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1046:
290:
2011:
2248:
2261:
783:
778:
1752:
594:
1770:
2015:
1135:
50:
2624:{\displaystyle {\begin{aligned}(\mu -\mu ')\sum _{l=m}^{L}\,(2l+1){\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_{lm}(\mu )P_{lm}(\mu ')=\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\{\frac {(L-m+1)!}{(L+m)!}}{\big }.\end{aligned}}}
1564:
653:
2266:
1310:
366:
1041:{\displaystyle {\begin{array}{l l}{p_{0}(x)=1,\qquad p_{1}(x)={\frac {x-b_{0}}{a_{0}}},}\\{xp_{n}(x)=a_{n}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n-1}p_{n-1}(x),\qquad n\geq 1}\end{array}}}
1255:
1622:
1419:
1167:
1617:
1343:
1373:
1197:
361:
1482:
1455:
628:
648:
1584:
2957:
2793:
Darboux, Gaston (1878), "Mémoire sur l'approximation des fonctions de très-grands nombres, et sur une classe étendue de développements en série",
285:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}}
2006:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}
1056:
2854:
2843:
2736:
2986:
2243:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {He_{k}(x)He_{k}(y)}{k!}}={\frac {1}{n!}}\,{\frac {He_{n}(y)He_{n+1}(x)-He_{n}(x)He_{n+1}(y)}{x-y}}.}
2976:
2950:
2252:
1490:
2981:
2818:
1260:
2943:
2835:
2728:
2640:
773:{\displaystyle a_{n}=\langle xp_{n},p_{n+1}\rangle ,\qquad b_{n}=\langle xp_{n},p_{n}\rangle ,\qquad n\geq 0}
29:
2861:
Simons, Frederik J.; Dahlen, F. A.; Wieczorek, Mark A. (2006), "Spatiospectral concentration on a sphere",
313:
25:
2923:
1747:{\displaystyle \langle {\frac {k_{n+1}}{k_{n}}}xp_{n},p_{n+1}\rangle =\langle p_{n+1},p_{n+1}\rangle =1}
1202:
2880:
1762:
1378:
37:
2896:
2870:
2782:
2706:
2678:
589:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left.}
1754:. Now the Christoffel-Darboux formula is proved by induction, using the three-term recurrence.
1140:
2850:
2839:
2774:
2732:
2698:
1589:
1315:
2888:
2802:
2766:
2688:
1348:
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340:
2746:
1460:
1433:
606:
2806:
2742:
633:
2667:"Asymptotic Behaviour of Christoffel–Darboux Kernel Via Three-Term Recurrence Relation I"
2884:
2927:
1569:
2826:
Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (2010),
2970:
2786:
2710:
2900:
1430:
Since both sides are unchanged by multiplying with a constant, we can scale each
780:(they are called the "Jacobi parameters"), then we have the three-term recurrence
2645:
2693:
2666:
630:
be a sequence of polynomials orthonormal with respect to a probability measure
2892:
788:
2778:
2702:
2770:
2915:
2827:
1130:{\displaystyle \langle xp_{n},p_{k}\rangle =\langle p_{n},xp_{k}\rangle }
2875:
2755:"Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben."
2754:
2683:
2727:, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 71,
337:
There is also a "confluent form" of this identity by taking
2723:
Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999),
2931:
1559:{\displaystyle {\frac {k_{n+1}}{k_{n}}}xp_{n}-p_{n+1}}
2264:
2018:
1773:
1625:
1592:
1572:
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1059:
786:
656:
636:
609:
369:
343:
53:
2665:Świderski, Grzegorz; Trojan, Bartosz (2021-08-01).
2623:
2242:
2005:
1746:
1611:
1578:
1558:
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1367:
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1161:
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1040:
772:
642:
622:
588:
355:
284:
1345:, it suffices to perform Gram-Schmidt process on
2759:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
2832:NIST Digital Library of Mathematical Functions
1305:{\displaystyle \langle xp_{n},p_{k}\rangle =0}
2951:
2813:Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1972),
2609:
2487:
8:
2795:Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
1735:
1697:
1691:
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1264:
1124:
1095:
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754:
725:
705:
670:
33:
2958:
2944:
2874:
2838:, p. 438, Eqs. 18.2.12 and 18.2.13,
2828:"NIST Handbook of Mathematical Functions"
2692:
2682:
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2657:
1421:, which yields the desired recurrence.
41:
1426:Proof of Christoffel–Darboux formula:
7:
2912:
2910:
1586:polynomial, it is perpendicular to
2819:Dover Publications, Inc., New York
2815:Handbook of Mathematical Functions
14:
1250:{\displaystyle p_{0},...,p_{n-1}}
24:is an identity for a sequence of
2914:
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107:
94:
88:
1:
1414:{\displaystyle p_{n},p_{n-1}}
2930:. You can help Knowledge by
2987:Mathematical analysis stubs
2753:Christoffel, E. B. (1858),
1199:is a linear combination of
30:Elwin Bruno Christoffel
22:Christoffel–Darboux theorem
18:Christoffel–Darboux formula
3003:
2909:
2836:Cambridge University Press
2821:, p. 785, Eq. 22.12.1
2729:Cambridge University Press
2694:10.1007/s00365-020-09519-w
2671:Constructive Approximation
2893:10.1137/S0036144504445765
1162:{\displaystyle k\leq n-2}
325:and leading coefficient
2771:10.1515/crll.1858.55.61
1612:{\displaystyle p_{n+1}}
1338:{\displaystyle p_{n+1}}
38:Jean Gaston Darboux
2977:Orthogonal polynomials
2926:–related article is a
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356:{\displaystyle y\to x}
314:orthogonal polynomials
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74:
26:orthogonal polynomials
2924:mathematical analysis
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2641:Turán's inequalities
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367:
341:
312:th term of a set of
51:
16:In mathematics, the
2982:Functional analysis
2885:2006SIAMR..48..504S
1763:Hermite polynomials
1312:. So, to construct
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44:). It states that
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2801:: 5–56, 377–416,
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2725:Special functions
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