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Cheeger bound

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Cheeger, Jeff (1971). "A Lower Bound for the Smallest Eigenvalue of the Laplacian".
29: 17: 967: 893: 651: 928: 705:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}} 936: 844:{\displaystyle 1-2\Phi \leq \lambda _{2}\leq 1-{\frac {\Phi ^{2}}{2}}.} 912: 886:
Problems in Analysis: A Symposium in Honor of Salomon Bochner (PMS-31)
745:. The Cheeger bound is a bound on the second largest eigenvalue 98:
be the transition probability for a reversible Markov chain on
333:{\displaystyle Q(A\times B)=\sum _{x\in A,y\in B}Q(x,y).} 28:
of a finite-state, discrete-time, reversible stationary
975: 786: 751: 718: 659: 572: 547: 517: 490: 372: 349: 259: 224: 153: 127: 104: 69: 49: 913:"Geometric Bounds for Eigenvalues of Markov Chains" 640:{\displaystyle (K\phi )(x)=\sum _{y}K(x,y)\phi (y)} 24:is a bound of the second largest eigenvalue of the 923:(1). Institute of Mathematical Statistics: 36–61. 843: 764: 737: 704: 639: 555: 533: 499: 473: 355: 332: 242: 207: 133: 110: 90: 55: 888:. Princeton University Press. pp. 195–200. 380: 995: 8: 1002: 988: 911:Diaconis, Persi; Stroock, Daniel (1991). 827: 821: 806: 785: 756: 750: 723: 717: 696: 677: 664: 658: 601: 571: 549: 548: 546: 526: 518: 516: 489: 442: 423: 411: 383: 371: 348: 285: 258: 223: 152: 126: 103: 68: 48: 32:. It can be seen as a special case of 7: 956: 954: 208:{\displaystyle Q(x,y)=\pi (x)K(x,y)} 824: 796: 373: 350: 14: 917:The Annals of Applied Probability 958: 738:{\displaystyle \lambda _{1}=1} 634: 628: 622: 610: 591: 585: 582: 573: 527: 519: 462: 456: 448: 429: 405: 399: 324: 312: 275: 263: 202: 190: 184: 178: 169: 157: 85: 73: 1: 974:. You can help Knowledge by 765:{\displaystyle \lambda _{2}} 556:{\displaystyle \mathbb {R} } 243:{\displaystyle A,B\subset X} 1052: 1021:Probabilistic inequalities 953: 894:10.1515/9781400869312-013 1031:Statistical inequalities 776:Theorem (Cheeger bound): 118:. Assume this chain has 63:be a finite set and let 120:stationary distribution 970:-related article is a 845: 766: 739: 706: 641: 557: 535: 501: 475: 357: 334: 244: 209: 135: 112: 92: 91:{\displaystyle K(x,y)} 57: 846: 767: 740: 712:. It is known that 707: 642: 558: 536: 502: 476: 358: 356:{\displaystyle \Phi } 335: 245: 210: 136: 113: 93: 58: 1026:Stochastic processes 784: 749: 716: 657: 570: 545: 515: 488: 370: 347: 343:Define the constant 257: 222: 151: 134:{\displaystyle \pi } 125: 102: 67: 47: 34:Cheeger inequalities 534:{\displaystyle |X|} 841: 762: 735: 702: 637: 606: 553: 531: 509:space of functions 500:{\displaystyle K,} 497: 471: 422: 353: 330: 308: 240: 205: 131: 108: 88: 53: 983: 982: 903:978-1-4008-6931-2 861:Stochastic matrix 836: 597: 466: 419: 379: 281: 111:{\displaystyle X} 56:{\displaystyle X} 26:transition matrix 1043: 1036:Statistics stubs 1004: 997: 990: 962: 955: 946: 944: 943: 907: 866:Cheeger constant 850: 848: 847: 842: 837: 832: 831: 822: 811: 810: 771: 769: 768: 763: 761: 760: 744: 742: 741: 736: 728: 727: 711: 709: 708: 703: 701: 700: 682: 681: 669: 668: 646: 644: 643: 638: 605: 562: 560: 559: 554: 552: 540: 538: 537: 532: 530: 522: 506: 504: 503: 498: 480: 478: 477: 472: 467: 465: 451: 447: 446: 424: 421: 420: 412: 362: 360: 359: 354: 339: 337: 336: 331: 307: 249: 247: 246: 241: 214: 212: 211: 206: 140: 138: 137: 132: 117: 115: 114: 109: 97: 95: 94: 89: 62: 60: 59: 54: 1051: 1050: 1046: 1045: 1044: 1042: 1041: 1040: 1011: 1010: 1009: 1008: 951: 949: 941: 939: 910: 904: 883: 879: 857: 823: 802: 782: 781: 752: 747: 746: 719: 714: 713: 692: 673: 660: 655: 654: 568: 567: 543: 542: 513: 512: 486: 485: 452: 438: 425: 368: 367: 345: 344: 255: 254: 220: 219: 149: 148: 123: 122: 100: 99: 65: 64: 45: 44: 