1037:
610:
58:
His goals were also practical, and he based the evaluation of different codes on live data from the Dutch postal system, using a weighted points system for different kinds of error. The analysis broke the errors down into a number of categories: first, by how many digits are in error; for those with
2037:
without needing to understand how to generate those tables from the underlying group and permutation theory. This is more properly considered a family of algorithms, as other permutations work too. Verhoeff's notes that the particular permutation, given above, is special as it has the property of
50:
Verhoeff had the goal of finding a decimal code—one where the check digit is a single decimal digit—which detected all single-digit errors and all transpositions of adjacent digits. At the time, supposed proofs of the nonexistence of these codes made base-11 codes popular, for example in the
795:
422:
115:). Additionally there are omitted and added digits. Although the frequencies of some of these kinds of errors might be small, some codes might be immune to them in addition to the primary goals of detecting all singles and transpositions.
1401:
1689:
1032:{\displaystyle f={\begin{pmatrix}e&r&r^{2}&r^{3}&r^{4}&s&rs&r^{2}s&r^{3}s&r^{4}s\\r&s&r^{2}s&rs&r^{2}&r^{3}s&r^{3}&e&r^{4}s&r^{4}\end{pmatrix}}}
1533:
2029:
1828:
1916:
2081:
118:
The phonetic errors in particular showed linguistic effects, because in Dutch, numbers are typically read in pairs; and also while 50 sounds similar to 15 in Dutch, 80 doesn't sound like 18.
605:{\displaystyle m={\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\e&r&r^{2}&r^{3}&r^{4}&s&rs&r^{2}s&r^{3}s&r^{4}s\end{pmatrix}}}
3316:
1216:
1140:
2041:
The strengths of the algorithm are that it detects all transliteration and transposition errors, and additionally most twin, twin jump, jump transposition and phonetic errors.
740:
789:
1084:
416:
2737:
39:
algorithm which detects all single-digit errors, and all transposition errors involving two adjacent digits, which was at the time thought impossible with such a code.
3396:
2597:
2152:
1562:
1245:
639:
365:
338:
3350:
1272:
1422:
1265:
682:
659:
1569:
3966:
1429:
3880:
3772:
1925:
1698:
2044:
The main weakness of the
Verhoeff algorithm is its complexity. The calculations required cannot easily be expressed as a formula in say
52:
3745:
3716:
42:
The method was independently discovered by H. Peter Gumm in 1985, this time including a formal proof and an extension to any base.
1837:
2047:
3961:
3971:
3956:
3254:
1145:
1089:
687:
121:
Taking six-digit numbers as an example, Verhoeff reported the following classification of the errors:.
1920:
This is the same reflection being iteratively multiplied. Use that reflections are their own inverse.
748:
310:
The general idea of the algorithm is to represent each of the digits (0 through 9) as elements of the
3674:
1044:
370:
3872:
2695:
3886:
3876:
3778:
3768:
3741:
3712:
3704:
3762:
3733:
3840:
3809:
3682:
3366:
2567:
2122:
32:
1540:
1396:{\displaystyle f(a_{1})\cdot f^{2}(a_{2})\cdot \ldots \cdot f^{k}(a_{k})\cdot f^{k+1}(c)=e}
1223:
617:
343:
316:
3700:
28:
3329:
3220:
out of the individual digits of the number, taken from right to left (rightmost digit is
3169:
to each digit based on its position in the number. This is actually a single permutation
3678:
3865:
3648:
2084:
1407:
1250:
667:
644:
311:
3950:
2095:
The
Verhoeff algorithm can be implemented using three tables: a multiplication table
3941:
3140:
represents the multiplicative inverse of a digit, that is, the value that satisfies
3797:
3092:
2034:
3166:
3096:
36:
3813:
3686:
1684:{\displaystyle f(r^{2})\cdot f^{2}(r^{4})\cdot f^{3}(r^{3}s)\cdot f^{4}(s)=e}
1537:
For example the check digit for 248 is 5. To verify this, use the mapping to
3798:"A new class of check-digit methods for arbitrary number systems (Corresp.)"
