3811:
2533:
1928:
4419:
6308:
4206:
3530:
3314:
3541:
6061:
2255:
3062:
1710:
4716:
4874:
4221:
847:
6109:
264:
4560:
3959:
5515:
3325:
1069:
1493:
1376:
3145:
4211:
Thus we see that corrections to the canonical
Noether tensor that appear in the Belinfante–Rosenfeld tensor occur because we need to simultaneously vary the vierbein and the spin connection if we are to preserve local Lorentz invariance.
3806:{\displaystyle (\delta \omega _{ij\mu })e_{k}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\left\{(\nabla _{j}\delta e_{ik}-\nabla _{k}\delta e_{ij})+(\nabla _{k}\delta e_{ji}-\nabla _{i}\delta e_{jk})-(\nabla _{i}\delta e_{kj}-\nabla _{j}\delta e_{ki})\right\},}
700:
5943:
1577:
2528:{\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}e_{d}^{\mu }{\theta ^{d}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}{\theta ^{b}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\theta ^{bc}(x),}
5904:
3948:
2930:
4995:
1923:{\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left({\frac {\delta S}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\delta e_{a}^{\mu }\equiv \int d^{n}x{\sqrt {g}}\left(T_{cb}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\right)\delta e_{a}^{\mu }.}
4568:
4414:{\displaystyle \int d^{d}x{\sqrt {g}}\left\{{\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }\nabla _{\mu }\Psi -(\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }})e_{a}^{\mu }\gamma ^{a}\Psi \right)+m{\bar {\Psi }}\Psi \right\}.}
1118:
4727:
718:
121:
548:
5132:
2198:
472:
5309:
2811:
1074:
and so a physical interpretation of
Belinfante tensor is that it includes the "bound momentum" associated with gradients of the intrinsic angular momentum. In other words, the added term is an analogue of the
6303:{\displaystyle =i{\mathcal {J}}^{\rho \nu }\eta ^{\mu \sigma }-i{\mathcal {J}}^{\sigma \nu }\eta ^{\mu \rho }-i{\mathcal {J}}^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }+i{\mathcal {J}}^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}
610:
2730:
1995:
1635:
132:
4430:
359:
4201:{\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}+{\frac {1}{2}}\nabla _{a}({S_{bc}}^{a}+{S_{cb}}^{a}-{S^{a}}_{bc})\right\}\eta ^{cd}e_{\mu }^{*b}\,\delta e_{d}^{\mu }.}
943:
5320:
3525:{\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\delta e_{a}^{\mu }+{\frac {1}{2}}{S^{\mu }}_{ab}\delta {\omega ^{ab}}_{\mu }\right\}.}
2117:
1194:. Just as it is the sum of the bound and free currents that acts as a source of the magnetic field, it is the sum of the bound and free energy–momentum that acts as a source of gravity.
2247:
6098:
889:
398:
954:
2848:
1387:
303:
1273:
1184:
3309:{\displaystyle T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\right|_{\omega _{\mu }^{ab}}.}
2922:
2575:
5931:
2029:
1146:
3096:
2883:
2621:
1702:
1265:
1190:, but it was shown by both Rosenfeld and Belinfante that the modified tensor is precisely the symmetric Hilbert stress–energy tensor that acts as the source of gravity in
3137:
1230:
31:
is a modification of the stress–energy tensor that is constructed from the canonical stress–energy tensor and the spin current so as to be symmetric yet still conserved.
5022:
6461:
5200:
2654:
2062:
1668:
6056:{\displaystyle T^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}\partial ^{\nu }\Psi ^{\ell }}
5167:
621:
6328:
F. J. Belinfante (1940). "On the current and the density of the electric charge, the energy, the linear momentum and the angular momentum of arbitrary fields".
1501:
5537:
3057:{\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}={\frac {2}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta \omega _{\mu }^{ab}}}\right)\right|_{{\bf {e}}_{a}}}
3822:
4882:
2735:
We can now understand the origin of the
Belinfante–Rosenfeld modification of the Noether canonical energy momentum tensor. Take the action to be
4711:{\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\Psi }}=\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {1}{8}}{\omega ^{bc}}_{\mu }\right){\bar {\Psi }}.}
4869:{\displaystyle T_{bc}^{(0)}={\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma _{c}(\nabla _{b}\Psi )-(\nabla _{b}{\bar {\Psi }})\gamma _{c}\Psi \right),}
842:{\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\lambda }(S^{\mu \nu \lambda }+S^{\nu \mu \lambda }-S^{\lambda \nu \mu })}
6481:
1078:
52:
6374:
2577:
is an arbitrary position-dependent skew symmetric matrix, we see that local
Lorentz and rotation invariance both requires and implies that
483:
5033:
2122:
410:
5208:
2738:
306:
6445:
6412:
559:
5520:
The
Belinfante–Rosenfeld tensor for the Dirac field is therefore seen to be the symmetrized canonical energy–momentum tensor.
