499:
491:
483:
4068:
5028:
6098:
3816:
4742:
5369:
5818:
1962:
5829:
5117:
954:
4063:{\displaystyle {\begin{aligned}x{\frac {dy}{dx}}&=\lambda _{i}y\\\int {\frac {1}{y}}\,dy&=\lambda _{i}\int {\frac {1}{x}}\,dx\\\ln y&=\lambda _{i}\ln x+C\\y&=c_{i}e^{\lambda _{i}\ln x}=c_{i}x^{\lambda _{i}}.\end{aligned}}}
3493:
2097:
6589:
1380:
6377:
5023:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{-\lambda }y)&=c_{1}x^{-1}\\x^{-\lambda }y&=\int c_{1}x^{-1}\,dx\\y&=x^{\lambda }(c_{1}\ln(x)+c_{2})\\&=c_{1}\ln(x)x^{\lambda }+c_{2}x^{\lambda }.\end{aligned}}}
256:
5620:
4571:
4656:
2449:
3277:
2345:
2720:
1826:
1822:
615:
3811:
1632:
6804:
809:
2613:
6693:
4148:
6884:
6197:
3062:
3359:
4379:
5106:
5834:
5625:
4747:
3821:
4197:
1750:
5586:
2188:
1152:
816:
1417:
3533:
1454:
1235:
1020:
1504:
439:
2835:
3188:
714:
6093:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}
3146:
5467:
4251:
3670:
3616:
4469:
4708:
4426:
4298:
2873:
1998:
6433:
1259:
6428:
6206:
3715:
2244:
2217:
2128:
1993:
96:
1677:
2518:
653:
329:
472:
291:
355:
5615:
4474:
4737:
3562:
2480:
4576:
405:
5364:{\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(mx^{m-1}\right)+3x^{m}=m\left(m-1\right)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=\left(m^{2}-4m+3\right)x^{m}=0\,.}
2919:
2353:
3193:
2939:
2893:
2750:
2252:
375:
3366:
2618:
1757:
515:
506:
The most common Cauchy–Euler equation is the second-order equation, which appears in a number of physics and engineering applications, such as when solving
1532:
719:
2526:
6617:
7009:
6812:
6119:
2944:
2246:
denote the two roots of this polynomial. We analyze the case in which there are distinct roots and the case in which there is a repeated root:
6962:
6937:
3282:
4303:
6899:
3720:
5813:{\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}
6700:
1681:
441:) can be used to reduce this equation to a linear differential equation with constant coefficients. Alternatively, the trial solution
5507:
2133:
1077:
1384:
39:
4073:
1421:
1159:
961:
2755:
1957:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}\right).}
660:
3067:
498:
42:
55:
equation. Because of its particularly simple equidimensional structure, the differential equation can be solved explicitly.
5040:
490:
482:
4156:
36:
6382:
3498:
6904:
1461:
410:
3153:
1641:
622:
5409:
3673:
4202:
3621:
3567:
4431:
5387:
4668:
3150:
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let
2730:
949:{\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)+ax\left(mx^{m-1}\right)+b\left(x^{m}\right)=0}
4384:
4256:
2840:
507:
6886:
instead (or simply use it in all cases), which coincides with the definition before for integer
46:
5478:
3682:
2222:
2195:
4659:
2104:
1969:
1240:
51:
1520:
6985:
6379:
in a similar manner to the differential equation case. Indeed, substituting the trial solution
486:
Typical solution curves for a second-order Euler–Cauchy equation for the case of two real roots
6982:
6958:
6933:
2485:
502:
Typical solution curves for a second-order Euler–Cauchy equation for the case of complex roots
494:
Typical solution curves for a second-order Euler–Cauchy equation for the case of a double root
296:
444:
263:
334:
6593:
One may now proceed as in the differential equation case, since the general solution of an
5593:
4713:
3538:
2456:
3488:{\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I)=(xD-\lambda _{2}I)(xD-\lambda _{1}I)}
2092:{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.}
380:
2901:
6601:
linearly independent solutions. Applying reduction of order in case of a multiple root
6584:{\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\dots +a_{1}m+a_{0}=0.}
2924:
2878:
2735:
1375:{\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))}
360:
2729:
Observe that we can write the second-order Cauchy-Euler equation in terms of a linear
7003:
6372:{\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}
251:{\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{0}y(x)=0.}
4739:
and recognizing the left-hand side as the derivative of a product, we then obtain
20:
4566:{\displaystyle (xD-\lambda I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda y=c_{1}x^{\lambda }.}
6990:
4651:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-{\frac {\lambda }{x}}y=c_{1}x^{\lambda -1},}
2444:{\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}
3272:{\displaystyle -{\frac {a-1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}.}
2340:{\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t},}
474:
can be used to solve the equation directly, yielding the basic solutions.
