2911:
1795:
3433:
is needed to explain the relation between local and global truncation errors. Linear multistep methods that satisfy the condition of zero-stability have the same relation between local and global errors as one-step methods. In other words, if a linear multistep method is zero-stable and consistent,
2550:
3320:
1499:
2463:
2073:
3093:
2906:{\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}
979:
151:
2323:
825:
1881:
Sometimes it is possible to calculate an upper bound on the global truncation error, if we already know the local truncation error. This requires our increment function be sufficiently well-behaved.
365:
509:
2555:
1504:
1871:
609:
1107:
3429:
The relation between local and global truncation errors is slightly different from in the simpler setting of one-step methods. For linear multistep methods, an additional concept called
276:
3112:
1790:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}}
1392:
3487:
3424:
1225:
1041:
2334:
3536:
3365:
3653:
1890:
1293:
697:
647:
217:
2922:
1418:
1133:
2174:
2147:
1491:
1464:
395:
181:
1015:
2530:
2510:
2486:
2120:
2100:
1333:
1313:
1250:
1157:
1061:
717:
667:
532:
3846:
3557:
1804:
if global truncation error goes to zero as the step size goes to zero; in other words, the numerical solution converges to the exact solution:
833:
3787:
2488:
in the differential equation is continuous in the first argument and
Lipschitz continuous in the second argument (the condition from the
2182:
54:
2512:
is continuous in all arguments and
Lipschitz continuous in the second argument, then the global error tends to zero as the step size
722:
2489:
3810:
284:
403:
1807:
541:
3802:
3779:
1066:
3315:{\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).}
3581:
Gupta, G. K.; Sacks-Davis, R.; Tischer, P. E. (March 1985). "A review of recent developments in solving ODEs".
669:, causes during a single iteration, assuming perfect knowledge of the true solution at the previous iteration.
222:
1338:
2541:
719:
is computed from the difference between the left- and the right-hand side of the equation for the increment
3590:
3437:
3374:
2458:{\displaystyle |e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).}
3826:
3552:
23:
1162:
1020:
3102:
iterates. Thus, in the definition for the local truncation error, it is now assumed that the previous
1436:
over all of the iterations, assuming perfect knowledge of the true solution at the initial time step.
2079:
3492:
3328:
2068:{\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.}
1253:
if for any sufficiently smooth solution of the initial value problem, the local truncation error is
3595:
3623:
1256:
3088:{\displaystyle y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}
675:
625:
3806:
3783:
3547:
1136:
186:
3600:
3562:
1397:
1112:
2152:
2125:
1469:
1442:
373:
159:
991:
2078:
This follows immediately from the definitions. Now assume that the increment function is
2532:
approaches zero (in other words, the numerical method converges to the exact solution).
3831:
3434:
then it converges. And if a linear multistep method is zero-stable and has local error
3430:
2515:
2495:
2471:
2105:
2085:
1318:
1298:
1235:
1142:
1046:
702:
652:
517:
3840:
3771:
3743:, p. 337, uses a different definition, dividing this by essentially by
2468:
It follows from the above bound for the global error that if the function
2916:
Thus, the next value for the numerical solution is computed according to
974:{\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).}
3604:
3098:
The next iterate of a linear multistep method depends on the previous
3426:. The definition of the global truncation error is also unchanged.
