2699:
2088:
431:
2420:
1851:
216:
3088:
2308:
1665:
2694:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u)&\leq {\begin{cases}{\frac {4}{9}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}&r+u\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4}{3}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r+u\leq {\sqrt {8/3}}\rho \end{cases}}.\end{aligned}}}
2083:{\displaystyle \mathbb {P} (X-\mu \geq r)\leq {\begin{cases}{\dfrac {4}{9}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}&{\mbox{for }}r^{2}\geq {\dfrac {5}{3}}\sigma ^{2},\\{\dfrac {4}{3}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}-{\dfrac {1}{3}}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
3242:
1185:
426:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\begin{cases}{\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}&r\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r\leq {\sqrt {8/3}}\rho .\\\end{cases}}\end{aligned}}}
1508:
2899:
2141:
1344:
1513:
1098:
1707:
2412:
3104:
2904:
2425:
2146:
221:
877:
2757:
182:
3099:
799:
122:
687:
1105:
616:
1054:
2824:
1409:
1025:
1817:
999:
3391:
Dharmadhikari, S.W. and Joag-Dev, K., 1986. The Gauss–Tchebyshev inequality for unimodal distributions. Theory of
Probability & Its Applications, 30(4), pp.867-871.
517:
3083:{\displaystyle {\begin{aligned}P(|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left\{{\frac {s\tau _{k}-r^{k}}{(s-1)r^{k}}},\left^{k}{\frac {\tau _{k}}{r^{k}}}\right\}\\\end{aligned}}}
2783:
2133:
1843:
1384:
1233:
543:
459:
573:
208:
923:
750:
1790:
972:
3297:
3271:
825:
642:
2892:
2872:
2844:
2303:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (X-\mu \geq r)&=\mathbb {P} ((X+u)-\mu \geq r+u)\\&\leq \mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u).\\\end{aligned}}}
1770:
1404:
1364:
1253:
1213:
952:
479:
94:
1258:
1660:{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left({\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}},{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}\right).}
3427:
3432:
1059:
1670:
2316:
1752:
An improved version of the
Vysochanskij-Petunin inequality for one-sided tail bounds exists. For a unimodal random variable
1195:
For a relatively elementary proof see. The rough idea behind the proof is that there are two cases: one where the mode of
830:
1740:(i.e. 95%) of the values of a process output. Without unimodality Chebyshev's inequality would give a looser bound of
2854:
Dharmadhikari and Joag-Dev generalised the VP inequality to deviations from an arbitrary point and moments of order
2707:
3314:
3237:{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{k}=E\left(|X-\alpha |^{k}\right),s>(k+1),s(s-k-1)^{k}=k^{k}\end{aligned}}}
127:
1718:
760:
49:
2106:
2094:
99:
48:, or equivalently an upper bound for the probability that it lies further away. The sole restrictions on the
1180:{\displaystyle \operatorname {Pr} (\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2}}}.}
647:
583:
3351:
3308:
1030:
482:
1503:{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}}
3400:
D. F. Vysochanskij, Y. I. Petunin (1980). "Justification of the 3σ rule for unimodal distributions".
2788:
2497:
1889:
269:
1721:
by including the factor of 4/9, made possible by the condition that the distribution be unimodal.
1004:
3412:
1795:
977:
41:
17:
2097:, can for instance be relevant in the financial area, in the sense of "how bad can losses get."
496:
3374:
65:
53:
2762:
2112:
1822:
1369:
1218:
522:
444:
3366:
552:
187:
882:
692:
1775:
957:
33:
3276:
3250:
1732:, corresponding to an upper probability bound of 4/81= 0.04938..., and to construct
804:
621:
2877:
2857:
2829:
1755:
1389:
1349:
1339:{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}}
1238:
1198:
937:
464:
79:
45:
3421:
1725:
23:
29:
3370:
3334:
2704:
As in the proof of
Cantelli's inequality, it can be shown that the minimum of
3413:
Report (on cancer diagnosis) by
Petunin and others stating theorem in English
3378:
3352:"A one-sided Vysochanskii-Petunin inequality with financial applications"
57:
37:
64:
implies that it is a continuous probability distribution except at the
3311:, a similar result for the distance from the mode rather than the mean
2093:
The one-sided
Vysochanskij-Petunin inequality, as well as the related
1845:, the one-sided Vysochanskij-Petunin inequality holds as follows:
3247:
The standard form of the inequality can be recovered by setting
2313:
575:, the left-hand side can equal one, so the bound is useless.