6953:
Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Rosatone, Laurie (ed.).
6597:-th order linear difference equation is also the linear combination of
2715:{\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}
1817:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}}
610:{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.}
3806:{\displaystyle (xD-\lambda _{i}I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda _{i}y=0}
1627:{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0}
6799:{\textstyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {dt}{t-m_{1}}}.}
6430:
brings us to the same situation as the differential equation case,
804:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m\left(m-1\right)x^{m-2}.}
497:
489:
481:
2608:{\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}},}
6688:{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}
6102:
where the superscript denotes applying the difference operator
813:
Substituting into the original equation leads to requiring that
510:
in polar coordinates. The second order Cauchy–Euler equation is
4710:
as our integrating factor. Multiplying our equation through by
6955:
Elementary
Differential Equations and Boundary Value Problems
4658:
which one can recognize as being amenable to solution via an
4143:{\displaystyle y=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}
6879:{\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}
6610:
will yield expressions involving a discrete version of
6192:{\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}
3057:{\displaystyle (xD)^{2}=xD(xD)=x(D+xD^{2})=x^{2}D^{2}+xD.}
3354:{\displaystyle L=(xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I).}
6809:
In cases where fractions become involved, one may use
6703:
4374:{\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=(xD-\lambda I)z=0.}
958:
Rearranging and factoring gives the indicial equation
6815:
6620:
6436:
6385:
6209:
6122:
5832:
5623:
5596:
5510:
5412:
5396:
is zero. Solving the quadratic equation, we get
5120:
5043:
4745:
4716:
4671:
4579:
4477:
4434:
4387:
4306:
4259:
4205:
4159:
4076:
3819:
3723:
3685:
3624:
3570:
3541:
3501:
3369:
3285:
3196:
3156:
3070:
2947:
2927:
2904:
2881:
2843:
2758:
2738:
2621:
2529:
2488:
2459:
2356:
2255:
2225:
2198:
2136:
2107:
2001:
1972:
1829:
1760:
1684:
1644:
1535:
1464:
1424:
1387:
1262:
1162:
1080:
964:
819:
722:
663:
625:
518:
447:
413:
383:
363:
337:
299:
266:
99:
3564:
is a linear combination of the solutions to each of
2725:
Second order - solution using differential operators
5481:analogue to the Cauchy–Euler equation. For a fixed
4199:, then we instead need to consider the solution of
3363:It can be seen that these factors commute, that is
2249:If the roots are distinct, the general solution is
1526:
Second order – solution through change of variables
6878:
6798:
6687:
6583:
6422:
6371:
6191:
6092:
5812:
5609:
5580:
5461:
5363:
5100:
5022:
4731:
4702:
4650:
4565:
4463:
4420:
4373:
4292:
4245:
4192:{\displaystyle \lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2}}
4191:
4142:
4062:
3805:
3709:
3664:
3610:
3556:
3527:
3487:
3353:
3271:
3182:
3140:
3056:
2933:
2913:
2887:
2867:
2829:
2744:
2714:
2607:
2512:
2474:
2443:
2339:
2238:
2211:
2182:
2122:
2091:
1987:
1956:
1816:
1745:{\displaystyle y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).}
1744:
1671:
1626:
1498:
1448:
1411:
1374:
