4183:
3691:
3091:
3686:{\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}
49:
4805:
4682:
4175:
4242:
4046:
1359:
3742:
4677:{\displaystyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}
2488:
1148:
2029:
692:
1577:
2285:
2200:
4041:{\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}
1842:
1354:{\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}
403:
1366:
2040:
4800:
1040:
2483:{\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}
2024:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
872:
687:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\mathrm {Re} \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}
4689:
1572:{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}
2195:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}
3042:
2970:
4946:
4182:
1777:
1714:
2708:
1651:
2845:
1833:
408:
4847:
3087:
2898:
2751:
3737:
2578:
371:
312:
4169:
4120:
2615:
2280:
783:
2521:
2251:
1601:
1143:
840:
805:
4080:
2229:
4196:
1098:
1069:
2974:
2905:
4140:
1118:
255:
398:
48:
5010:
Andersson, S.; Hyde, S. T.; Larsson, K.; Lidin, S. (1988). "Minimal
Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers".
2650:
1035:{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}
4870:
863:
225:
4237:
4217:
2771:
754:
202:
182:
162:
138:
114:
94:
74:
4875:
4795:{\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}
1835:. The proofs can be found in Sharma's essay: The Weierstrass representation always gives a minimal surface. The derivatives can be used to construct the
1719:
1656:
696:
The converse is also true: every nonplanar minimal surface defined over a simply connected domain can be given a parametrization of this type.
5067:
2655:
2630:
5092:
4994:
4142:
represents a mixing angle. The resulting surface, with domain chosen to prevent self-intersection, is a catenary rotated around the
4804:
3046:
4815:
866:
2712:
1606:
5149:
2784:
1782:
4186:
The fundamental domain (C) and the 3D surfaces. The continuous surfaces are made of copies of the fundamental patch (R3)
4178:
A catenary that spans periodic points on a helix, subsequently rotated along the helix to produce a minimal surface.
2626:
2524:
5159:
4174:
4849:
which represents the principal direction in the complex domain. Therefore, the two principal directions in the
2850:
2034:
1836:
3698:
2530:
317:
32:
264:
4145:
4085:
2591:
2256:
759:
700:
258:
117:
2493:
2234:
1584:
1126:
810:
788:
5125:
5038:
4053:
2207:
1074:
1045:
5154:
5088:
5063:
4990:
141:
4125:
1103:
5117:
5019:
4965:
4956:
230:
42:
376:
2635:
28:
4852:
845:
207:
4961:
4222:
4202:
2756:
739:
187:
167:
147:
123:
99:
79:
59:
38:
5143:
5129:
5083:
Abbena, E.; Salamon, S.; Gray, A. (2006). "Minimal
Surfaces via Complex Variables".
5037:
Sharma, R. (2012). "The
Weierstrass Representation always gives a minimal surface".
3037:{\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}
2965:{\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}
52:
Weierstrass parameterization facilities fabrication of periodic minimal surfaces
20:
5121:
1772:{\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}
1709:{\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}
4941:{\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2}
4686:
And consequently the second fundamental form matrix can be simplified as
2622:
2618:
5023:
96:
be functions on either the entire complex plane or the unit disk, where
5108:
Hua, H.; Jia, T. (2018). "Wire cut of double-sided minimal surfaces".
5085:
Modern
Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica
400:
are defined using the real part of a complex integral, as follows:
5043:
4803:
4181:
4173:
47:
5062:. Applied Mathematical Sciences. Vol. 80. Berlin: Springer.
2588:
The classical examples of embedded complete minimal surfaces in
4985:
Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Küster, A.; Wohlrab, O. (1992).
1145:
represents the two orthogonal tangent vectors of the surface:
869:
of the surface can be written as a column of complex entries:
2900:, a one parameter family of minimal surfaces is obtained.
2523:
for all minimal surfaces throughout this paper except for
736:
The
Weierstrass-Enneper model defines a minimal surface
1646:{\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}
4808:
Lines of curvature make a quadrangulation of the domain
4698:
4531:
4319:
3925:
3789:
3491:
3273:
3123:
2703:{\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}
2302:
2049:
1990:
1851:
1500:
1269:
1172:
889:
4878:
4855:
4818:
4692:
4245:
4225:
4205:
4148:
4128:
4088:
4056:
3745:
3701:
3094:
3049:
2977:
2908:
2853:
2840:{\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}
2787:
2759:
2715:
2658:
2638:
2594:
2533:
2496:
2288:
2259:
2237:
2210:
2043:
1845:
1828:{\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0}
1785:
1722:
1659:
1609:
1587:
1369:
1151:
1129:
1106:
1077:
1048:
875:
848:
813:
791:
762:
742:
406:
379:
320:
267:
233:
210:
190:
170:
150:
126:
102:
82:
62:
4940:
4864:
4841:
4794:
4676:
4231:
4211:
4163:
4134:
4114:
4074:
4040:
3731:
3685:
3081:
3036:
2964:
2892:
2839:
2765:
2745:
2702:
2644:
2609:
2572:
2515:
2482:
2274:
2245:
2223:
2194:
2023:
1827:
1771:
1708:
1645:
1595:
1571:
1353:
1137:
1112:
1092:
1063:
1034:
857:
834:
799:
777:
748:
686:
392:
365:
306:
249:
219:
196:
176:
156:
132:
108:
88:
68:
4270:
2178:
2144:
2110:
2076:
1376:
314:be constants. Then the surface with coordinates
45:studied minimal surfaces as far back as 1863.