2680:
2076:
1093:{\textstyle \lambda >{\sqrt {\frac {8}{3}}}=1.63299...,}
415:
1702:{\displaystyle {\frac {r}{\rho }}={\sqrt {\frac {8}{3}}}}
2407:{\displaystyle \rho ^{2}=\mathbb {E} =u^{2}+\sigma ^{2}}
879:
and is otherwise distributed uniformly in the interval
689:
and is otherwise distributed uniformly in the interval
2067:
1948:
1062:
3279:
3253:
3102:
2902:
2880:
2860:
2832:
2791:
2765:
2710:
2423:
2319:
2144:
2115:
2053:
2009:
1997:
1968:
1905:
1893:
1854:
1825:
1798:
1778:
1758:
1673:
1516:
1412:
1392:
1372:
1352:
1261:
1241:
1221:
1201:
1108:
1033:
1007:
980:
960:
940:
885:
833:
807:
763:
695:
650:
624:
586:
555:
525:
499:
467:
447:
219:
190:
130:
102:
96:
be a random variable with unimodal distribution, and
82:
3291:
3265:
3236:
3082:
2886:
2866:
2838:
2818:
2777:
2751:
2693:
2406:
2302:
2127:
2082:
1837:
1811:
1784:
1764:
1701:
1659:
1502:
1398:
1378:
1358:
1338:
1247:
1227:
1207:
1179:
1092:
1048:
1019:
993:
966:
946:
917:
872:{\displaystyle {\frac {4}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}}
871:
819:
793:
744:
681:
636:
610:
567:
537:
511:
473:
453:
425:
202:
176:
116:
88:
3402:Theory of Probability and Mathematical Statistics
3350:Mercadier, Mathieu; Strobel, Frank (2021-11-16).
3317:, a similar result for the Bernoulli distribution
2944:
1557:
2846:and simplifying yields the desired inequality.
2752:{\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}}
8:
3335:Pukelsheim, F., 1994. The Three Sigma Rule.
177:{\displaystyle \rho ={\sqrt {\mathbb {E} }}}
3278:
3252:
3224:
3211:
3148:
3143:
3128:
3111:
3103:
3101:
3063:
3053:
3047:
3041:
3019:
3002:
2975:
2962:
2952:
2927:
2913:
2903:
2901:
2879:
2859:
2831:
2808:
2802:
2790:
2764:
2740:
2717:
2711:
2709:
2664:
2659:
2635:
2623:
2600:
2594:
2584:
2567:
2562:
2539:
2516:
2510:
2500:
2492:
2465:
2436:
2429:
2428:
2424:
2422:
2398:
2385:
2369:
2334:
2333:
2324:
2318:
2273:
2244:
2237:
2236:
2183:
2182:
2150:
2149:
2145:
2143:
2114:
2066:
2052:
2039:
2026:
2015:
2008:
1996:
1983:
1967:
1958:
1947:
1935:
1922:
1911:
1904:
1892:
1884:
1856:
1855:
1853:
1824:
1803:
1797:
1777:
1757:
1728:and other statistical heuristics, to set
1687:
1674:
1672:
1639:
1627:
1612:
1602:
1590:
1575:
1565:
1540:
1526:
1515:
1490:
1478:
1463:
1453:
1436:
1422:
1411:
1391:
1371:
1351:
1327:
1312:
1302:
1285:
1271:
1260:
1240:
1220:
1200:
1165:
1152:
1107:
1069:
1061:
1032:
1006:
985:
979:
959:
939:
894:
884:
859:
847:
834:
832:
806:
794:{\displaystyle 1\leq r\leq {\sqrt {8/3}}}
781:
776:
762:
722:
704:
694:
670:
657:
649:
623:
598:
593:
585:
554:
524:
498:
466:
446:
396:
391:
373:
361:
346:
336:
319:
314:
297:
282:
272:
264:
247:
233:
220:
218:
189:
163:
140:
139:
137:
129:
110:
109:
101:
81:
68:, which may have a non-zero probability.
3359:European Journal of Operational Research
3327:
117:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
2105:The proof is very similar to that of
1724:It is common, in the construction of
1709:, the two cases give the same value.
