566:
146:
561:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}
989:
90:
1148:
1861:
695:
1364:
984:{\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}
1172:
1979:
1504:
2457:
1749:
2320:
2148:
1359:{\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}
151:
81:
functions is analogous to that between the sine, cotangent, and squared cosecant functions: the logarithmic derivative of the sine is the cotangent, whose derivative is negative the squared cosecant.
1379:
1137:
1838:
1885:
2331:
2062:
2216:
138:
674:
1547:
1650:
1048:
2026:
2224:
628:
596:
2174:
1773:
1590:
1619:
1074:
79:
2067:
686:
1984:
The
Weierstrass ℘-function is an even elliptic function of order N=2 with a double pole at each lattice point and no other poles.
1499:{\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}
1974:{\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }
1079:
1781:
1876:
1622:
54:
2452:{\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}}
2490:
2485:
678:
2031:
2179:
115:
633:
1744:{\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }
689:
as it relates also to the sine function, another potentially more manageable infinite product definition is
1512:
1849:
1370:
997:
1845:
1629:
2469:
2315:{\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}
1995:
31:
601:
574:
2153:
1758:
1563:
1550:
1595:
1053:
89:
58:
50:
46:
1147:
1869:
1156:
110:
98:
64:
17:
1860:
2479:
2325:
A generalization for other sine-like functions on other doubly-periodic lattices is
2064:
so that the functions are only singly-periodic. The corresponding invariants are
2143:{\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}
321:
38:
2465:
2218:
and thus from the above infinite product definition the following equality:
1992:
Consider the situation where one period is real, which we can scale to be
2464:
This article incorporates material from
Weierstrass sigma function on
1844:. The Weierstrass eta function should not be confused with either the
30:
For the fractal continuous function without a defined derivative, see
1859:
1146:
88:
27:
Mathematical functions related to
Weierstrass's elliptic function
1628:
The
Weierstrass zeta function should not be confused with the
1373:
of the sigma-function. The zeta function can be rewritten as:
1519:
1448:
1132:{\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}
1833:{\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}
2296:
2197:
2124:
2109:
1954:
1724:
2334:
2227:
2182:
2156:
2070:
2034:
1998:
1888:
1784:
1761:
1653:
1598:
1566:
1515:
1382:
1175:
1082:
1056:
1000:
698:
636:
604:
577:
149:
118:
67:
2451:
2314:
2210:
2168:
2142:
2056:
2020:
1973:
1832:
1767:
1743:
1613:
1584:
1541:
1498:
1358:
1131:
1068:
1042:
983:
668:
622:
590:
560:
132:
73:
2470:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
2057:{\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }
94:
1152:
2211:{\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}
8:
2097:
2071:
1037:
1019:
1013:
1001:
663:
637:
617:
611:
358:
346:
133:{\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }
61:. The relation between the sigma, zeta, and
1865:
669:{\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}}
2429:
2421:
2413:
2400:
2391:
2385:
2371:
2359:
2350:
2333:
2295:
2290:
2274:
2268:
2263:
2236:
2228:
2226:
2196:
2187:
2181:
2155:
2123:
2108:
2091:
2078:
2069:
2039:
2033:
2003:
1997:
1967:
1966:
1953:
1933:
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1897:
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1887:
1783:
1760:
1737:
1736:
1723:
1652:
1597:
1565:
1524:
1518:
1517:
1514:
1481:
1453:
1447:
1446:
1439:
1428:
1411:
1391:
1383:
1381:
1340:
1331:
1318:
1297:
1284:
1273:
1256:
1204:
1184:
1176:
1174:
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1087:
1081:
1055:
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707:
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249:
223:
204:
193:
162:
154:
150:
148:
126:
125:
117:
66:
2028:and the other is taken to the limit of
1560:The derivative of the zeta function is
1542:{\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}
1369:The Weierstrass zeta function is the
7:
1879:is related to the zeta function by
1076:and where we have used the notation
1043:{\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}
685:Through careful manipulation of the
1840:only depends on the lattice vector
2442:
2246:
2157:
2051:
1943:
1907:
1890:
1824:
1803:
1762:
1714:
1693:
1666:
1599:
1570:
1471:
1440:
1401:
1281:
1244:
1224:
1194:
1123:
850:
717:
605:
579:
373:
339:
201:
172:
119:
68:
25:
2021:{\displaystyle \omega _{1}=2\pi }
687:Weierstrass factorization theorem
320:
109:associated to a two-dimensional
2468:, which is licensed under the
2445:
2430:
2406:
2375:
2344:
2338:
2249:
2237:
2045:
1946:
1934:
1910:
1898:
1827:
1815:
1806:
1788:
1717:
1705:
1696:
1678:
1669:
1657:
1608:
1602:
1579:
1573:
1474:
1468:
1404:
1392:
1247:
1235:
1227:
1215:
1197:
1185:
1126:
1099:
720:
708:
623:{\displaystyle \Lambda -\{0\}}
175:
163:
1:
1623:Weierstrass elliptic function
140:is defined to be the product
55:Weierstrass elliptic function
591:{\displaystyle \Lambda ^{*}}
1778:This is well-defined, i.e.
