960:
479:
710:
849:
338:
645:
213:
743:
369:
770:
561:
248:
96:
361:
139:
539:
505:
116:
61:
1001:
656:
901:
783:
1020:
1030:
256:
1025:
994:
569:
870:
1035:
987:
119:
150:
474:{\displaystyle \Phi =\min _{S\subset X,\pi (S)\leq {\frac {1}{2}}}{\frac {Q(S\times S^{c})}{\pi (S)}}.}
959:
715:
748:
544:
221:
932:
508:
924:
897:
860:
25:
889:
865:
66:
346:
124:
33:
514:
487:
971:
101:
46:
37:
1014:
884:
Cheeger, Jeff (1971). "A Lower Bound for the
Smallest Eigenvalue of the Laplacian".
29:
17:
967:
893:
651:
928:
705:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}}
936:
844:{\displaystyle 1-2\Phi \leq \lambda _{2}\leq 1-{\frac {\Phi ^{2}}{2}}.}
912:
886:
Problems in
Analysis: A Symposium in Honor of Salomon Bochner (PMS-31)
745:. The Cheeger bound is a bound on the second largest eigenvalue
98:
be the transition probability for a reversible Markov chain on
333:{\displaystyle Q(A\times B)=\sum _{x\in A,y\in B}Q(x,y).}
28:
of a finite-state, discrete-time, reversible stationary
975:
786:
751:
718:
659:
572:
547:
517:
490:
372:
349:
259:
224:
153:
127:
104:
69:
49:
913:"Geometric Bounds for Eigenvalues of Markov Chains"
640:{\displaystyle (K\phi )(x)=\sum _{y}K(x,y)\phi (y)}
24:is a bound of the second largest eigenvalue of the
923:(1). Institute of Mathematical Statistics: 36–61.
843:
764:
737:
704:
639:
555:
533:
499:
473:
355:
332:
242:
207:
133:
110:
90:
55:
888:. Princeton University Press. pp. 195–200.
380:
995:
8:
1002:
988:
911:Diaconis, Persi; Stroock, Daniel (1991).
827:
821:
806:
785:
756:
750:
723:
717:
696:
677:
664:
658:
601:
571:
549:
548:
546:
526:
518:
516:
489:
442:
423:
411:
383:
371:
348:
285:
258:
223:
152:
126:
103:
68:
48:
32:. It can be seen as a special case of
7:
956:
954:
208:{\displaystyle Q(x,y)=\pi (x)K(x,y)}
824:
796:
373:
350:
14:
917:The Annals of Applied Probability
958:
738:{\displaystyle \lambda _{1}=1}
634:
628:
622:
610:
591:
585:
582:
573:
527:
519:
462:
456:
448:
429:
405:
399:
324:
312:
275:
263:
202:
190:
184:
178:
169:
157:
85:
73:
1:
974:. You can help Knowledge by
765:{\displaystyle \lambda _{2}}
556:{\displaystyle \mathbb {R} }
243:{\displaystyle A,B\subset X}
1052:
1021:Probabilistic inequalities
953:
894:10.1515/9781400869312-013
1031:Statistical inequalities
776:Theorem (Cheeger bound):
118:. Assume this chain has
63:be a finite set and let
120:stationary distribution
970:-related article is a
845:
766:
739:
706:
641:
557:
535:
501:
475:
357:
334:
244:
209:
135:
112:
92:
91:{\displaystyle K(x,y)}
57:
846:
767:
740:
712:. It is known that
707:
642:
558:
536:
502:
476:
358:
356:{\displaystyle \Phi }
335:
245:
210:
136:
113:
93:
58:
1026:Stochastic processes
784:
749:
716:
657:
570:
545:
515:
488:
370:
347:
343:Define the constant
257:
222:
151:
134:{\displaystyle \pi }
125:
102:
67:
47:
34:Cheeger inequalities
534:{\displaystyle |X|}
841:
762:
735:
702:
637:
606:
553:
531:
509:space of functions
500:{\displaystyle K,}
497:
471:
422:
353:
330:
308:
240:
205:
131:
108:
88:
53:
983:
982:
903:978-1-4008-6931-2
861:Stochastic matrix
836:
597:
466:
419:
379:
281:
111:{\displaystyle X}
56:{\displaystyle X}
26:transition matrix
1043:
1036:Statistics stubs
1004:
997:
990:
962:
955:
946:
944:
943:
907:
866:Cheeger constant
850:
848:
847:
842:
837:
832:
831:
822:
811:
810:
771:
769:
768:
763:
761:
760:
744:
742:
741:
736:
728:
727:
711:
709:
708:
703:
701:
700:
682:
681:
669:
668:
646:
644:
643:
638:
605:
562:
560:
559:
554:
552:
540:
538:
537:
532:
530:
522:
506:
504:
503:
498:
480:
478:
477:
472:
467:
465:
451:
447:
446:
424:
421:
420:
412:
362:
360:
359:
354:
339:
337:
336:
331:
307:
249:
247:
246:
241:
214:
212:
211:
206:
140:
138:
137:
132:
117:
115:
114:
109:
97:
95:
94:
89:
62:
60:
59:
54:
1051:
1050:
1046:
1045:
1044:
1042:
1041:
1040:
1011:
1010:
1009:
1008:
951:
949:
941:
939:
910:
904:
883:
879:
857:
823:
802:
782:
781:
752:
747:
746:
719:
714:
713:
692:
673:
660:
655:
654:
568:
567:
543:
542:
513:
512:
486:
485:
452:
438:
425:
368:
367:
345:
344:
255:
254:
220:
219:
149:
148:
123:
122:
100:
99:
65:
64:
45:
44:
38:expander graphs
12:
11:
5:
1049:
1047:
1039:
1038:
1033:
1028:
1023:
1013:
1012:
1007:
1006:
999:
992:
984:
981:
980:
963:
948:
947:
908:
902:
880:
878:
875:
874:
873:
868:
863:
856:
853:
852:
851:
840:
835:
830:
826:
820:
817:
814:
809:
805:
801:
798:
795:
792:
789:
759:
755:
734:
731:
726:
722:
699:
695:
691:
688:
685:
680:
676:
672:
667:
663:
648:
647:
636:
633:
630:
627:
624:
621:
618:
615:
612:
609:
604:
600:
596:
593:
590:
587:
584:
581:
578:
575:
551:
529:
525:
521:
507:acting on the
496:
493:
482:
481:
470:
464:
461:
458:
455:
450:
445:
441:
437:
434:
431:
428:
418:
415:
410:
407:
404:
401:
398:
395:
392:
389:
386:
382:
378:
375:
352:
341:
340:
329:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
306:
303:
300:
297:
294:
291:
288:
284:
280:
277:
274:
271:
268:
265:
262:
239:
236:
233:
230:
227:
216:
215:
204:
201:
198:
195:
192:
189:
186:
183:
180:
177:
174:
171:
168:
165:
162:
159:
156:
130:
107:
87:
84:
81:
78:
75:
72:
52:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1048:
1037:
1034:
1032:
1029:
1027:
1024:
1022:
1019:
1018:
1016:
1005:
1000:
998:
993:
991:
986:
985:
979:
977:
973:
969:
964:
961:
957:
952:
938:
934:
930:
926:
922:
918:
914:
909:
905:
899:
895:
891:
887:
882:
881:
876:
872:
869:
867:
864:
862:
859:
858:
854:
838:
833:
828:
818:
815:
812:
807:
803:
799:
793:
790:
787:
780:
779:
778:
777:
773:
757:
753:
732:
729:
724:
720:
697:
693:
689:
686:
683:
678:
674:
670:
665:
661:
653:
631:
625:
619:
616:
613:
607:
602:
598:
594:
588:
579:
576:
566:
565:
564:
563:, defined by
523:
510:
494:
491:
484:The operator
468:
459:
453:
443:
439:
435:
432:
426:
416:
413:
408:
402:
396:
393:
390:
387:
384:
376:
366:
365:
364:
327:
321:
318:
315:
309:
304:
301:
298:
295:
292:
289:
286:
282:
278:
272:
269:
266:
260:
253:
252:
251:
237:
234:
231:
228:
225:
199:
196:
193:
187:
181:
175:
172:
166:
163:
160:
154:
147:
146:
145:
142:
128:
121:
105:
82:
79:
76:
70:
50:
41:
39:
35:
31:
27:
23:
22:Cheeger bound
19:
976:expanding it
965:
950:
940:. Retrieved
920:
916:
885:
775:
774:
649:
483:
342:
217:
143:
42:
30:Markov chain
21:
15:
871:Conductance
652:eigenvalues
18:mathematics
1015:Categories
968:statistics
942:2024-04-14
877:References
929:1050-5164
825:Φ
819:−
813:≤
804:λ
800:≤
797:Φ
791:−
754:λ
721:λ
694:λ
690:≥
687:⋯
684:≥
675:λ
671:≥
662:λ
626:ϕ
599:∑
580:ϕ
454:π
436:×
409:≤
397:π
388:⊂
374:Φ
351:Φ
302:∈
290:∈
283:∑
270:×
235:⊂
176:π
129:π
855:See also
218:and for
937:2959624
250:define
144:Define
935:
927:
900:
20:, the
966:This
933:JSTOR
511:from
972:stub
925:ISSN
898:ISBN
650:has
43:Let
890:doi
541:to
381:min
363:as
36:in
16:In
1017::
931:.
919:.
915:.
896:.
772:.
141:.
40:.
1003:e
996:t
989:v
978:.
945:.
921:1
906:.
892::
839:.
834:2
829:2
816:1
808:2
794:2
788:1
758:2
733:1
730:=
725:1
698:n
679:2
666:1
635:)
632:y
629:(
623:)
620:y
617:,
614:x
611:(
608:K
603:y
595:=
592:)
589:x
586:(
583:)
577:K
574:(
550:R
528:|
524:X
520:|
495:,
492:K
469:.
463:)
460:S
457:(
449:)
444:c
440:S
433:S
430:(
427:Q
417:2
414:1
406:)
403:S
400:(
394:,
391:X
385:S
377:=
328:.
325:)
322:y
319:,
316:x
313:(
310:Q
305:B
299:y
296:,
293:A
287:x
279:=
276:)
273:B
267:A
264:(
261:Q
238:X
232:B
229:,
226:A
203:)
200:y
197:,
194:x
191:(
188:K
185:)
182:x
179:(
173:=
170:)
167:y
164:,
161:x
158:(
155:Q
106:X
86:)
83:y
80:,
77:x
74:(
71:K
51:X
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.