8:
4964:, found by an analogous parameterization in
2617:with finite topology include the plane, the
5087:. Boca Raton: CRC Press. pp. 719–766.
4050:At the extremes, the surface is a catenoid
1603:leads to a number of important properties:
4766:
4765:
4724:
4723:
3695:Choosing the parameters of the surface as
3082:{\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}
2153:
2152:
2085:
2084:
1946:
1945:
1884:
1883:
1248:
1247:
1246:
1245:
5042:
4930:
4888:
4877:
4854:
4842:{\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}
4819:
4817:
4693:
4691:
4617:
4612:
4603:
4526:
4416:
4346:
4314:
4299:
4294:
4285:
4279:
4265:
4264:
4251:
4246:
4244:
4224:
4204:
4155:
4150:
4147:
4127:
4101:
4087:
4055:
3989:
3941:
3920:
3856:
3805:
3784:
3746:
3744:
3700:
3628:
3590:
3545:
3507:
3486:
3413:
3375:
3327:
3289:
3268:
3227:
3205:
3180:
3155:
3130:
3118:
3095:
3093:
3067:
3054:
3048:
3020:
2998:
2982:
2976:
2948:
2926:
2913:
2907:
2893:{\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}
2880:
2873:
2852:
2827:
2823:
2807:
2786:
2758:
2714:
2674:
2657:
2637:
2601:
2597:
2596:
2593:
2562:
2538:
2532:
2501:
2495:
2460:
2455:
2446:
2441:
2434:
2429:
2403:
2398:
2389:
2384:
2377:
2372:
2346:
2341:
2332:
2327:
2320:
2315:
2297:
2289:
2287:
2266:
2262:
2261:
2258:
2238:
2236:
2215:
2209:
2173:
2172:
2159:
2154:
2139:
2138:
2125:
2120:
2105:
2104:
2091:
2086:
2071:
2070:
2057:
2052:
2044:
2042:
1985:
1967:
1962:
1952:
1947:
1936:
1931:
1921:
1916:
1905:
1900:
1890:
1885:
1874:
1869:
1859:
1854:
1846:
1844:
1809:
1804:
1791:
1786:
1784:
1760:
1755:
1736:
1729:
1724:
1721:
1697:
1692:
1673:
1666:
1661:
1658:
1630:
1625:
1615:
1610:
1608:
1588:
1586:
1549:
1544:
1535:
1495:
1480:
1475:
1466:
1460:
1449:
1442:
1437:
1427:
1422:
1417:
1408:
1403:
1393:
1388:
1385:
1371:
1370:
1368:
1337:
1332:
1312:
1307:
1287:
1282:
1264:
1254:
1249:
1231:
1226:
1209:
1204:
1187:
1182:
1167:
1157:
1152:
1150:
1130:
1128:
1105:
1076:
1047:
961:
907:
884:
876:
874:
847:
812:
793:
792:
790:
769:
765:
764:
761:
741:
669:
659:
643:
634:
610:
600:
584:
575:
554:
544:
505:
486:
471:
461:
456:
439:
434:
415:
407:
405:
384:
378:
354:
341:
328:
319:
298:
285:
272:
266:
241:
232:
209:
189:
169:
149:
125:
101:
81:
61:
2746:{\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}
227:(or equivalently, such that the product
4977:
4195:One can rewrite each element of second
732:Parametric surface of complex variables
4989:. Vol. I. Springer. p. 108.
2584:Embedded minimal surfaces and examples
2231:on the complex plane maps to a point
7:
25:Weierstrass–Enneper parameterization
5060:Elliptic Functions and Applications
3732:{\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}
2573:{\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}
366:{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}
2731:
2681:
2639:
443:
440:
14:
307:{\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}
16:Construction for minimal surfaces
4267:
4255:
4252:
4248:
4164:{\displaystyle \mathbf {X} _{3}}
4151:
4115:{\displaystyle (\alpha =\pi /2)}
3747:
3096:
2610:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2456:
2399:
2342:
2290:
2275:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2239:
2175:
2163:
2160:
2156:
2141:
2129:
2126:
2122:
2107:
2095:
2092:
2088:
2073:
2061:
2058:
2054:
1968:
1964:
1953:
1949:
1937:
1933:
1922:
1918:
1906:
1902:
1891:
1887:
1875:
1871:
1860:
1856:
1813:
1810:
1806:
1795:
1792:
1788:
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1730:
1726:
1693:
1667:
1663:
1631:
1627:
1616:
1612:
1589:
1443:
1439:
1428:
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778:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2631:Weierstrass's elliptic function
1363:The surface normal is given by
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1:
2516:{\displaystyle \omega _{0}=0}
1100:are holomorphic functions of
4834:
2246:{\displaystyle \mathbf {X} }
1596:{\displaystyle \mathbf {J} }
1138:{\displaystyle \mathbf {J} }
835:{\displaystyle \omega =u+vi}
800:{\displaystyle \mathbb {C} }
4812:One of its eigenvectors is
4171:axis in a helical fashion.
4075:{\displaystyle (\alpha =0)}
2629:. Costa's surface involves
2224:{\displaystyle \omega _{t}}
5176:
2253:on the minimal surface in
1093:{\displaystyle g(\omega )}
1064:{\displaystyle f(\omega )}
842:(the complex plane as the
5122:10.1007/s00371-018-1548-0
31:is a classical piece of
4135:{\displaystyle \alpha }
2781:Choosing the functions
2627:Costa's minimal surface
2525:Costa's minimal surface
2035:second fundamental form
1113:{\displaystyle \omega }
5058:Lawden, D. F. (2011).
4942:
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