2318:{\displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.}
3776:
A First Course in the
Numerical Analysis of Differential Equations
146:{\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}
1884:
The global truncation error satisfies the recurrence relation:
1159:
is continuous, then the method is consistent if, and only if,
278:. For simplicity, assume the time steps are equally spaced:
820:{\displaystyle y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)}
2082:
in the second argument, that is, there exists a constant
1877:
Relationship between local and global truncation errors
360:{\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.}
504:{\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).}
3626:
3495:
3440:
3377:
3331:
3115:
2925:
2553:
2518:
2498:
2474:
2337:
2185:
2155:
2128:
2108:
2088:
1893:
1810:
1502:
1472:
1445:
1400:
1341:
1321:
1301:
1259:
1238:
1165:
1145:
1115:
1069:
1049:
1023:
994:
836:
725:
705:
678:
655:
628:
544:
538:, and can be interpreted as an estimate of the slope
520:
406:
376:
287:
225:
189:
162:
57:
48:Suppose we have a continuous differential equation
3827:Notes on truncation errors and Runge-Kutta methods
3647:
3530:
3481:
3418:
3359:
3314:
3087:
2905:
2524:
2504:
2480:
2457:
2317:
2168:
2141:
2114:
2094:
2067:
1865:
1789:
1485:
1458:
1412:
1386:
1327:
1307:
1287:
1244:
1230:Furthermore, we say that the numerical method has
1219:
1151:
1127:
1101:
1055:
1035:
1009:
973:
819:
711:
691:
661:
641:
603:
526:
503:
389:
359:
270:
211:
175:
145:
2038:
1931:
1775:
1590:
39:– the cumulative error caused by many iterations.
2365:
1866:{\displaystyle \lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0}
1828:
1812:
604:{\displaystyle {\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}
3106:iterates all correspond to the exact solution:
2891:
2704:
8:
1439:More formally, the global truncation error,
1102:{\displaystyle |\tau _{n}|<\varepsilon h}
672:More formally, the local truncation error,
3755:
3740:
3728:
3716:
3692:
3680:
3664:
3617:
2328:Then the global error satisfies the bound
649:is the error that our increment function,
3637:
3631:
3625:
3594:
3558:Numerical ordinary differential equations
3519:
3500:
3494:
3464:
3445:
3439:
3401:
3382:
3376:
3336:
3330:
3291:
3266:
3250:
3240:
3229:
3204:
3188:
3172:
3161:
3139:
3120:
3114:
3067:
3048:
3032:
3022:
3011:
2989:
2979:
2963:
2952:
2930:
2924:
2890:
2889:
2880:
2867:
2851:
2817:
2792:
2770:
2748:
2729:
2713:
2703:
2702:
2694:
2680:
2670:
2639:
2623:
2598:
2582:
2563:
2554:
2552:
2517:
2497:
2473:
2430:
2417:
2406:
2401:
2378:
2368:
2361:
2353:
2347:
2338:
2336:
2307:
2301:
2288:
2279:
2268:
2247:
2207:
2186:
2184:
2160:
2154:
2133:
2127:
2107:
2087:
2050:
2037:
2036:
2015:
2002:
1965:
1946:
1930:
1929:
1917:
1898:
1892:
1852:
1846:
1837:
1831:
1815:
1809:
1774:
1773:
1746:
1727:
1684:
1671:
1634:
1621:
1599:
1589:
1588:
1576:
1550:
1534:
1511:
1503:
1501:
1477:
1471:
1450:
1444:
1399:
1372:
1357:
1351:
1342:
1340:
1320:
1300:
1270:
1258:
1237:
1164:
1144:
1114:
1085:
1079:
1070:
1068:
1048:
1022:
993:
938:
913:
882:
860:
841:
835:
790:
771:
743:
730:
724:
704:
683:
677:
654:
633:
627:
580:
558:
545:
543:
519:
471:
452:
424:
411:
405:
381:
375:
311:
298:
286:
271:{\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}}
262:
243:
230:
224:
200:
188:
167:
161:
137:
117:
101:
56:
156:and we wish to compute an approximation
33:– the error caused by one iteration, and
3704:
3676:
3573:
1387:{\displaystyle |\tau _{n}|<Ch^{p+1}}
16:Errors arising in numerical integration
