1729:
1429:
1724:{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}}
6920:
50:
3923:
3429:
3059:
5545:
2274:
181:
This article first discusses the finite-dimensional case and its applications before considering compact operators on infinite-dimensional
Hilbert spaces. We will see that for compact operators, the proof of the main theorem uses essentially the same idea from the finite-dimensional argument.
5853:
3680:
6268:
6164:
3118:
2779:
5388:
5133:
2410:
1413:
5292:
2050:
4887:
4480:
5696:
4993:
4666:
3918:{\displaystyle {\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}}
4014:
3570:
4554:
4365:
4243:
2717:
1941:
5307:
is the spectrum without isolated eigenvalues of finite multiplicity. Sometimes we have some eigenvalues below the essential spectrum, and we would like to approximate the eigenvalues and eigenfunctions.
7038:
702:
6956:
3622:
2508:
5684:
5376:
4781:
3685:
2458:
1434:
854:
566:
1869:
319:
6049:
902:
5918:
5610:
7873:
1304:
4142:
1202:
408:
1080:
6173:
6069:
6002:
3424:{\displaystyle \beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},}
6949:
3054:{\displaystyle \beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.}
7975:
6809:
621:
5974:
1789:
1135:
5540:{\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}}
1980:
4080:
7608:
804:
6942:
5012:
2285:
1228:
1007:
6472:
5171:
1759:
1309:
933:
1100:
975:
955:
772:
752:
732:
514:
494:
474:
2269:{\displaystyle \sigma _{k}^{\uparrow }=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}
6635:
7613:
7386:
5848:{\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}}
4792:
4376:
8036:
7960:
6762:
6617:
3628:
is infinite-dimensional, the above sequence of eigenvalues is necessarily infinite. We now apply the same reasoning as in the matrix case. Letting
338:. Clearly, the Rayleigh quotient of an eigenvector is its associated eigenvalue. Equivalently, the Rayleigh–Ritz quotient can be replaced by
7263:
7118:
6593:
4898:
7853:
4562:
7706:
7504:
7253:
6441:
3520:
7701:
7010:
7043:
4488:
4278:
4159:
3944:
6485:
2654:
1890:
7858:
7077:
6574:
6465:
6335:
3491:
2558:
171:
133:
7676:
6844:
629:
67:
7645:
7312:
7087:
6489:
114:
7635:
7630:
7623:
7559:
7443:
7307:
3582:
3503:
2467:
71:
2519:
86:
5630:
5322:
7868:
7379:
6640:
7248:
6696:
2418:
7494:
7164:
6923:
6645:
6630:
6458:
167:
8005:
7479:
6660:
811:
519:
93:
7925:
7156:
4726:
2567:
244:
185:
In the case that the operator is non-Hermitian, the theorem provides an equivalent characterization of the associated
7980:
7878:
7758:
7231:
6905:
6665:
6007:
1797:
7160:
6859:
6783:
3576:
859:
7474:
7215:
6900:
5865:
5557:
60:
7985:
7848:
7681:
7666:
7438:
7302:
7144:
6716:
6431:
6279:
100:
7567:
6650:
8031:
8026:
7577:
7448:
7372:
7236:
7123:
6969:
6752:
6553:
6625:
6355:
Fisk, Steve (2005). "A very short proof of Cauchy's interlace theorem for eigenvalues of
Hermitian matrices".
4096:
1238:
1143:
7940:
7915:
7733:
7722:
7433:
7338:
6849:
344:
82:
7791:
7781:
7776:
7241:
6284:
6263:{\displaystyle \sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }
6159:{\displaystyle \inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }
7484:
7070:
6988:
6880:
6824:
6788:
1012:
7536:
7130:
7060:
6983:
6965:
190:
38:
7048:
5979:
7950:
7929:
7843:
7728:
7691:
7258:
7172:
7113:
7005:
6863:
7753:
7489:
7348:
7294:
7284:
7167:
7082:
6829:
6767:
6481:
151:
6311:
7883:
7812:
7743:
7587:
7549:
7210:
7065:
6854:
6721:
6391:
6356:
5941:
5304:
574:
7990:
7965:
7650:
7572:
6834:
6437:
6331:
1949:
1767:
1108:
219:
4053:
2004:. That is, the maximum value of the Rayleigh quotient is larger than the maximum eigenvalue.
