1005:
1383:
1194:
2015:
765:
1593:
799:
2152:
can be modeled as an integer minimum cost multi-commodity flow problem: Values produced by instructions are source nodes, values consumed by instructions are sink nodes and registers as well as stack slots are edges.
1784:
1666:
299:
2411:
Add: Jean-Patrice Netter, Flow
Augmenting Meshings: a primal type of approach to the maximum integer flow in a multi-commodity network, Ph.D dissertation Johns Hopkins University, 1971
1208:
1019:
226:
631:
2070:
1847:
570:
455:
1467:
110:
2356:
146:
72:
1880:
1699:
509:
412:
355:
327:
1429:
476:
384:
167:
2121:
2101:
791:
1888:
645:
2177:
1000:{\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,k\}:\,\sum _{(u,w)\in E}f_{i}(u,w)-\sum _{(w,u)\in E}f_{i}(w,u)=0\quad \mathrm {when} \quad u\neq s_{i},t_{i}}
1475:
2340:
2387:
2135:
633:
otherwise (i.e. "single path routing"). Find an assignment of all flow variables which satisfies the following four constraints:
2207:
1707:
2428:
2423:
2024:, the demand of each commodity is not fixed, and the total throughput is maximized by maximizing the sum of all demands
2402:
2127:
are generalizations of all flow problems. That is, any flow problem can be viewed as a particular circulation problem.
2330:
1601:
1378:{\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,k\}:\,\sum _{(u,w)\in E}f_{i}(w,t_{i})-\sum _{(w,u)\in E}f_{i}(t_{i},w)=1}
1189:{\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,k\}:\,\sum _{(u,w)\in E}f_{i}(s_{i},w)-\sum _{(w,u)\in E}f_{i}(w,s_{i})=1}
2080:
231:
172:
2264:
S. Even and A. Itai and A. Shamir (1976). "On the
Complexity of Timetable and Multicommodity Flow Problems".
575:
2283:
Even, S.; Itai, A.; Shamir, A. (1975). "On the complexity of time table and multi-commodity flow problems".
2139:
2027:
2161:
In the decision version of problems, the problem of producing an integer flow satisfying all demands is
1796:
514:
2318:
2166:
24:
2149:
2124:
417:
2350:
2296:
2246:
2173:
2379:
2371:
1434:
77:
2383:
2336:
115:
41:
2243:"Towards a more principled compiler: Register allocation and instruction selection revisited"
2208:
https://web.archive.org/web/20130306031532/http://typo.zib.de/opt-long_projects/Software/Mcf/
1852:
1671:
481:
389:
332:
304:
2322:
2314:
2288:
2273:
1399:
2010:{\displaystyle \sum _{(u,v)\in E}\left(a(u,v)\sum _{i=1}^{k}f_{i}(u,v)\cdot d_{i}\right)}
460:
368:
151:
2079:
The minimum cost variant of the multi-commodity flow problem is a generalization of the
1668:. A common linearization of this problem is the minimization of the maximum utilization
2326:
2106:
2086:
776:
2172:
If fractional flows are allowed, the problem can be solved in polynomial time through
2417:
2300:
2250:
760:{\displaystyle \forall (u,v)\in E:\,\sum _{i=1}^{k}f_{i}(u,v)\cdot d_{i}\leq c(u,v)}
36:
27:
with multiple commodities (flow demands) between different source and sink nodes.
2162:
2376:
Proceedings of the thirteenth annual ACM-SIAM symposium on
Discrete algorithms
2201:
1588:{\displaystyle U(u,v)={\frac {\sum _{i=1}^{k}f_{i}(u,v)\cdot d_{i}}{c(u,v)}}}
2191:
Multicommodity flow is applied in the overlay routing in content delivery.
2372:"Faster approximation schemes for fractional multicommodity flow problems"
2292:
2165:, even for only two commodities and unit capacities (making the problem
639:
The sum of all flows routed over a link does not exceed its capacity.
2285:
16th Annual
Symposium on Foundations of Computer Science (SFCS 1975)
2277:
2143:
2226:
Ahuja, Ravindra K.; Magnanti, Thomas L.; Orlin, James B. (1993).