38:expander graphs 12: 11: 5: 1049: 1047: 1039: 1038: 1033: 1028: 1023: 1013: 1012: 1007: 1006: 999: 992: 984: 981: 980: 963: 948: 947: 908: 902: 880: 878: 875: 874: 873: 868: 863: 856: 853: 852: 851: 840: 835: 830: 826: 820: 817: 814: 809: 805: 801: 798: 795: 792: 789: 759: 755: 734: 731: 726: 722: 699: 695: 691: 688: 685: 680: 676: 672: 667: 663: 648: 647: 636: 633: 630: 627: 624: 621: 618: 615: 612: 609: 604: 600: 596: 593: 590: 587: 584: 581: 578: 575: 551: 529: 525: 521: 507:acting on the 496: 493: 482: 481: 470: 464: 461: 458: 455: 450: 445: 441: 437: 434: 431: 428: 418: 415: 410: 407: 404: 401: 398: 395: 392: 389: 386: 382: 378: 375: 352: 341: 340: 329: 326: 323: 320: 317: 314: 311: 306: 303: 300: 297: 294: 291: 288: 284: 280: 277: 274: 271: 268: 265: 262: 239: 236: 233: 230: 227: 216: 215: 204: 201: 198: 195: 192: 189: 186: 183: 180: 177: 174: 171: 168: 165: 162: 159: 156: 130: 107: 87: 84: 81: 78: 75: 72: 52: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1048: 1037: 1034: 1032: 1029: 1027: 1024: 1022: 1019: 1018: 1016: 1005: 1000: 998: 993: 991: 986: 985: 979: 977: 973: 969: 964: 961: 957: 952: 938: 934: 930: 926: 922: 918: 914: 909: 905: 899: 895: 891: 887: 882: 881: 876: 872: 869: 867: 864: 862: 859: 858: 854: 838: 833: 828: 818: 815: 812: 807: 803: 799: 793: 790: 787: 780: 779: 778: 777: 773: 757: 753: 732: 729: 724: 720: 697: 693: 689: 686: 683: 678: 674: 670: 665: 661: 653: 631: 625: 619: 616: 613: 607: 602: 598: 594: 588: 579: 576: 566: 565: 564: 563:, defined by 523: 510: 494: 491: 484:The operator 468: 459: 453: 443: 439: 435: 432: 426: 416: 413: 408: 402: 396: 393: 390: 387: 384: 376: 366: 365: 364: 327: 321: 318: 315: 309: 304: 301: 298: 295: 292: 289: 286: 282: 278: 272: 269: 266: 260: 253: 252: 251: 237: 234: 231: 228: 225: 199: 196: 193: 187: 181: 175: 172: 166: 163: 160: 154: 147: 146: 145: 142: 128: 121: 105: 82: 79: 76: 70: 50: 41: 39: 35: 31: 27: 23: 22:Cheeger bound 19: 976:expanding it 965: 950: 940:. Retrieved 920: 916: 885: 775: 774: 649: 483: 342: 217: 143: 42: 30:Markov chain 21: 15: 871:Conductance 652:eigenvalues 18:mathematics 1015:Categories 968:statistics 942:2024-04-14 877:References 929:1050-5164 825:Φ 819:− 813:≤ 804:λ 800:≤ 797:Φ 791:− 754:λ 721:λ 694:λ 690:≥ 687:⋯ 684:≥ 675:λ 671:≥ 662:λ 626:ϕ 599:∑ 580:ϕ 454:π 436:× 409:≤ 397:π 388:⊂ 374:Φ 351:Φ 302:∈ 290:∈ 283:∑ 270:× 235:⊂ 176:π 129:π 855:See also 218:and for 937:2959624 250:define 144:Define 935:  927:  900:  20:, the 966:This 933:JSTOR 511:from 972:stub 925:ISSN 898:ISBN 650:has 43:Let 890:doi 541:to 381:min 363:as 36:in 16:In 1017:: 931:. 919:. 915:. 896:. 772:. 141:. 40:. 1003:e 996:t 989:v 978:. 945:. 921:1 906:. 892:: 839:. 834:2 829:2 816:1 808:2 794:2 788:1 758:2 733:1 730:= 725:1 698:n 679:2 666:1 635:) 632:y 629:( 623:) 620:y 617:, 614:x 611:( 608:K 603:y 595:= 592:) 589:x 586:( 583:) 577:K 574:( 550:R 528:| 524:X 520:| 495:, 492:K 469:. 463:) 460:S 457:( 449:) 444:c 440:S 433:S 430:( 427:Q 417:2 414:1 406:) 403:S 400:( 394:, 391:X 385:S 377:= 328:. 325:) 322:y 319:, 316:x 313:( 310:Q 305:B 299:y 296:, 293:A 287:x 279:= 276:) 273:B 267:A 264:( 261:Q 238:X 232:B 229:, 226:A 203:) 200:y 197:, 194:x 191:( 188:K 185:) 182:x 179:( 173:= 170:) 167:y 164:, 161:x 158:( 155:Q 106:X 86:) 83:y 80:, 77:x 74:( 71:K 51:X

Index

mathematics
transition matrix
Markov chain
Cheeger inequalities
expander graphs
stationary distribution
space of functions
eigenvalues
Stochastic matrix
Cheeger constant
Conductance
doi
10.1515/9781400869312-013
ISBN
978-1-4008-6931-2
"Geometric Bounds for Eigenvalues of Markov Chains"
ISSN
1050-5164
JSTOR
2959624
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Probabilistic inequalities
Stochastic processes

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