107:
7995:
7696:
7544:
7499:
7423:
7353:
7200:
7190:
7139:
7092:
7053:
6839:
6757:
6726:
6706:
6691:
6686:
6681:
6518:
6416:
6383:
5303:
The min-max theorem also applies to (possibly unbounded) self-adjoint operators. Recall the
5128:{\displaystyle \inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}
2405:{\displaystyle \sigma _{k}^{\uparrow }=\max _{S:\dim(S)=n-k+1}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}
215:
27:
Variational characterization of eigenvalues of compact
Hermitian operators on Hilbert spaces
1982:
exactly as above in the
Hermitian case. Then it is easy to see that the only eigenvalue of
7970:
7955:
7863:
7826:
7822:
7786:
7748:
7686:
7640:
7582:
7541:
7528:
7453:
7395:
7328:
7205:
7195:
7020:
7015:
6701:
6603:
6598:
6569:
6450:
3506:
of such an operator (the set of eigenvalues) is a set of real numbers whose only possible
777:
186:
31:
6528:
1408:{\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}
6934:
5287:{\displaystyle \min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}
1207:
7920:
7899:
7817:
7807:
7618:
7525:
7458:
7418:
7343:
7149:
6890:
6742:
6543:
2018:
980:
175:
147:
8020:
7332:
7108:
7000:
6995:
6895:
6819:
6548:
6533:
6523:
3579:, as in the matrix case. (To emphasize that the sequence is decreasing, we may write
3507:
1741:
915:
7738:
7592:
7533:
7279:
7134:
6885:
6538:
6508:
1085:
960:
940:
757:
737:
717:
499:
479:
459:
17:
7364:
7935:
7520:
6814:
6804:
6711:
6513:
329:
49:
6330:. GSM. Vol. 14 (2nd ed.). Providence: American Mathematical Society.
4882:{\displaystyle \exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}
4475:{\displaystyle \sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
7428:
7030:
6747:
6587:
6583:
6579:
6421:
6404:
4671:
This is the first part of min-max theorem for compact self-adjoint operators.
2044:). An immediate consequence of the first equality in the min-max theorem is:
7413:
7399:
4988:{\displaystyle \max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}
3495:
178:. It can be viewed as the starting point of many results of similar nature.
4661:{\displaystyle \max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}
218:. As with many other variational results on eigenvalues, one considers the
8000:
7945:
7182:
6395:
6371:
5924:, and the above statement holds after replacing max-min with sup-inf.
5616:, and the above statement holds after replacing min-max with inf-sup.
3565:{\displaystyle \cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},}
6361:
6387:
3510:
is zero. It is thus convenient to list the positive eigenvalues of
5927:
The proofs use the following results about self-adjoint operators:
6372:"Cauchy's Interlace Theorem for Eigenvalues of Hermitian Matrices"
4549:{\displaystyle S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}
4360:{\displaystyle \min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
3434:
where the last inequality is given by the second part of min-max.
448:, respectively. The min-max theorem is a refinement of this fact.
4238:{\displaystyle \inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}
4024:â 1. By the same dimension count argument as in the matrix case,
4009:{\displaystyle S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}}
6433:
Methods of Modern
Mathematical Physics IV: Analysis of Operators
4272:
is weakly compact. This lets us replace the infimum by minimum:
7368:
6938:
6454:
6312:
https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
2712:{\displaystyle \alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.}
1936:{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}
6310:
G. Teschl, Mathematical
Methods in Quantum Mechanics (GSM 99)
43:
37:"Variational theorem" redirects here. Not to be confused with
6405:"Bordered Hermitian matrices and sums of the Möbius function"
1986:
is zero, while the maximum value of the
Rayleigh quotient is
3930:
A similar pair of equalities hold for negative eigenvalues.