2335:(3rd ed.). MIT Press and McGraw–Hill. p. 862.
1396:
is the attempt to route flows such that the utilization
572:
in case the flow can be split among multiple paths, and
2146:
would be approached via multi-commodity flow formulas.
1779:{\displaystyle \forall (u,v)\in E:\,U_{max}\geq U(u,v)}
2109:
2089:
2030:
1891:
1855:
1799:
1710:
1674:
1604:
1478:
1437:
1402:
1211:
1022:
802:
779:
648:
578:
517:
484:
463:
420:
392:
371:
335:
307:
234:
175:
154:
118:
80:
44:
2228:
773:The amount of a flow entering an intermediate node
2115:
2095:
2064:
2009:
1874:
1841:
1778:
1693:
1660:
1587:
1461:
1423:
1377:
1188:
999:
785:
759:
625:
564:
503:
470:
449:
406:
378:
349:
321:
293:
220:
161:
140:
104:
66:
2200:Papers by Clifford Stein about this problem:
1598:The problem can be solved e.g. by minimizing
1013:A flow must exit its source node completely.
8:
2355:: CS1 maint: multiple names: authors list (
1661:{\displaystyle \sum _{u,v\in V}(U(u,v))^{2}}
1239:
1221:
1202:A flow must enter its sink node completely.
1050:
1032:
830:
812:
620:
608:
2202:http://www.columbia.edu/~cs2035/papers/#mcf
2178:fully polynomial time approximation schemes
294:{\displaystyle \,K_{i}=(s_{i},t_{i},d_{i})}
2108:
2088:
2056:
2046:
2035:
2029:
1996:
1968:
1958:
1947:
1896:
1890:
1856:
1854:
1798:
1791:minimum cost multi-commodity flow problem
1743:
1738:
1709:
1679:
1673:
1652:
1609:
1603:
1556:
1528:
1518:
1507:
1500:
1477:
1436:
1401:
1354:
1341:
1313:
1297:
1278:
1250:
1245:
1210:
1200:(4) Flow conservation at the destination:
1171:
1152:
1124:
1102:
1089:
1061:
1056:
1021:
991:
978:
953:
925:
897:
869:
841:
836:
801:
778:
730:
702:
692:
681:
676:
647:
584:
579:
577:
523:
518:
516:
485:
483:
464:
462:
426:
421:
419:
398:
393:
391:
372:
370:
341:
336:
334:
313:
308:
306:
282:
269:
256:
240:
235:
233:
212:
193:
180:
174:
155:
153:
119:
117:
79:
45:
43:
221:{\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{k}}
2403:Algorithmic Nuggets in Content Delivery
2218:
771:(2) Flow conservation on transit nodes:
626:{\displaystyle \,f_{i}(u,v)\in \{0,1\}}
2348:
2176:, or through (typically much faster)
2083:(in which there is merely one source
7:
2065:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}d_{i}}
2022:maximum multi-commodity flow problem
1011:(3) Flow conservation at the source:
2245:(PhD). Carnegie Mellon University.
1389:Corresponding optimization problems
1842:{\displaystyle a(u,v)\cdot f(u,v)}
1711:
1212:
1023:
963:
960:
957:
954:
803:
649:
16:Network flow problem (mathematics)
14:
2136:Routing and wavelength assignment
793:is the same that exits the node.
565:{\displaystyle \,f_{i}(u,v)\in }
967:
952:
2206:Software solving the problem:
1986:
1974:
1940:
1928:
1909:
1897:
1869:
1857:
1836:
1824:
1815:
1803:
1773:
1761:
1726:
1714:
1649:
1645:
1633:
1627:
1579:
1567:
1546:
1534:
1494:
1482:
1450:
1438:
1418:
1406:
1366:
1347:
1326:
1314:
1303:
1284:
1263:
1251:
1177:
1158:
1137:
1125:
1114:
1095:
1074:
1062:
943:
931:
910:
898:
887:
875:
854:
842:
754:
742:
720:
708:
664:
652:
602:
590:
559:
547:
541:
529:
498:
486:
444:
432:
288:
249:
135:
123:
93:
81:
61:
49:
1:
1882:. You then need to minimize
457:defines the fraction of flow
450:{\displaystyle \,f_{i}(u,v)}
414:is its demand. The variable
21:multi-commodity flow problem
2445:
2370:George Karakostas (2002).
