:
116:
90:
69:
57:
28:
2097:. In is offered algorithm for creating
1702:, for which are satisfied the equations
4219:Baumert, L. D.; Hall, Marshall (1965).
3841:matrix are mutually orthogonal, we get
2790:{\displaystyle \parallel X\parallel =1}
2331:{\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}
1594:matrix consists one fours of elements
7:
3743:for which the rows of the resulting
2627:for which the rows of the resulting
4119:matrices of size, greater than 8.
14:
4238:10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2
4202:An Introduction to Linear Algebra
2471:is n-dimensional Identity matrix.
2143:) of Tr matrix and n-dimensional
1811:{\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}
1753:{\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}
142:
4129:
2861:matrix) of order 4 for vector
2831:Example of obtaining Trs matrix
2653:matrix are mutually orthogonal.
4205:, Courier Dover Publications,
3883:
3877:
3863:
3857:
3710:
3704:
3614:
3608:
3013:
3007:
2995:
2989:
2980:
2974:
2775:
2614:
2602:
2558:
2519:
2489:
2483:
2325:
2319:
2310:
2304:
2292:
2286:
2255:
2243:
2199:
2160:
2084:
2072:
2028:
1940:
1849:Fours of elements in Tr matrix
1689:
1601:
501:
495:
330:
324:
243:
231:
225:
213:
138:
124:
1:
3650:matrix, obtained from vector
1379:Every one row and column of
2748:. Has been proven that, if
2090:{\displaystyle p,q,u,v\in }
1306:{\displaystyle Tr(X)=\left}
4313:
3971:matrix rotates the vector
1884:The property of fours of
42:{\displaystyle n\times n}
4254:Zhelezov, O. I. (2021).
4167:Harville, D. A. (1997).
1541:{\displaystyle Tr_{u,q}}
1505:{\displaystyle Tr_{p,q}}
277:{\displaystyle \oplus }
78:{\displaystyle n=2^{m}}
4113:
4083:
4063:
4037:
4012:
3985:
3965:
3937:
3835:
3809:
3789:
3763:
3737:
3717:
3684:
3683:{\displaystyle \circ }
3664:
3644:
3621:
3589:
2950:
2855:
2817:
2791:
2762:
2742:
2722:
2692:
2669:
2647:
2621:
2496:
2465:
2433:
2432:{\displaystyle \circ }
2407:
2332:
2262:
2137:
2136:{\displaystyle \circ }
2117:
2091:
2035:
1927:
1901:
1870:
1850:
1835:
1812:
1754:
1696:
1588:
1565:
1542:
1506:
1470:
1442:
1416:
1396:
1366:
1337:
1307:
477:
337:
295:of elements of vector
278:
258:
173:
105:
104:{\displaystyle m\in N}
79:
43:
4114:
4084:
4064:
4038:
4013:
4011:{\displaystyle x_{1}}
3986:
3966:
3945:which means that the
3938:
3836:
3810:
3790:
3764:
3738:
3718:
3685:
3665:
3645:
3622:
3620:{\displaystyle Tr(X)}
3590:
2951:
2856:
2818:
2792:
2768:is unit vector (i.e.
2763:
2743:
2723:
2693:
2670:
2648:
2622:
2497:
2466:
2464:{\displaystyle I_{n}}
2434:
2408:
2333:
2263:
2138:
2118:
2092:
2036:
1928:
1902:
1871:
1848:
1836:
1813:
1755:
1697:
1589:
1566:
1543:
1507:
1471:
1443:
1417:
1397:
1367:
1338:
1308:
478:
338:
336:{\displaystyle Tr(X)}
279:
259:
174:
106:
80:
44:
4097:
4073:
4069:matrices for vector
4047:
4024:
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3975:
3949:
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3799:
3773:
3747:
3727:
3716:{\displaystyle H(R)}
3698:
3690:" denotes operation
3674:
3654:
3631:
3599:
2962:
2865:
2839:
2801:
2772:
2752:
2732:
2706:
2679:
2659:
2631:
2510:
2495:{\displaystyle H(R)}
2477:
2448:
2439:" denotes operation
2423:
2341:
2274:
2151:
2127:
2101:
2045:
1937:
1911:
1888:
1857:
1822:
1764:
1706:
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