3658:, whose positive eigenvalues are listed in decreasing order
1803:
1665:
1618:
1592:
1525:
1490:
1464:
697:{\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}
7039:
Differentiable vectorâvalued functions from
Euclidean space
3643:
dimensional subspace, we can obtain the following theorem.
166:, is a result that gives a variational characterization of
5862:
eigenvalues and hence run out of eigenvalues, then we let
5554:
eigenvalues and hence run out of eigenvalues, then we let
623:
be the corresponding unit-length orthogonal eigenvectors.
4268:) is weakly continuous. Furthermore, any bounded set in
436:), is a compact interval of the real line. The maximum
3654:
be a compact, self-adjoint operator on a
Hilbert space
3617:{\displaystyle \lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }}
2503:{\displaystyle \sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \cdots }
2464:
entry in the increasing sequence of σ's, so that
1899:
1800:
1770:
1744:
1654:
1587:
1514:
1459:
1312:
1241:
1210:
1146:
1111:
1088:
1015:
983:
963:
943:
918:
862:
814:
780:
760:
740:
720:
632:
577:
522:
502:
482:
462:
6176:
6072:
6010:
5982:
5944:
5868:
5699:
5679:{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }
5633:
5560:
5391:
5371:{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }
5325:
5174:
5015:
4901:
4795:
4729:
4565:
4491:
4379:
4281:
4162:
4099:
4056:
3947:
3683:
3585:
3523:
3121:
2782:
2657:
2470:
2421:
2288:
2053:
1952:
1893:
1432:
347:
247:
2724:
This can be proven using the min-max principle. Let
7908:
7892:
7836:
7800:
7769:
7715:
7659:
7601:
7558:
7513:
7467:
7406:
7321:
7293:
7272:
7224:
7181:
7101:
7029:
6976:
6873:
6797:
6776:
6735:
6674:
6616:
6562:
6497:
2453:{\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{k}^{\uparrow }}
74:. Unsourced material may be challenged and removed.
7976:Spectral theory of ordinary differential equations
6810:Spectral theory of ordinary differential equations
6262:
6158:
6043:
5996:
5968:
5912:
5847:
5678:
5604:
5539:
5370:
5286:
5127:
5002:was applied. Index the above by the collection of
4987:
4881:
4775:
4660:
4548:
4474:
4359:
4237:
4136:
4074:
4008:
3917:
3616:
3564:
3423:
3053:
2711:
2502:
2452:
2404:
2268:
1974:
1935:
1863:
1783:
1753:
1723:
1407:
1298:
1222:
1196:
1129:
1094:
1074:
1001:
969:
949:
927:
896:
849:{\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _{k}}
848:
798:
766:
746:
726:
696:
615:
561:{\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}
560:
508:
488:
468:
402:
313:
164:Courant–Fischer–Weyl min-max principle
7874:SchröderâBernstein theorems for operator algebras
6196:
6177:
6092:
6073:
5882:
5755:
5714:
5574:
5441:
5406:
5199:
5176:
5040:
5017:
4903:
4776:{\displaystyle S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.}
4692:, whose the orthogonal complement is denoted by
4584:
4567:
4398:
4381:
4283:
4164:
3817:
3794:
3706:
3689:
3297:
3210:
3136:
2951:
2934:
2859:
2797:
2354:
2308:
2218:
2184:
2107:
2073:
1864:{\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}
1650:
1583:
1510:
1455:
977:dimensional subspace, so if we pick any list of
314:{\displaystyle R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}
6044:{\displaystyle \sigma (A)\subseteq [E,\infty )}
897:{\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}
7380:
6950:
6466:
8:
6349:External links and citations to related work
6257:
6242:
6231:
6225:
6153:
6138:
6127:
6121:
5913:{\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}
5842:
5833:
5827:
5776:
5761:
5758:
5605:{\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}
5534:
5525:
5519:
5462:
5447:
5444:
5239:
5233:
5080:
5074:
4943:
4937:
4833:
4827:
4613:
4607:
4543:
4511:
4427:
4421:
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4306:
4193:
4187:
4063:
4057:
4003:
3965:
3857:
3851:
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3729:
3338:
3332:
3251:
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3177:
3171:
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2974:
2888:
2882:
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2820:
2396:
2387:
2376:
2370:
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2240:
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1709:
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1680:
1674:
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1540:
1534:
1328:
1313:
878:
863:
830:
815:
516:, with spectrum ordered in descending order
391:
385:
6321:
6319:
5920:(the bottom of the essential spectrum) for
5612:(the bottom of the essential spectrum) for
2032:are the square roots of the eigenvalues of
1421:
708:
444:are the largest and smallest eigenvalue of
7387:
7373:
7365:
6957:
6943:
6935:
6501:
6473:
6459:
6451:
1738:Part 2 is a corollary of part 1, by using
384:
189:. The min-max theorem can be extended to
6420:
6360:
6207:
6206:
6199:
6175:
6103:
6102:
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5981:
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5717:
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5518:
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5487:
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5390:
5356:
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5330:
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3802:
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3682:
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3603:
3590:
3584:
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3534:
3522:
3400:
3381:
3362:
3311:
3300:
3275:
3224:
3213:
3150:
3139:
3126:
3120:
3042:
3023:
3004:
2965:
2954:
2942:
2937:
2912:
2873:
2862:
2811:
2800:
2787:
2781:
2688:
2675:
2662:
2656:
2585:. The Cauchy interlacing theorem states:
2488:
2475:
2469:
2444:
2439:
2426:
2420:
2357:
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1951:
1894:
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1830:
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1801:
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1775:
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1712:
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1663:
1653:
1617:
1616:
1591:
1590:
1586:
1524:
1523:
1513:
1489:
1488:
1463:
1462:
1458:
1441:
1433:
1431:
1399:
1386:
1376:
1371:
1364:
1355:
1349:
1338:
1311:
1299:{\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}
1284:
1279:
1272:
1263:
1257:
1246:
1240:
1209:
1188:
1178:
1168:
1157:
1145:
1110:
1087:
1063:
1041:
1014:
982:
962:
942:
917:
888:
861:
840:
813:
779:
759:
739:
719:
688:
675:
650:
637:
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607:
582:
576:
552:
527:
521:
501:
481:
461:
346:
270:
252:
246:
134:Learn how and when to remove this message
7254:No infinite-dimensional Lebesgue measure
6763:Group algebra of a locally compact group
6306:
6304:
6302:
6300:
4137:{\displaystyle (Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
4035:has positive dimension. So there exists
1876:Counterexample in the non-Hermitian case
1197:{\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}
7264:Structure theorem for Gaussian measures
6296:
626:Reverse the spectrum ordering, so that
476:be Hermitian on an inner product space
417:, the range of the continuous function
403:{\displaystyle f(x)=(Ax,x),\;\|x\|=1.}
7707:Spectral theory of normal C*-algebras
7505:Spectral theory of normal C*-algebras
7140:infinite-dimensional Gaussian measure
2013:Min-max principle for singular values
1791:is an upper bound to the right side.
7:
7702:Spectral theory of compact operators
7011:Infinite-dimensional vector function
6430:Reed, Michael; Simon, Barry (1978).
3064:According to first part of min-max,
1075:{\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}
72:adding citations to reliable sources
6409:Linear Algebra and Its Applications
6208:
6104:
4252:is compact, therefore the function
7854:CohenâHewitt factorization theorem
6035:
5690:below the essential spectrum. Then
5382:below the essential spectrum. Then
4796:
4485:Because equality is achieved when
3941:be the closure of the linear span
25:
7859:Extensions of symmetric operators
7078:Generalizations of the derivative
7044:Differentiation in Fréchet spaces
6376:The American Mathematical Monthly
5997:{\displaystyle E\in \mathbb {R} }
774:, then there exists unit vectors
7677:Positive operator-valued measure
6919:
6918:
6845:Topological quantum field theory
3575:where entries are repeated with
3081:On the other hand, if we define
48:
8037:Theorems in functional analysis
7961:RayleighâFaberâKrahn inequality
7313:Holomorphic functional calculus
2731:have corresponding eigenvector
1871:, the upper bound is achieved.
