1218:
2879:
733:
2113:
2501:
1213:{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}}
1726:
2874:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}
2108:{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}}
2485:
27:
2262:
1715:
590:
1477:
714:
367:
176:
1731:
1567:
2480:{\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}
1365:
249:
738:
1583:
436:
470:
1379:
611:
278:
3016:
95:
1505:
2934:
2991:
1286:
188:
1710:{\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.}
381:
464:
representation, as an alternative to the ones given above, may be derived from the series representation:
2982:
373:
20:
2905:
2123:
270:
1278:
2900:
1371:
86:
2248:
at rational arguments can be expressed in terms of trigonometric functions and logarithm by the
2987:
2930:
2252:. A similar result holds for the trigamma function but the circular functions are replaced by
2959:
2895:
2253:
2249:
2245:
1241:
724:
596:
585:{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}
266:
461:
45:
2950:
Mező, István (2013). "Some infinite sums arising from the
Weierstrass Product Theorem".
2890:
720:
449:
3010:
3001:
2995:
1472:{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}
53:
2963:
709:{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}
44:, in a rectangular region of the complex plane. It is generated using the
362:{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}
2198:
quickly and their imaginary part increases slowly logarithmic with
1720:
Moreover, the trigamma function has the following special values:
171:{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}
25:
1562:{\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}
26:
1360:{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}
3002:
Trigamma
Function -- from MathWorld--A Wolfram Web Resource
1911:
1808:
1749:
1541:
1523:
2504:
2265:
1729:
1586:
1508:
1382:
1289:
736:
614:
473:
384:
281:
191:
98:
244:{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}
2495:The trigamma function appears in this sum formula:
2873:
2479:
2107:
1709:
1561:
1471:
1359:
1212:
708:
584:
430:
361:
243:
170:
2682:
2657:
2637:
2612:
2142:, but there exist infinitely many pairs of roots
776:
512:
511:
19:For Barnes's gamma function of 3 variables, see
441:Note that the last two formulas are valid when
30:Color representation of the trigamma function,
1577:At positive half integer values we have that
8:
725:asymptotic expansion of the digamma function
723:can be obtained via the derivative of the
269:. It may also be defined as the sum of the
2856:
2821:
2812:
2798:
2792:
2774:
2765:
2750:
2740:
2725:
2704:
2681:
2680:
2668:
2656:
2655:
2649:
2636:
2635:
2623:
2611:
2610:
2604:
2587:
2572:
2563:
2542:
2533:
2526:
2520:
2509:
2503:
2452:
2442:
2436:
2435:
2409:
2389:
2373:
2362:
2335:
2317:
2303:
2297:
2280:
2270:
2264:
2093:
2084:
2072:
2061:
2043:
2037:
2015:
1990:
1984:
1962:
1939:
1933:
1910:
1900:
1881:
1875:
1853:
1836:
1830:
1807:
1797:
1775:
1748:
1738:
1730:
1728:
1695:
1670:
1664:
1653:
1632:
1626:
1608:
1591:
1585:
1547:
1540:
1522:
1513:
1507:
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1439:
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1006:
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969:
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893:
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804:
767:
745:
737:
735:
699:
680:
662:
655:
649:
644:
619:
613:
575:
568:
534:
528:
522:
517:
505:
500:
478:
472:
431:{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}
389:
383:
347:
325:
319:
308:
286:
280:
214:
196:
190:
141:
127:
121:
103:
97:
2986:, (1964) Dover Publications, New York.
2980:Milton Abramowitz and Irene A. Stegun,
2927:Structural properties of polylogarithms
2917:
2133:There are no roots on the real axis of
1482:which immediately gives the value for
2168:. Each such pair of roots approaches
182:It follows from this definition that
7:
1277:The trigamma function satisfies the
2952:Applied Mathematics and Computation
595:using the formula for the sum of a
2983:Handbook of Mathematical Functions
2521:
1273:Recurrence and reflection formulae
948:
894:
816:
773:
769:
320:
156:
14:
2929:. American Mathematical Society.
2240:Relation to the Clausen function
372:making it a special case of the
1790:
2386:
2374:
2343:
2326:
2223:= −1.4455692... + 0.6992608...
2210:= −0.4121345... + 0.5978119...
2027:
2021:
1974:
1968:
1865:
1859:
1692:
1676:
1534:
1519:
1427:
1421:
1405:
1393:
1334:
1328:
1312:
1300:
757:
751:
631:
625:
562:
550:
490:
484:
422:
410:
401:
395:
344:
331:
298:
292:
238:
232:
208:
202:
165:
159:
115:
109:
1:
2228:are the first two roots with
719:An asymptotic expansion as a
3017:Gamma and related functions
3033:
18:
2964:10.1016/j.amc.2013.03.122
2925:Lewin, L., ed. (1991).