1229:
1146:
1014:
948:
803:
708:
647:
609:
466:
433:
399:
369:
349:
323:
285:
250:
2898:We express the above operator as a polynomial in
1243:must be applied, after having found one solution
2350:If the roots are equal, the general solution is
1636:We operate the variable substitution defined by
1509:This form of the solution is derived by setting
5581:{\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1).}
2183:{\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}
1147:{\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}
1412:{\displaystyle \alpha =\operatorname {Re} (m)}
357:, in which one might replace all instances of
3528:{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}
1449:{\displaystyle \beta =\operatorname {Im} (m)}
1230:{\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}}
478:Second order – solving through trial solution
8:
3704:
3692:
2130:is solved via its characteristic polynomial
1015:{\displaystyle m^{2}+\left(a-1\right)m+b=0.}
428:
422:
6106:times. Comparing this to the fact that the
1499:{\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} }
434:{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
78:th derivative of the unknown function
6923:
6921:
6919:
2830:{\displaystyle Ly=(x^{2}D^{2}+axD+bI)y=0,}
6838:
6820:
6814:
6784:
6763:
6757:
6750:
6739:
6723:
6702:
6673:
6657:
6651:
6640:
6619:
6569:
6553:
6486:
6435:
6405:
6384:
6342:
6302:
6277:
6261:
6233:
6214:
6208:
6181:
6171:
6165:
6121:
6065:
6044:
6037:
5970:
5874:
5846:
5841:
5833:
5831:
5788:
5774:
5689:
5661:
5635:
5624:
5622:
5601:
5595:
5515:
5509:
5455:
5449:
5439:
5423:
5411:
5357:
5345:
5315:
5297:
5281:
5262:
5227:
5200:
5162:
5125:
5119:
5094:
5048:
5042:
5007:
4997:
4984:
4959:
4936:
4908:
4895:
4870:
4861:
4851:
4825:
4808:
4798:
4772:
4750:
4746:
4744:
4715:
4691:
4670:
4633:
4623:
4603:
4580:
4578:
4554:
4544:
4508:
4476:
4455:
4445:
4433:
4386:
4329:
4305:
4258:
4228:
4204:
4183:
4170:
4158:
4132:
4127:
4117:
4102:
4097:
4087:
4075:
4045:
4040:
4030:
4006:
4001:
3991:
3952:
3921:
3911:
3902:
3884:
3874:
3858:
3827:
3820:
3818:
3788:
3761:
3740:
3722:
3684:
3641:
3623:
3587:
3569:
3540:
3519:
3506:
3500:
3473:
3445:
3414:
3386:
3368:
3336:
3308:
3284:
3249:
3231:
3221:
3200:
3195:
3183:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
3174:
3161:
3155:
3090:
3069:
3036:
3026:
3010:
2961:
2946:
2926:
2903:
2880:
2850:
2842:
2785:
2775:
2757:
2737:
2701:
2696:
2671:
2656:
2651:
2641:
2620:
2594:
2589:
2579:
2564:
2559:
2549:
2528:
2487:
2458:
2427:
2422:
2409:
2391:
2386:
2376:
2355:
2323:
2318:
2308:
2290:
2285:
2275:
2254:
2230:
2224:
2203:
2197:
2141:
2135:
2106:
2054:
2027:
2009:
2002:
2000:
1971:
1926:
1914:
1896:
1889:
1876:
1867:
1855:
1837:
1830:
1828:
1794:
1784:
1761:
1759:
1683:
1643:
1589:
1571:
1553:
1546:
1540:
1534:
1492:
1491:
1482:
1469:
1463:
1423:
1386:
1336:
1326:
1283:
1273:
1261:
1221:
1211:
1183:
1173:
1161:
1136:
1131:
1121:
1106:
1101:
1091:
1079:
969:
963:
930:
899:
861:
824:
818:
786:
748:
730:
723:
721:
709:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}}
694:
664:
662:
636:
624:
572:
554:
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458:
446:
415:
414:
412:
392:
384:
382:
362:
336:
298:
277:
265:
224:
184:
168:
152:
124:
114:
104:
98:
3141:{\displaystyle L=(xD)^{2}+(a-1)(xD)+bI.}
89:. Then a Cauchy–Euler equation of order
6915:
2347:where the exponentials may be complex.