59:needs additional citations for
7308:Continuous functional calculus
6219:
6213:
6189:
6183:
6115:
6109:
6085:
6079:
6038:
6026:
6020:
6014:
5957:
5945:
5907:
5901:
5599:
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5091:
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4115:
4100:
3903:
3883:
3868:
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3761:
3746:
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3390:
3371:
3355:
3349:
3290:
3262:
3203:
3188:
3032:
3013:
2997:
2991:
2927:
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2837:
2445:
2330:
2324:
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2200:
2166:
2140:
2095:
2089:
2064:
1969:
1963:
1858:
1823:
1623:
1613:
1495:
1485:
1372:
1356:
1280:
1264:
1069:
1034:
378:
363:
357:
351:
305:
293:
288:
273:
264:
258:
1:
7869:Limiting absorption principle
6641:Uniform boundedness principle
5006:-dimensional subspaces gives
2573:onto a subspace of dimension
1946:Define the Rayleigh quotient
912:Part 2 is a corollary, using
7495:Singular value decomposition
4674:Analogously, consider now a
4082:. Since it is an element of
3498:operator on a Hilbert space
616:{\textstyle v_{1},...,v_{n}}
220:Rayleigh–Ritz quotient
7926:Hearing the shape of a drum
7609:Decomposition of a spectrum
5969:{\displaystyle (A-E)\geq 0}
2520:Poincaré separation theorem
1102:on at least a single line.
8053:
7514:Special Elements/Operators
6784:Invariant subspace problem
2517:
2514:Cauchy interlacing theorem
1764:By Poincareâs inequality,
36:
29:
7986:Superstrong approximation
7849:Banach algebra cohomology
7682:Projection-valued measure
7667:Borel functional calculus
7439:Projection-valued measure
7303:Borel functional calculus
6970:topological vector spaces
6914:
6504:
6422:10.1016/j.laa.2019.12.004
6280:Courant minimax principle
5627:be self-adjoint, and let
5319:be self-adjoint, and let
4998:where the compactness of
1784:{\textstyle \lambda _{k}}
1130:{\textstyle x\in M\cap N}
7578:Spectrum of a C*-algebra
7449:Spectrum of a C*-algebra
7237:Inverse function theorem
7124:Classical Wiener measure
6753:Spectrum of a C*-algebra
6370:Hwang, Suk-Geun (2004).
1975:{\displaystyle R_{N}(x)}
1884:be the nilpotent matrix
193:that are bounded below.
30:Not to be confused with
8006:WienerâKhinchin theorem
7941:Kuznetsov trace formula
7916:Almost Mathieu operator
7734:Banach function algebra
7723:Amenable Banach algebra
7480:GelfandâNaimark theorem
7434:Noncommutative topology
7339:Convenient vector space
6850:Noncommutative geometry
6403:Kline, Jeffery (2020).
4075:{\displaystyle \|x\|=1}
1137:. Thatâs what we need.