3845:
3828:
2083:. Lookup tables are required for easy calculation. A similar code is the
24:
1528:{\displaystyle c=f^{-1-k}\left(\prod _{n=1}^{k}f^{n}(a_{n})^{-1}\right)}
2024:{\displaystyle (r^{2}s\cdot r^{2}s)\cdot (r^{2}s\cdot r^{2}s)=e^{2}=e}
1823:{\displaystyle f^{4}(s)=f^{3}(r^{3}s)=f^{2}(r^{4})=f(r^{2})=r^{2}s}
367:, manipulate these, then map back into digits. Let this mapping be
3890:
3782:
3764:
The Edge of the
Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons
3280:
3408:
2110:
1911:{\displaystyle r^{2}s\cdot r^{2}s\cdot r^{2}s\cdot r^{2}s=e}
3212:
The
Verhoeff checksum calculation is performed as follows:
2076:{\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }}
1220:
Using multiplicative notation for the group operation of
3361:, perform the calculation: the correct check digit is
2033:
In practice the algorithm is implemented using simple
810:
437:
3705:"5. Group Theory and the Verhoeff Check Digit Scheme"
3369:
3332:
3257:
2698:
2570:
2125:
2052:
2050:
1928:
1840:
1701:
1572:
1543:
1432:
1410:
1275:
1253:
1226:
1148:
1092:
1047:
798:
751:
690:
670:
647:
620:
425:
373:
346:
319:
3761:
Haunsperger, Deanna; Kennedy, Stephen, eds. (2006).
3711:. Mathematical Association of America. p. 153.
3087:, is based on multiplication in the dihedral group D
3767:. Mathematical Association of America. p. 38.
2781:
3864:
3390:
3344:
3310:
2731:
2591:
2146:
2075:
2023:
1910:
1822:
1683:
1556:
1527:
1416:
1395:
1259:
1239:
1210:
1134:
1078:
1031:
783:
734:
676:
653:
633:
604:
410:
359:
332:
1564:and insert into the LHS of the previous equation
3942:Detailed description of the Verhoeff algorithm
3858:
3856:
3709:Identification Numbers and Check Digit Schemes
1693:To evaluate this permutation quickly use that
8:
3324:The original number is valid if and only if
3738:Coding for Data and Computer Communications
3095:of the group. Note that this group is not
1424:is explicitly given by inverse permutation
3311:{\displaystyle d(c,p(i{\bmod {8}},n_{i}))}
3844:
3368:
3331:
3296:
3283:
3279:
3256:
2697:
2569:
2124:
2067:
2066:
2058:
2054:
2053:
2051:
2049:
2009:
1990:
1974:
1952:
1936:
1927:
1893:
1877:
1861:
1845:
1839:
1811:
1795:
1773:
1760:
1741:
1728:
1706:
1700:
1660:
1641:
1628:
1612:
1599:
1583:
1571:
1548:
1542:
1511:
1501:
1488:
1478:
1467:
1443:
1431:
1409:
1366:
1350:
1337:
1315:
1302:
1286:
1274:
1252:
1247:, the check digit is then simply a value
1231:
1225:
1202:
1165:
1147:
1126:
1110:
1097:
1091:
1058:
1046:
1015:
1000:
983:
968:
956:
933:
906:
891:
876:
851:
839:
827:
805:
797:
775:
762:
750:
723:
695:
689:
669:
646:
625:
619:
585:
570:
555:
530:
518:
506:
432:
424:
402:
372:
351:
345:
324:
318:
3925:
3913:
3671:Error Detecting Decimal Codes (Tract 29)
3634:is zero, so the check is correct.
3537:
3422:
2687:
2554:
2114:
2038:detecting 95.3% of the phonetic errors.
123:
3802:IEEE Transactions on Information Theory
3734:"§2.11 The Verhoeff Check Digit Method"
3661:
1211:{\displaystyle f(f(r^{3}))=f(rs)=r^{3}}
31:first published by Dutch mathematician
3829:"An improved decimal redundancy check"
3673:. The Mathematical Centre, Amsterdam.
3651:, earlier (1960) check digit algorithm
3871:(7th ed.). Brooks/Cole. p.
2690:
2117:
16:Way to detect errors in decimal codes
7:
3357:To generate a check digit, append a
664:For example given the code 248 then
35:in 1969. It was the first decimal
1135:{\displaystyle f^{2}(r^{3})=r^{3}}
14:
735:{\displaystyle a_{3}=m(8)=r^{3}s}
784:{\displaystyle f:D_{5}\to D_{5}}
641:and let the number of digits be
2087:, which has similar qualities.
59:two digits in error, there are
3967:Error detection and correction
3385:
3379:
3305:
3302:
3273:
3261:
3099:, that is, for some values of
2726:
2702:
2586:
2580:
2141:
2129:
1999:
1967:
1961:
1929:
1801:
1788:
1779:
1766:
1750:
1734:
1718:
1712:
1672:
1666:
1650:
1634:
1618:
1605:
1589:
1576:
1508:
1494:
1384:
1378:
1356:
1343:
1321:
1308:
1292:
1279:
1192:
1183:
1174:
1171:
1158:
1152:
1116:
1103:
1064:
1051:
768:
713:
707:
395:
392:
380:
1:
3867:Contemporary Abstract Algebra
3827:Sisson, Roger L. (May 1958).
3035:
3000:
2965:
2930:
2895:
2860:
2825:
2780:
2748:
2689:
2675:
2667:
2659:
2651:
2643:
2635:
2627:
2619:
2611:
2556:
2515:
2480:
2445:
2410:
2375:
2340:
2305:
2270:
2235:
2195:
2163:
2116:
125:
3740:. Springer. pp. 56–58.