1239:To get to this solution, the method of
419:
5462:{\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}
3190:denote the (possibly equal) values of
5101:{\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}
4246:{\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=0}
3665:{\displaystyle (xD-\lambda _{2}I)y=0}
3611:{\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)y=0}
1028:. There are three cases of interest:
407:, extending the solution's domain to
7:
6900:Hypergeometric differential equation
5590:Applying the difference operator to
5403:. The general solution is therefore
49:. It is sometimes referred to as an
6957:(10th ed.). pp. 272–273.
4464:{\displaystyle z=c_{1}x^{\lambda }}
6861:
6841:
5108:we substitute the simple solution
4703:{\displaystyle M(x)=x^{-\lambda }}
1995:the differential equation becomes
1053:Case 2 of one real repeated root,
14:
4421:{\displaystyle (xD-\lambda I)z=0}
4293:{\displaystyle z=(xD-\lambda I)y}
2868:{\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}
6930:Advanced Engineering Mathematics
6928:Kreyszig, Erwin (May 10, 2006).
5390:solution, or the coefficient of
4573:We then rewrite the equation as
7010:Ordinary differential equations
6199:suggests that we can solve the
6870:
6864:
6856:
6844:
6832:
6826:
6729:
6710:
6630:
6624:
6537:
6519:
6513:
6501:
6476:
6458:
6452:
6440:
6417:
6411:
6395:
6389:
6357:
6351:
6326:
6320:
6315:
6303:
6295:
6289:
6251:
6245:
6240:
6234:
6226:
6220:
6203:-th order difference equation
6162:
6144:
6138:
6126:
6077:
6071:
6056:
6050:
6034:
6016:
6010:
5998:
5982:
5976:
5960:
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5936:
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5916:
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5853:
5847:
5800:
5794:
5768:
5750:
5744:
5732:
5729:
5717:
5701:
5695:
5679:
5667:
5647:
5641:
5572:
5554:
5548:
5536:
5527:
5521:
4977:
4971:
4942:
4926:
4920:
4901:
4784:
4765:
4726:
4720:
4681:
4675:
4496:
4478:
4406:
4388:
4359:
4341:
4326:
4307:
4284:
4266:
4225:
4206:
4070:Thus, the general solution is
3749:
3724:
3650:
3625:
3596:
3571:
3482:
3457:
3454:
3429:
3423:
3398:
3395:
3370:
3345:
3320:
3317:
3292:
3246:
3233:
3123:
3114:
3111:
3099:
3087:
3077:
3016:
2994:
2985:
2976:
2958:
2948:
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2768:
2689:
2683:
2631:
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2539:
2533:
2507:
2501:
2469:
2463:
2366:
2360:
2265:
2259:
2162:
2150:
2117:
2111:
2051:
2039:
1982:
1976:
1736:
1730:
1721:
1718:
1712:
1703:
1694:
1688:
1663:
1657:
1443:
1437:
1406:
1400:
1369:
1366:
1360:
1348:
1316:
1313:
1307:
1295:
1201:
1195:
1032:Case 1 of two distinct roots,
393:
385:
318:
312:
239:
233:
208:
202:
197:
185:
142:
136:
131:
125:
43:ordinary differential equation
16:Ordinary differential equation
1:
6423:{\displaystyle y(n)=f_{m}(n)}
5473:Difference equation analogue
3710:{\displaystyle i\in \{1,2\}}
2453:In both cases, the solution
2239:{\displaystyle \lambda _{2}}
2212:{\displaystyle \lambda _{1}}
1256:In case 3, the solution is
4471:. So, we are left to solve
4381:As before, the solution of
2123:{\displaystyle \varphi (t)}
1988:{\displaystyle \varphi (t)}
1156:In case 2, the solution is
1074:In case 1, the solution is
619:We assume a trial solution
7026:
2895:is the identity operator.