2130:is a positive integer.
85:, is the second of the
2875:
2525:
2481:
2398:
2109:
2083:
1711:
1669:
1563:
1473:
1361:
1214:
952:
898:
820:
710:
586:
432:
363:
324:
245:
172:
49:
2876:
2505:
2482:
2358:
2110:
2057:
1712:
1649:
1564:
1474:
1362:
1215:
932:
878:
800:
711:
587:
433:
374:Hurwitz zeta function
364:
304:
246:
173:
29:
21:triple gamma function
16:Mathematical function
2502:
2263:
1727:
1584:
1506:
1380:
1287:
734:
612:
471:
382:
279:
189:
96:
89:, and is defined by
3000:Eric W. Weisstein.
1279:recurrence relation
654:
599:. Integration over
527:
510:
87:polygamma functions
2906:Catalan's constant
2901:Polygamma function
2871:
2477:
2254:Clausen's function
2124:Catalan's constant
2105:
2103:
1920:
1817:
1758:
1707:
1559:
1557:
1532:
1469:
1372:reflection formula
1357:
1210:
1208:
706:
640:
582:
513:
496:
428:
359:
241:
168:
50:
2958:(18): 9838–9846.
2861:
2834:
2831:
2830:
2787:
2784:
2783:
2735:
2734:
2714:
2710:
2678:
2677:
2633:
2632:
2593:
2580:
2550:
2468:
2439:
2428:
2347:
2288:
2099:
2052:
1999:
1948:
1919:
1890:
1845:
1816:
1757:
1702:
1641:
1616:
1556:
1531:
1466:
1355:
1201:
1176:
1151:
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1051:
1026:
1001:
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873:
848:
781:
697:
566:
354:
227:
148:
58:trigamma function
3024:
2968:
2967:
2947:
2941:
2940:
2922:
2896:Digamma function
2880:
2878:
2877:
2872:
2867:
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2857:
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2822:
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2816:
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2788:
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2756:
2755:
2754:
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2726:
2715:
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2705:
2691:
2687:
2686:
2685:
2679:
2673:
2669:
2661:
2660:
2654:
2653:
2641:
2640:
2634:
2628:
2624:
2616:
2615:
2609:
2608:
2594:
2592:
2591:
2586:
2582:
2581:
2573:
2568:
2567:
2552:
2551:
2543:
2538:
2537:
2527:
2524:
2519:
2486:
2484:
2483:
2478:
2473:
2469:
2464:
2453:
2447:
2446:
2441:
2440:
2437:
2433:
2429:
2424:
2410:
2397:
2393:
2372:
2348:
2346:
2339:
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2321:
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2307:
2298:
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2289:
2281:
2275:
2274:
2246:digamma function
2235:
2227:
2214:
2201:
2197:
2196:
2194:
2193:
2190:
2187:
2167:
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2158:
2141:
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2121:
2114:
2112:
2111:
2106:
2104:
2100:
2098:
2097:
2085:
2082:
2071:
2053:
2048:
2047:
2038:
2020:
2019:
2000:
1995:
1994:
1985:
1967:
1966:
1949:
1944:
1943:
1934:
1925:
1921:
1912:
1905:
1904:
1891:
1886:
1885:
1876:
1858:
1857:
1846:
1841:
1840:
1831:
1822:
1818:
1809:
1802:
1801:
1780:
1779:
1763:
1759:
1750:
1743:
1742:
1716:
1714:
1713:
1708:
1703:
1701:
1700:
1699:
1671:
1668:
1663:
1642:
1637:
1636:
1627:
1622:
1618:
1617:
1609:
1596:
1595:
1568:
1566:
1565:
1560:
1558:
1552:
1551:
1542:
1533:
1524:
1518:
1517:
1501:
1499:
1498:
1495:
1492:
1478:
1476:
1475:
1470:
1467:
1465:
1455:
1454:
1444:
1443:
1434:
1420:
1419:
1392:
1391:
1366:
1364:
1363:
1358:
1356:
1354:
1353:
1341:
1327:
1326:
1299:
1298:
1268:
1267:
1265:
1264:
1261:
1258:
1242:Bernoulli number
1239:
1233:
1219:
1217:
1216:
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1200:
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926:
925:
910:
909:
900:
897:
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