3799:An Introduction to Numerical Analysis
2536:Extension to linear multistep methods
7:
3482:{\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}
3419:{\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}
1295:(meaning that there exist constants
3797:Süli, Endre; Mayers, David (2003),
3325:Again, the method is consistent if
397:with a one-step method of the form
3847:Numerical integration (quadrature)
3832:Truncation error of Euler's method
3489:, then its global error satisfies
2402:
14:
1220:{\displaystyle A(t,y,0,f)=f(t,y)}
1036:{\displaystyle \varepsilon >0}
988:if the local truncation error is
370:Suppose we compute the sequence
2693:
326:
126:
90:
3531:{\displaystyle e_{n}=O(h^{p})}
3525:
3512:
3476:
3457:
3413:
3394:
3360:{\displaystyle \tau _{n}=o(h)}
3354:
3348:
3306:
3303:
3284:
3259:
3216:
3197:
3151:
3132:
3079:
3041:
2886:
2860:
2835:
2785:
2760:
2722:
2492:), and the increment function
2436:
2410:
2354:
2339:
2308:
2280:
2269:
2265:
2234:
2225:
2194:
2187:
2033:
1995:
1986:
1971:
1958:
1939:
1853:
1838:
1819:
1770:
1720:
1702:
1664:
1652:
1614:
1582:
1569:
1540:
1527:
1358:
1343:
1282:
1263:
1214:
1202:
1193:
1169:
1086:
1071:
1004:
998:
965:
950:
931:
906:
894:
875:
866:
853:
814:
764:
592:
573:
564:
551:
495:
445:
206:
193:
107:
94:
84:
72:
1:
1139:). If the increment function
3648:{\displaystyle \tau _{n}/h}
1432:is the accumulation of the
1017:(this means that for every
3863:
3803:Cambridge University Press
3780:Cambridge University Press
1288:{\displaystyle O(h^{p+1})}
692:{\displaystyle \tau _{n}}
642:{\displaystyle \tau _{n}}
3667:, pp. 321 & 322
1800:The numerical method is
984:The numerical method is
212:{\displaystyle y(t_{n})}
37:global truncation errors
2544:, given by the formula
2542:linear multistep method
2490:Picard–Lindelöf theorem
1430:global truncation error
1424:Global truncation error
219:at discrete time steps
31:local truncation errors
3756:Süli & Mayers 2003
3741:Süli & Mayers 2003
3729:Süli & Mayers 2003
3717:Süli & Mayers 2003
3693:Süli & Mayers 2003
3681:Süli & Mayers 2003
3665:Süli & Mayers 2003
3649:
3618:Süli & Mayers 2003
3532:
3483:
3420:
3361:
3316:
3245:
3183:
3089:
3027:
2974:
2907:
2526:
2506:
2482:
2459:
2319:
2170:
2143:
2116:
2096:
2069:
1867:
1791:
1487:
1460:
1434:local truncation error
1414:
1413:{\displaystyle h<H}
1388:
1329:
1309:
1289:
1246:
1221:
1153:
1129:
1128:{\displaystyle h<H}
1103:
1057:
1037:
1011:
975:
821:
713:
693:
663:
643:
621:local truncation error
615:Local truncation error
605:
528:
505:
391:
361:
272:
213:
177:
147:
3655:the truncation error.
3650:
3620:, p. 317, calls
3553:Numerical integration
3533:
3484:
3421:
3362:
3317:
3225:
3157:
3090:
3007:
2948:
2908:
2527:
2507:
2483:
2460:
2320:
2171:
2169:{\displaystyle y_{2}}
2144:
2142:{\displaystyle y_{1}}
2117:
2097:
2070:
1868:
1792:
1488:
1486:{\displaystyle t_{n}}
1461:
1459:{\displaystyle e_{n}}
1415:
1389:
1330:
1310:
1290:
1247:
1222:
1154:
1130:
1104:
1058:
1038:
1012:
976:
822:
714:
694:
664:
644:
606:
529:
506:
392:
390:{\displaystyle y_{n}}
362:
273:
214:
183:of the true solution
178:
176:{\displaystyle y_{n}}
148:
24:numerical integration
3624:
3493:
3438:
3375:
3329:
3113:
2923:
2551:
2516:
2496:
2472:
2335:
2183:
2153:
2126:
2106:
2086:
2080:Lipschitz continuous
1891:
1808:
1500:
1470:
1443:
1398:
1339:
1319:
1299:
1257:
1236:
1163:
1143:
1113:
1067:
1047:
1021:
1010:{\displaystyle o(h)}
992:
834:
723:
703:
676:
653:
626:
542:
518:
404:
374:
285:
223:
187:
160:
55:
3645:
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