2523:Hence, in the first case,
5379:to be a solution, either
3672:, which can be solved by
1672:{\displaystyle t=\ln(x).}
1060:Case 3 of complex roots,
2615:and in the second case,
2513:{\displaystyle t=\ln(x)}
2482:can be found by setting
648:{\displaystyle y=x^{m}.}
324:{\displaystyle u=\ln(x)}
6986:"Cauchy–Euler equation"
4300:, so that we can write
3674:separation of variables
2941:. By the product rule,
467:{\displaystyle y=x^{m}}
286:{\displaystyle x=e^{u}}
6880:
6800:
6689:
6656:
6585:
6424:
6373:
6193:
6094:
5814:
5611:
5582:
5488:, define the sequence
5463:
5365:
5102:
5024:
4733:
4704:
4652:
4567:
4465:
4422:
4375:
4294:
4247:
4193:
4144:
4064:
3807:
3711:
3666:
3612:
3558:
3529:
3489:
3355:
3273:
3184:
3142:
3058:
2935:
2915:
2889:
2869:
2831:
2746:
2716:
2609:
2514:
2476:
2445:
2341:
2240:
2213:
2184:
2124:
2093:
1989:
1958:
1818:
1754:Differentiating gives
1746:
1673:
1628:
1500:
1450:
1413:
1376:
1231:
1148:
1016:
950:
805:
710:
657:Differentiating gives
649:
611:
503:
495:
487:
468:
435:
401:
371:
351:
350:{\displaystyle x<0}
325:
287:
252:
6905:Cauchy–Euler operator
6881:
6801:
6690:
6636:
6586:
6425:
6374:
6194:
6095:
5815:
5612:
5610:{\displaystyle f_{m}}
5583:
5464:
5366:
5103:
5025:
4734:
4705:
4653:
4568:
4466:
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4376:
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4248:
4194:
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4065:
3808:
3712:
3667:
3613:
3559:
3530:
3490:
3356:
3274:
3185:
3143:
3059:
2936:
2916:
2890:
2870:
2832:
2747:
2731:differential operator
2717:
2610:
2515:
2477:
2446:
2342:
2241:
2214:
2185:
2125:
2094:
1990:
1959:
1819:
1747:
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1629:
1501:
1451:
1414:
1377:
1232:
1149:
1017:
951:
806:
711:
650:
612:
501:
493:
485:
469:
436:
402:
372:
352:
326:
288:
253:
47:variable coefficients
29:Cauchy–Euler equation
25:Euler–Cauchy equation
6813:
6701:
6618:
6434:
6383:
6207:
6120:
5830:
5826:times, we find that
5621:
5594:
5508:
5410:
5118:
5041:
4743:
4732:{\displaystyle M(x)}
4714:
4669:
4577:
4475:
4432:
4385:
4304:
4257:
4203:
4157:
4074:
3817:
3721:
3683:
3622:
3568:
3557:{\displaystyle Ly=0}
3539:
3499:
3367:
3283:
3194:
3154:
3068:
2945:
2925:
2902:
2879:
2841:
2756:
2736:
2619:
2527:
2486:
2475:{\displaystyle y(x)}
2457:
2354:
2253:
2223:
2196:
2134:
2105:
1999:
1970:
1827:
1758:
1682:
1642:
1533:
1462:
1422:
1385:
1260:
1160:
1078:
962:
817:
720:
661:
623:
516:
445:
411:
381:
361:
335:
297:
264:
97:
6762:
5857:
5479:difference equation
400:{\displaystyle |x|}
6983:Weisstein, Eric W.