1139:(see zeta function below).
679:fundamental pair of periods
2507:
107:Weierstrass sigma function
85:Weierstrass sigma function
53:that are auxiliary to the
29:
18:Weierstrass sigma function
2169:{\displaystyle \Delta =0}
1164:Weierstrass zeta function
1143:Weierstrass zeta function
1768:{\displaystyle \Lambda }
1642:Weierstrass eta function
1636:Weierstrass eta function
1585:{\displaystyle -\wp (z)}
1614:{\displaystyle \wp (z)}
1069:{\displaystyle i\neq j}
2453:
2316:
2212:
2170:
2144:
2058:
2022:
1975:
1877:Weierstrass p-function
1872:
1856:Weierstrass ℘-function
1850:Dirichlet eta function
1834:
1769:
1745:
1615:
1586:
1543:
1500:
1444:
1371:logarithmic derivative
1360:
1166:is defined by the sum
1159:
1133:
1070:
1044:
985:
854:
670:
624:
592:
562:
377:
134:
102:
75:
57:. They are named for
2454:
2317:
2213:
2171:
2145:
2059:
2023:
1976:
1863:
1846:Dedekind eta function
1835:
1770:
1746:
1630:Riemann zeta function
1616:
1587:
1544:
1501:
1424:
1361:
1150:
1134:
1071:
1045:
986:
834:
671:
625:
593:
563:
315:
135:
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76:
43:Weierstrass functions
2332:
2225:
2180:
2154:
2068:
2032:
1996:
1886:
1782:
1759:
1651:
1596:
1564:
1513:
1380:
1173:
1080:
1054:
998:
696:
634:
602:
575:
147:
116:
74:{\displaystyle \wp }
65:
32:Weierstrass function
1956: for any
1726: for any
2491:Analytic functions
2486:Elliptic functions
2449:
2312:
2305:
2208:
2206:
2166:
2140:
2133:
2118:
2054:
2018:
1971:
1958:
1873:
1830:
1765:
1741:
1728:
1632:in number theory.
1611:
1582:
1539:
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1356:
1291:
1160:
1129:
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1040:
981:
666:
620:
588:
558:
556:
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2205:
2132:
2117:
1957:
1727:
1644:is defined to be
1551:Eisenstein series
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1346:
1326:
1313:
1269:
1264:
1251:
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480:
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270:
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47:special functions
16:(Redirected from
2498:
2458:
2456:
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2306:
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2217:
2215:
2214:
2209:
2207:
2198:
2192:
2191:
2176:. Then we have
2175:
2173:
2172:
2167:
2150:of discriminant
2149:
2147:
2146:
2141:
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1772:
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1618:
1617:
1612:
1591:
1589:
1588:
1583:
1557: + 2.
1548:
1546:
1545:
1540:
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1537:
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1522:
1505:
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1407:
1387:
1365:
1363:
1362:
1357:
1352:
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1347:
1345:
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1319:
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557:
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552:
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546:
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537:
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534:
533:
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517:
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