703:
962:
544:
1128:
301:
405:
1232:
698:{\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}
762:
1391:
1296:
1016:
98:
533:
1453:
185:
312:
1151:
1550:
1519:
1485:
957:{\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}\ }
1582:
1503:
1511:
1328:
1320:
1123:{\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }
1237:
41:
753:
461:
1463:
1398:
1577:
1316:
1462:
states that for all ε > 0, the pair (ε,1/2+ε) is an exponent pair. This conjecture implies the
728:
gives a class of estimates for functions with a particular smoothness property. Fix parameters
296:{\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq b-a\ .}
1546:
1515:
1481:
400:{\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt {H}}}\ .}
1556:
1525:
1491:
1560:
1542:
1529:
1495:
108:
21:
1571:
1478:
The
Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications
1508:
Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis
1510:. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 84. Providence, RI:
1537:
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006).
1227:{\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}
32:
which relate the sums into simpler sums which are easier to estimate.
423:
defined in terms of the derivative of f. Suppose that
1301:
A trivial bound shows that (0,1) is an exponent pair.
1401:
1331:
1240:
1154:
1019:
765:
547:
464:
315:
188:
44:
35:
The processes apply to exponential sums of the form
1386:{\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}
1447:
1385:
1290:
1226:
1122:
956:
697:
527:
399:
295:
92:
616:
131:To apply process A, write the first difference
708:Applying Process B again to the sum involving
8:
1291:{\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}
1437:
1426:
1400:
1368:
1341:
1330:
1275:
1255:
1245:
1239:
1184:
1160:
1159:
1153:
1111:
1101:
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1080:
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1029:
1024:
1018:
936:
867:
818:
775:
770:
764:
657:
646:
641:
619:
603:
568:
557:
552:
546:
463:
371:
336:
325:
320:
314:
252:
230:
219:
214:
204:
193:
187:
60:
49:
43:
24:. The method applies two processes, the
1480:. New York etc.: John Wiley & Sons.
1304:The set of exponents pairs is convex.
998:if for each σ > 0 there exists δ and
93:{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }
415:Process B transforms the sum involving
716:and so yields no further information.
528:{\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}
7:
978:We say that a pair of real numbers (
1448:{\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}
1234:. By Process B we find that so is
748:defined on an interval which are
14:
1148:) is an exponent pair then so is
447:' is invertible on with inverse
1315:) is an exponent pair then the
1434:
1408:
1358:
1335:
1140:By Process A we find that if (
1064:
1061:
1055:
1049:
926:
914:
908:
896:
857:
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678:
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510:
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495:
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474:
468:
419:into one involving a function
360:
357:
351:
345:
267:
264:
258:
245:
84:
81:
75:
69:
1:
1512:American Mathematical Society
427:is monotone increasing with
1539:Handbook of number theory I
744:,δ. We consider functions
1599:
26:van der Corput processes A
1476:Ivić, Aleksandar (1985).
1460:exponent pair conjecture
712:returns to the sum over
20:generates estimates for
18:van der Corput's method
1583:Analytic number theory
1449:
1387:
1292:
1228:
1124:
1045:
967:uniformly on for 0 ≤
958:
699:
662:
573:
529:
455:'' ≥ λ > 0. Write
451:say. Further suppose
401:
341:
297:
241:
209:
94:
65:
1450:
1388:
1317:Riemann zeta function
1307:It is known that if (
1293:
1229:
1125:
1025:
959:
700:
642:
553:
530:
402:
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189:
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1017:
763:
545:
462:
313:
186:
42:
1504:Montgomery, Hugh L.
1464:Lindelöf hypothesis
752:times continuously
1445:
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1288:
1224:
1120:
954:
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525:
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293:
107:is a sufficiently
90:
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1179:
1119:
1095:
953:
691:
615:
613:
612:
521:
393:
389:
388:
289:
119:) denotes exp(2πi
89:
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1564:
1533:
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300:
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270:
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256:
240:
229:
208:
203:
167:Assume there is
99:
97:
96:
91:
87:
64:
59:
22:exponential sums
16:In mathematics,
1598:
1597:
1593:
1592:
1591:
1589:
1588:
1587:
1568:
1567:
1553:
1543:Springer-Verlag
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1502:
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1075:
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183:
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109:smooth function
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754:differentiable
726:exponent pairs
724:The method of
721:
720:Exponent pairs
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705:
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1541:. Dordrecht:
1540:
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1321:critical line
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1011:
1010:,σ such that
1009:
1005:
1002:depending on
1001:
997:
996:exponent pair
993:
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