259:{\displaystyle {M^{\mu }}_{\nu \lambda }=(x_{\nu }{T^{\mu }}_{\lambda }-x_{\lambda }{T^{\mu }}_{\nu })+{S^{\mu }}_{\nu \lambda }.}
4555:{\displaystyle \nabla _{\mu }\Psi =\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}+{\frac {1}{8}}{\omega ^{bc}}_{\mu }\right)\Psi ,}
2659:
1936:
1582:
312:
401:
897:
5510:{\displaystyle T_{bc}=T_{bc}^{(0)}+{\frac {1}{2}}(T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)})={\frac {1}{2}}(T_{bc}^{(0)}+T_{cb}^{(0)}).}
6437:
5937:, the set {Ψ} are the fields appearing in the Lagrangian, the non-Belinfante energy momentum tensor is defined by
2067:
2203:
6429:
6069:
1064:{\displaystyle M^{\nu \lambda }=\int (x^{\nu }T_{B}^{0\lambda }-x^{\lambda }T_{B}^{0\nu })\,\mathrm {d} ^{3}x,}
855:
364:
1488:{\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=-{\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T^{\mu \nu }\,\delta g_{\mu \nu }.}
2732:, and so the vierbein-variation energy–momentum tensor is equivalent to the metric-variation Hilbert tensor.
1371:{\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}={\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{\mu \nu }\,\delta g^{\mu \nu },}
2816:
272:
6345:
43:
35:
6404:
1154:
6337:
5202:
is totally anti-symmetric. Now, using this result, and again the equations of motion, we find that
2888:
2541:
39:
17:
6350:
5912:
2000:
1127:
3070:
2857:
2580:
1676:
1235:
22:
3101:
1205:
6455:
5934:
5003:
1191:
6441:
6408:
26:
5172:
6355:
2629:
2037:
1643:
695:{\displaystyle \partial _{\mu }{S^{\mu }}_{\nu \lambda }=T_{\lambda \nu }-T_{\nu \lambda }.}
5140:
5528:
2851:
6341:
1572:{\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }\delta g_{\sigma \tau }g^{\tau \nu }}
6359:
6475:
6101:
1121:
5899:{\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {i}{2}}\partial _{\kappa }\left}
3139:
is the part that arises from the variation where we keep the spin connection fixed:
3098:
are held fixed during the variation. The "canonical" Noether energy momentum tensor
3943:{\displaystyle \delta e_{ij}={\bf {e}}_{i}\cdot \delta {\bf {e}}_{j}=\eta _{ib}.}
2885:
via the condition of being metric compatible and torsion free. The spin current
852:
that is constructed from the canonical stress–energy tensor and the spin current
3953:
Using the spin-connection variation, and after an integration by parts, we find
706:
4990:{\displaystyle {S^{a}}_{bc}={\frac {i}{8}}{\bar {\Psi }}\{\gamma ^{a},\}\Psi .}
712:
The
Belinfante–Rosenfeld tensor is a modification of the stress–energy tensor
2119:
should be invariant under an infinitesimal local
Lorentz transformation
1671:
2034:
With the vierbein variation there is no immediately obvious reason for
1113:{\displaystyle {\mathbf {J} }_{\text{bound}}=\nabla \times \mathbf {M} }
4215:
As an example, consider the classical
Lagrangian for the Dirac field
3535:
Now, for a torsion-free and metric-compatible connection, we have that
116:{\displaystyle M_{\mu \nu }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,{M^{0}}_{\mu \nu }}
543:{\displaystyle {S^{\mu }}_{\nu \lambda }=-{S^{\mu }}_{\lambda \nu }.}
5127:{\displaystyle \{\gamma _{a},\}=4\gamma _{a}\gamma _{b}\gamma _{c},}
2193:{\displaystyle \delta e_{a}^{\mu }=e_{b}^{\mu }{\theta ^{b}}_{a}(x)}
1151:
The curious combination of spin-current components required to make
467:{\displaystyle {M^{\mu }}_{\nu \lambda }=-{M^{\mu }}_{\lambda \nu }}
5304:{\displaystyle \nabla _{a}{S^{a}}_{bc}=T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)}.}
2806:{\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a},{\omega }_{\mu }^{ab})}
6100:
are a set of matrices satisfying the algebra of the homogeneous
1997:
is the
Minkowski metric for the orthonormal vierbein frame, and
605:{\displaystyle \partial _{\mu }{M^{\mu }}_{\nu \lambda }=0\,}
6273:
6237:
6201:
6165:
6139:
6119:
6076:
5994:
5978:
5918:
5850:
5805:
5753:
5708:
5656:
5611:
3221:
2973:
2725:{\displaystyle T_{ab}=e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }T_{\mu \nu }}
1990:{\displaystyle \eta _{ab}={\bf {e}}_{a}\cdot {\bf {e}}_{b}}
1630:{\displaystyle \delta (g^{\mu \sigma }g_{\sigma \tau })=0.}
1198:
Belinfante–Rosenfeld and the
Hilbert energy–momentum tensor
5024:
if we use the equations of motion, i.e. we are on shell.