3519:is 2, so the check digit is
3863:Gallian, Joseph A. (2010).
1079:{\displaystyle f(r^{3})=rs}
745:Now define the permutation
411:{\displaystyle m:\to D_{5}}
294:
284:
281:
273:
270:
262:
259:
251:
248:
240:
237:
229:
226:
218:
215:
207:
204:
196:
193:
185:
182:
174:
171:
163:
160:
149:
146:
3988:
3245:starting at zero, replace
3173:applied iteratively; i.e.
2742:
2732:{\displaystyle p(pos,num)}
2196:
2157:
2103:, and a permutation table
3833:Communications of the ACM
3796:Gumm, H. (January 1985).
340:. That is, map digits to
289:
278:
267:
256:
245:
154:
3814:10.1109/TIT.1985.1056991
3687:10.1002/zamm.19710510323
3230:Initialize the checksum
3732:Salomon, David (2005).
3392:
3391:{\displaystyle inv(c)}
3346:
3312:
3171:(1 5 8 9 4 2 7 0)(3 6)
3159:The permutation table
2733:
2593:
2592:{\displaystyle inv(j)}
2148:
2147:{\displaystyle d(j,k)}
2077:
2025:
1912:
1824:
1685:
1558:
1529:
1483:
1418:
1397:
1261:
1241:
1212:
1136:
1080:
1033:
785:
736:
678:
655:
635:
606:
412:
361:
334:
3902:verhoeff check digit.
3846:10.1145/368819.368854
3669:Verhoeff, J. (1969).
3393:
3347:
3313:
2734:
2594:
2149:
2091:Table-based algorithm
2078:
2026:
1913:
1825:
1686:
1559:
1557:{\displaystyle D_{5}}
1530:
1463:
1419:
1398:
1262:
1242:
1240:{\displaystyle D_{5}}
1213:
1137:
1086:. Another example is
1081:
1034:
786:
737:
679:
656:
636:
634:{\displaystyle a_{n}}
614:Let the nth digit be
607:
413:
362:
360:{\displaystyle D_{5}}
335:
333:{\displaystyle D_{5}}
3367:
3330:
3255:
3091:. and is simply the
2696:
2568:
2123:
2048:
1926:
1838:
1699:
1570:
1541:
1430:
1408:
1273:
1251:
1224:
1146:
1090:
1045:
796:
749:
688:
668:
645:
618:
423:
371:
344:
317:
3962:Checksum algorithms
3679:1971ZaMM...51..240N
3345:{\displaystyle c=0}
2099:, an inverse table
202:Jump transpositions
81:jump transpositions
3972:1969 introductions
3957:Modular arithmetic
3416:a check digit for
3388:
3342:
3308:
3134:The inverse table
2729:
2589:
2144:
2073:
2071:
2021:
1908:
1820:
1681:
1554:
1525:
1414:
1393:
1257:
1237:
1208:
1132:
1076:
1029:
1023:
781:
732:
674:
651:
631:
602:
596:
408:
357:
330:
21:Verhoeff algorithm
3882:978-0-547-16509-7
3774:978-0-88385-555-3
3639:
3638:
3629:
3628:
3523:(2), which is 3.
3514:
3513:
3081:The first table,
3078:
3077:
3071:
3070:
2684:
2683:
2551:
2550:
1417:{\displaystyle c}
1260:{\displaystyle c}
677:{\displaystyle k}
654:{\displaystyle k}
303:
302:
224:Other jump errors
3979:
3929:
3923:
3917:
3911:
3905:
3904:
3899:
3897:
3870:
3860:
3851:
3850:
3848:
3824:
3818:
3817:
3793:
3787:
3786:
3758:
3752:
3751:
3729:
3723:
3722:
3701:Kirtland, Joseph
3697:
3691:
3690:
3666:
3538:
3531:the check digit
3423:
3409:
3399:
3397:
3395:
3394:
3389:
3360:
3353:
3351:
3349:
3348:
3343:
3319:
3317:
3315:
3314:
3309:
3301:
3300:
3288:
3287:
3216:Create an array
3172:
2788:
2740:
2738:
2736:
2735:
2730:
2688:
2600:
2598:
2596:
2595:
2590:
2555:
2155:
2153:
2151:
2150:
2145:
2115:
2111:
2082:
2080:
2079:
2074:
2072:
2070:
2062:
2057:
2030:
2028:
2027:
2022:
2014:
2013:
1995:
1994:
1979:
1978:
1957:
1956:
1941:
1940:
1917:
1915:
1914:
1909:
1898:
1897:
1882:
1881:
1866:
1865:
1850:
1849:
1829:
1827:
1826:
1821:
1816:
1815:
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