6876:
6796:
6735:
6685:
6581:
6420:
6369:
6189:
6110:-th derivative of
6090:
6088:
5837:
5810:
5808:
5607:
5578:
5459:
5386:, which gives the
5361:
5098:
5020:
5018:
4729:
4700:
4660:integrating factor
4648:
4563:
4461:
4418:
4371:
4290:
4243:
4189:
4140:
4060:
4058:
3803:
3707:
3662:
3608:
3554:
3535:, the solution to
3525:
3485:
3351:
3269:
3180:
3138:
3054:
2931:
2914:{\displaystyle xD}
2911:
2885:
2865:
2827:
2742:
2712:
2605:
2510:
2472:
2441:
2337:
2236:
2209:
2180:
2120:
2089:
1985:
1954:
1814:
1742:
1669:
1624:
1496:
1446:
1409:
1372:
1241:reduction of order
1227:
1144:
1024:We then solve for
1012:
946:
801:
706:
645:
607:
508:Laplace's equation
504:
496:
488:
464:
431:
397:
367:
347:
321:
283:
248:
6964:978-0-470-45831-0
6939:978-0-470-08484-7
6874:
6791:
6680:
6187:
6081:
5964:
5782:
4763:
4611:
4598:
4526:
3919:
3882:
3845:
3779:
3264:
3229:
3216:
2934:{\displaystyle D}
2888:{\displaystyle I}
2863:
2745:{\displaystyle L}
2101:This equation in
2072:
2034:
1944:
1921:
1882:
1862:
1812:
1792:
1779:
1607:
1578:
755:
682:
590:
561:
370:{\displaystyle x}
260:The substitution
7017:
6996:
6995:
6969:
6968:
6950:
6944:
6943:
6925:
6889:
6885:
6883:
6882:
6877:
6875:
6873:
6859:
6839:
6825:
6824:
6805:
6803:
6802:
6797:
6792:
6790:
6789:
6788:
6772:
6764:
6761:
6756:
6755:
6754:
6728:
6727:
6694:
6692:
6691:
6686:
6681:
6679:
6678:
6677:
6658:
6655:
6650:
6613:
6609:
6600:
6596:
6590:
6588:
6587:
6582:
6574:
6573:
6558:
6557:
6497:
6496:
6429:
6427:
6426:
6421:
6410:
6409:
6378:
6376:
6375:
6370:
6347:
6346:
6319:
6318:
6288:
6287:
6272:
6271:
6244:
6243:
6219:
6218:
6198:
6196:
6195:
6190:
6188:
6186:
6185:
6176:
6175:
6166:
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6105:
6099:
6097:
6096:
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6080:
6070:
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6049:
6048:
6038:
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5975:
5974:
5965:
5963:
5919:
5875:
5856:
5845:
5825:
5819:
5817:
5816:
5811:
5809:
5793:
5792:
5783:
5775:
5707:
5694:
5693:
5666:
5665:
5640:
5639:
5616:
5614:
5613:
5608:
5606:
5605:
5587:
5585:
5584:
5579:
5520:
5519:
5503:
5487:
5468:
5466:
5465:
5460:
5454:
5453:
5444:
5443:
5428:
5427:
5402:
5395:
5385:
5378:
5370:
5368:
5367:
5362:
5350:
5349:
5340:
5336:
5320:
5319:
5302:
5301:
5286:
5285:
5267:
5266:
5257:
5253:
5232:
5231:
5216:
5212:
5211:
5210:
5178:
5174:
5173:
5172:
5157:
5153:
5130:
5129:
5113:
5107:
5105:
5104:
5099:
5078:
5061:
5053:
5052:
5029:
5027:
5026:
5021:
5019:
5012:
5011:
5002:
5001:
4989:
4988:
4964:
4963:
4948:
4941:
4940:
4913:
4912:
4900:
4899:
4869:
4868:
4856:
4855:
4833:
4832:
4816:
4815:
4803:
4802:
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4779:
4764:
4762:
4751:
4738:
4736:
4735:
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