709:(PoincarĂ©âs inequality)
413:For Hermitian matrices
330:Euclidean inner product
174:Hermitian operators on
7981:SturmâLiouville theory
7879:ShermanâTakeda theorem
7759:TomitaâTakesaki theory
7534:Hermitian/Self-adjoint
7485:Gelfand representation
7232:CameronâMartin theorem
6989:Classical Wiener space
6906:TomitaâTakesaki theory
6881:Approximation property
6825:Calculus of variations
6264:
6160:
6045:
5998:
5970:
5938:be self-adjoint. Then
5914:
5849:
5686:be the eigenvalues of
5680:
5606:
5541:
5378:be the eigenvalues of
5372:
5299:Self-adjoint operators
5288:
5129:
4989:
4883:
4777:
4682:-dimensional subspace
4662:
4550:
4476:
4361:
4239:
4138:
4076:
4010:
3919:
3618:
3566:
3425:
3055:
2713:
2592:If the eigenvalues of
2504:
2454:
2406:
2270:
1976:
1937:
1865:
1785:
1755:
1725:
1409:
1354:
1300:
1262:
1224:
1198:
1173:
1131:
1096:
1076:
1003:
971:
951:
929:
898:
850:
800:
768:
748:
728:
698:
617:
562:
510:
490:
470:
404:
315:
191:self-adjoint operators
7475:GelfandâMazur theorem
7249:FeldmanâHĂĄjek theorem
7061:Functional derivative
6984:Abstract Wiener space
6901:BanachâMazur distance
6864:Generalized functions
6265:
6161:
6063:is self-adjoint, then
6046:
5999:
5971:
5915:
5850:
5681:
5607:
5542:
5373:
5289:
5130:
4990:
4884:
4778:
4663:
4551:
4477:
4362:
4240:
4139:
4077:
4011:
3920:
3619:
3567:
3426:
3056:
2749:dimensional subspace
2714:
2568:orthogonal projection
2505:
2455:
2407:
2271:
2028:} of a square matrix
1977:
1938:
1866:
1786:
1756:
1726:
1410:
1334:
1301:
1242:
1225:
1199:
1153:
1132:
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1077:
1004:
972:
952:
930:
899:
851:
801:
799:{\textstyle x,y\in M}
769:
749:
729:
699:
618:
563:
511:
491:
471:
405:
316:
39:variational principle
7951:Proto-value function
7930:Dirichlet eigenvalue
7844:Abstract index group
7729:Approximate identity
7692:Rigged Hilbert space
7568:KreinâRutman theorem
7414:Involution/*-algebra
7173:Radonifying function
7114:Cylinder set measure
7006:Cylinder set measure
6646:Kakutani fixed-point
6631:Riesz representation
6174:
6070:
6008:
5980:
5942:
5866:
5697:
5631:
5558:
5389:
5323:
5172:
5013:
4899:
4793:
4727:
4563:
4489:
4377:
4279:
4160:
4097:
4090:necessarily satisfy
4054:
3945:
3681:
3583:
3521:
3119:
2780:
2655:
2468:
2419:
2286:
2051:
1950:
1891:
1798:
1768:
1742:
1430:
1310:
1239:
1208:
1144:
1109:
1086:
1013:
1009:vectors, their span
981:
961:
941:
916:
860:
812:
778:
758:
738:
718:
630:
575:
520:
500:
480:
460:
345:
245:
68:improve this article
7754:Von Neumann algebra
7490:Polar decomposition
7295:Functional calculus
7285:Covariance operator
7206:GelfandâPettis/Weak
7168:measurable function
7083:Hadamard derivative
6830:Functional calculus
6789:Mahler's conjecture
6768:Von Neumann algebra
6482:Functional analysis
6326:Lieb; Loss (2001).
5229:
5070:
4933:
4825:
4761:
4147:Therefore, for all
3907:
3847:
3785:
3613:
2566:if there exists an
2449:
2303:
2068:
1425: —
1223:{\textstyle x\in N}
712: —
160:variational theorem
152:functional analysis
18:Variational theorem
7884:Unbounded operator
7813:Essential spectrum
7792:SchurâHorn theorem
7782:BauerâFike theorem
7777:AlonâBoppana bound
7770:Finite-Dimensional
7744:Nuclear C*-algebra
7588:Spectral asymmetry
7242:NashâMoser theorem
7119:Canonical Gaussian
7066:Gateaux derivative
7049:Fréchet derivative
6855:Riemann hypothesis
6554:Topological vector
6436:. Academic Press.
6285:Maxâmin inequality
6260:
6241:
6156:
6137:
6041:
5994:
5966:
5910:
5845:
5754:
5676:
5621:Theorem (Max-Min).
5602:
5537:
5440:
5368:
5313:Theorem (Min-Max).
5305:essential spectrum
5284:
5249:
5209:
5197:
5125:
5090:
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