709:
implies a non-symmetric canonical stress–energy tensor.
354:{\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\lambda }=0}
1498:(The minus sign in the second equation arises because
6112:
6072:
5946:
5915:
5540:
5323:
5211:
5175:
5143:
5036:
5006:
4885:
4730:
4571:
4433:
4224:
3962:
3825:
3544:
3328:
3148:
3104:
3073:
2933:
2891:
2860:
2819:
2741:
2662:
2632:
2583:
2544:
2258:
2206:
2125:
2070:
2040:
2003:
1939:
1713:
1679:
1646:
1585:
1504:
1390:
1276:
1238:
1232:
is defined by the variation of the action functional
1208:
1157:
1130:
1081:
957:
900:
858:
721:
624:
562:
486:
413:
367:
315:
275:
135:
55:
5169:are distinct and zero otherwise. As a consequence
938:{\displaystyle \partial _{\mu }T_{B}^{\mu \nu }=0.}
891:so as to be symmetric yet still conserved, i.e.,
6302:
6092:
6055:
5925:
5898:
5509:
5303:
5194:
5161:
5126:
5016:
4989:
4868:
4710:
4554:
4413:
4200:
3942:
3805:
3524:
3308:
3131:
3090:
3056:
2916:
2877:
2842:
2805:
2724:
2648:
2615:
2569:
2527:
2241:
2192:
2111:
2064:to be symmetric. However, the action functional
2056:
2023:
1989:
1922:
1696:
1662:
1629:
1571:
1487:
1370:
1259:
1224:
1178:
1140:
1112:
1063:
937:
883:
841:
694:
604:
542:
466:
392:
353:
297:
258:
115:
1186:symmetric and yet still conserved seems totally
5314:Thus the Belinfante–Rosenfeld tensor becomes
1640:We may also define an energy–momentum tensor
8:
6460:: CS1 maint: multiple names: authors list (
5082:
5037:
4978:
4933:
2112:{\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a})}
4424:Here the spinor covariant derivatives are
2242:{\displaystyle \theta ^{ab}=-\theta ^{ba}}
1124:" associated with a magnetization density
6349:
6291:
6278:
6272:
6271:
6255:
6242:
6236:
6235:
6219:
6206:
6200:
6199:
6183:
6170:
6164:
6163:
6144:
6138:
6137:
6124:
6118:
6117:
6111:
6093:{\displaystyle {\mathcal {J^{\mu \nu }}}}
6079:
6074:
6073:
6071:
6047:
6037:
6021:
6011:
5993:
5992:
5986:
5977:
5976:
5967:
5951:
5945:
5917:
5916:
5914:
5885:
5875:
5870:
5869:
5868:
5855:
5849:
5848:
5832:
5822:
5804:
5803:
5797:
5788:
5778:
5773:
5772:
5771:
5758:
5752:
5751:
5735:
5725:
5707:
5706:
5700:
5691:
5681:
5676:
5675:
5674:
5661:
5655:
5654:
5638:
5628:
5610:
5609:
5603:
5592:
5578:
5566:
5550:
5545:
5539:
5489:
5481:
5462:
5454:
5437:
5419:
5411:
5392:
5384:
5367:
5352:
5344:
5328:
5322:
5286:
5278:
5259:
5251:
5235:
5228:
5223:
5216:
5210:
5180:
5174:
5142:
5115:
5105:
5095:
5073:
5060:
5044:
5035:
5007:
5005:
4969:
4956:
4940:
4922:
4921:
4911:
4899:
4892:
4887:
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4789:
4774:
4773:
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4743:
4735:
4729:
4694:
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4672:
4667:
4657:
4644:
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4615:
4602:
4583:
4582:
4576:
4570:
4535:
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4520:
4510:
4497:
4480:
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4455:
4438:
4432:
4389:
4388:
4368:
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4309:
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4232:
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4167:
4162:
4149:
4128:
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4116:
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4081:
4071:
4066:
4056:
4042:
4027:
4019:
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3971:
3970:
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2979:
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2656:is symmetric, it is easy to show that
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7:
6403:(Repr., pbk. ed.). Cambridge :
6375:"Sur le tenseur d'impulsion-énergie"
3067:the vertical bar denoting that the
2924:is then defined by the variation
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1202:The Hilbert energy–momentum tensor
948:An integration by parts shows that
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6401:The quantum theory of fields
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