2332:Introduction to Algorithms
2075:Relation to other problems
1462:{\displaystyle (u,v)\in E}
105:{\displaystyle (u,v)\in E}
2266:SIAM Journal on Computing
2241:Koes, David Ryan (2009).
2081:minimum cost flow problem
141:{\displaystyle \,c(u,v)}
67:{\displaystyle \,G(V,E)}
2140:optical burst switching
1875:{\displaystyle \,(u,v)}
1694:{\displaystyle U_{max}}
504:{\displaystyle \,(u,v)}
407:{\displaystyle \,d_{i}}
350:{\displaystyle \,t_{i}}
322:{\displaystyle \,s_{i}}
2117:
2097:
2066:
2051:
2011:
1963:
1876:
1849:for sending a flow on
1843:
1780:
1695:
1662:
1589:
1523:
1463:
1425:
1424:{\displaystyle U(u,v)}
1379:
1190:
1001:
787:
761:
697:
627:
566:
505:
472:
451:
408:
380:
351:
323:
295:
222:
163:
142:
106:
68:
2118:
2098:
2067:
2031:
2012:
1943:
1877:
1844:
1781:
1696:
1663:
1590:
1503:
1464:
1426:
1380:
1191:
1002:
788:
762:
677:
628:
567:
506:
473:
452:
409:
381:
352:
324:
296:
223:
164:
143:
107:
69:
2429:NP-complete problems
2424:Network flow problem
2319:Charles E. Leiserson
2293:10.1109/SFCS.1975.21
2287:. pp. 184–193.
2272:(4). SIAM: 691–703.
2167:strongly NP-complete
2107:
2087:
2028:
1889:
1853:
1797:
1708:
1672:
1602:
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1435:
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1209:
1020:
800:
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646:
576:
515:
482:
461:
418:
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333:
305:
232:
173:
152:
116:
78:
42:
25:network flow problem
2150:Register allocation
2125:circulation problem
2123:). Variants of the
471:{\displaystyle \,i}
379:{\displaystyle \,i}
162:{\displaystyle \,k}
2195:External resources
2174:linear programming
2113:
2093:
2062:
2007:
1919:
1872:
1839:
1793:, there is a cost
1776:
1691:
1658:
1626:
1585:
1459:
1421:
1375:
1336:
1273:
1186:
1147:
1084:
997:
920:
864:
783:
757:
637:(1) Link capacity:
623:
562:
501:
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347:
319:
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138:
102:
64:
2342:978-0-262-03384-8
2116:{\displaystyle t}
2096:{\displaystyle s}
1892:
1605:
1583:
1309:
1246:
1120:
1057:
893:
837:
786:{\displaystyle u}
2436:
2406:
2400:
2394:
2393:
2367:
2361:
2360:
2354:
2346:
2323:Ronald L. Rivest
2315:Thomas H. Cormen
2311:
2305:
2304:
2281:
2261:
2255:
2254:
2238:
2232:
2231:
2230:. Prentice Hall.
2223:
2169:in this case).
2122:
2120:
2119:
2114:
2102:
2100:
2099:
2094:
2071:
2069:
2068:
2063:
2061:
2060:
2050:
2045:
2016:
2014:
2013:
2008:
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1972:
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1783:
1782:
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1697:
1692:
1690:
1689:
1667:
1665:
1664:
1659:
1657:
1656:
1625:
1594:
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1586:
1584:
1582:
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1561:
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1106:
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1093:
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995:
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873:
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568:
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224:
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217:
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197:
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184:
168:
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147:
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111:
109:
108:
103:
73:
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70:
65:
2444:
2443:
2439:
2438:
2437:
2435:
2434:
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