682:{\displaystyle 1-{\frac {4}{3r^{2}}}}
7:
930:Specialization to mean and variance
611:{\displaystyle r\geq {\sqrt {8/3}}}
493:Without loss of generality, assume
1510:. Combining these two cases gives
14:
3273:which leads to a unique value of
1049:{\displaystyle r=\lambda \sigma }
40:lies within a certain number of
2819:{\displaystyle u=\sigma ^{2}/r}
3208:
3189:
3180:
3168:
3144:
3129:
2995:
2983:
2938:
2928:
2914:
2910:
2737:
2724:
2620:
2607:
2536:
2523:
2482:
2466:
2462:
2453:
2441:
2437:
2433:
2375:
2366:
2356:
2344:
2341:
2338:
2290:
2274:
2270:
2261:
2249:
2245:
2241:
2223:
2202:
2190:
2187:
2172:
2154:
1878:
1860:
1551:
1541:
1527:
1523:
1447:
1437:
1423:
1419:
1296:
1286:
1272:
1268:
1146:
1115:
974:and finite, non-zero variance
437:Relation to Gauss's inequality
258:
248:
234:
230:
169:
160:
147:
144:
1:
2826:. Plugging in this value of
1406:, in which case we can show
1346:, and one where the mode of
1255:, in which case we can show
1020:{\displaystyle \alpha =\mu }
28:gives a lower bound for the
1812:{\displaystyle \sigma ^{2}}
994:{\displaystyle \sigma ^{2}}
3449:
3428:Probabilistic inequalities
3371:10.1016/j.ejor.2021.02.041
3315:Rule of three (statistics)
801:, the bound is tight when
618:, the bound is tight when
436:
3337:The American Statistician
512:{\displaystyle \alpha =0}
481:yields the first case of
3433:Statistical inequalities
2778:{\displaystyle u\geq 0}
2128:{\displaystyle u\geq 0}
1838:{\displaystyle r\geq 0}
1379:{\displaystyle \alpha }
1228:{\displaystyle \alpha }
538:{\displaystyle \rho =1}
454:{\displaystyle \alpha }
3293:
3267:
3238:
3084:
2888:
2868:
2840:
2820:
2779:
2753:
2695:
2408:
2304:
2129:
2084:
1839:
1813:
1786:
1766:
1719:Chebyshev's inequality
1703:
1661:
1504:
1400:
1380:
1360:
1340:
1249:
1229:
1209:
1181:
1094:
1050:
1021:
995:
968:
948:
919:
873:
821:
795:
746:
683:
638:
612:
569:
568:{\displaystyle r<1}
539:
513:
475:
455:
427:
204:
203:{\displaystyle r>0}
178:
118:
90:
3294:
3268:
3239:
3085:
2889:
2869:
2841:
2821:
2780:
2754:
2696:
2409:
2305:
2130:
2107:Cantelli's inequality
2085:
1840:
1814:
1787:
1767:
1704:
1662:
1505:
1401:
1381:
1361:
1341:
1250:
1230:
1210:
1182:
1095:
1051:
1022:
996:
969:
949:
920:
918:{\displaystyle \left}
874:
822:
796:
747:
745:{\displaystyle \left}
684:
639:
613:
570:
540:
514:
476:
456:
428:
205:
179:
119:
91:
3277:
3251:
3100:
2900:
2878:
2858:
2830:
2789:
2763:
2708:
2421:
2317:
2142:
2113:
1852:
1823:
1796:
1785:{\displaystyle \mu }
1776:
1756:
1717:The theorem refines
1671:
1514:
1410:
1390:
1370:
1350:
1259:
1239:
1219:
1199:
1106:
1060:
1031:
1005:
978:
967:{\displaystyle \mu }
958:
938:
883:
831:
805:
761:
693:
648:
622:
584:
553:
523:
497:
465:
445:
217:
188:
128:
100:
80:
3292:{\displaystyle s=4}
3266:{\displaystyle k=2}
2095:Cantelli inequality
1056:gives that for any
820:{\displaystyle X=r}
637:{\displaystyle X=0}
461:equal to a mode of
42:standard deviations
3309:Gauss's inequality
3289:
3263:
3234:
3232:
3080:
3078:
2884:
2864:
2836:
2816:
2775:
2749:
2691:
2689:
2679:
2404:
2300:
2298:
2125:
2080:
2075:
2071:
2062:
2047:
2006:
1977:
1952:
1943:
1902:
1835:
1809:
1782:
1762:
1699:
1657:
1500:
1396:
1376:
1356:
1336:
1245:
1225:
1205:
1177:
1090:
1046:
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