5350:
4993:
4428:
4155:
3766:
5345:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {B}}_{n+1}&={\mathsf {B}}_{n+2}={\mathsf {0}},\\{\mathsf {B}}_{k}&=C_{k}{\mathsf {I}}+{\mathsf {A}}{\mathsf {B}}_{k+1}-{\mathsf {B}}_{k+2},\qquad \mathrm {for\ } n\geq k\geq 1,\\{\mathsf {M}}(\theta _{1},\theta _{2})&=C_{0}{\begin{bmatrix}\mu \\1\end{bmatrix}}+{\mathsf {B}}_{1}{\mathsf {F}}_{1}(\theta _{1},\theta _{2}),\end{aligned}}}
4160:
3829:
4939:
3216:
3499:
4764:
4769:
4423:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta &={\tfrac {1}{2}}(\theta _{1}-\theta _{2}),\\\mu &={\tfrac {1}{2}}(\theta _{1}+\theta _{2}),\\{\mathsf {F}}_{k}(\theta _{1},\theta _{2})&={\begin{bmatrix}\cos k\delta \sin k\mu \\{\dfrac {\sin k\delta }{\delta }}\cos k\mu \end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
979:
2988:
4150:{\displaystyle {\mathsf {M}}(\theta _{1},\theta _{2})={\begin{bmatrix}(m(\theta _{1})+m(\theta _{2}))/2\\(m(\theta _{1})-m(\theta _{2}))/(\theta _{1}-\theta _{2})\end{bmatrix}}=C_{0}{\begin{bmatrix}\mu \\1\end{bmatrix}}+\sum _{k=1}^{n}C_{k}{\mathsf {F}}_{k}(\theta _{1},\theta _{2}),}
4566:
5519:
3761:{\displaystyle m(\theta _{1})-m(\theta _{2})=C_{0}(\theta _{1}-\theta _{2})+\sum _{k=1}^{n}2C_{k}\sin {\bigl (}{\textstyle {\frac {1}{2}}}k(\theta _{1}-\theta _{2}){\bigr )}\cos {\bigl (}{\textstyle {\frac {1}{2}}}k(\theta _{1}+\theta _{2}){\bigr )}.}
1549:
2674:
1330:
748:
366:
4934:{\displaystyle {\mathsf {A}}(\theta _{1},\theta _{2})=2{\begin{bmatrix}\cos \delta \cos \mu &-\delta \sin \delta \sin \mu \\-\displaystyle {\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \mu &\cos \delta \cos \mu \end{bmatrix}}}
1954:
2909:
2983:
3432:
5386:
4998:
4165:
5789:
4561:
3211:{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n+1}(\theta )&=b_{n+2}(\theta )=0,\\b_{k}(\theta )&=C_{k}+2\cos \theta \,b_{k+1}(\theta )-b_{k+2}(\theta ),\quad \mathrm {for\ } n\geq k\geq 1.\end{aligned}}}
2776:
4481:
2204:
179:
2993:
2407:
1431:
753:
2303:
1426:
2552:
1421:
2532:
2017:
1785:
3824:
1166:
5568:
4759:{\displaystyle {\mathsf {F}}_{k+1}(\theta _{1},\theta _{2})={\mathsf {A}}(\theta _{1},\theta _{2}){\mathsf {F}}_{k}(\theta _{1},\theta _{2})-{\mathsf {F}}_{k-1}(\theta _{1},\theta _{2}),}
2091:
3321:
3270:
1693:
231:
5938:
3496:
Sometimes it necessary to compute the difference of two meridian arcs in a way that maintains high relative accuracy. This is accomplished by using trigonometric identities to write
707:
5700:
5381:
236:
5669:
3352:
2707:
513:
402:
5724:
2810:
549:
438:
3486:
3460:
1584:
1161:
1125:
1017:
477:
97:
578:
5594:
4988:
1805:
1610:
1089:
1053:
743:
5623:
4959:
618:
2816:
4501:
658:
638:
598:
2914:
3357:
974:{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n+1}(x)&=b_{n+2}(x)=0,\\b_{k}(x)&=a_{k}+\alpha _{k}(x)\,b_{k+1}(x)+\beta _{k+1}(x)\,b_{k+2}(x).\end{aligned}}}
6005:
2098:
102:
2310:
2209:
1350:
6029:
2419:
1965:
1698:
5729:
2022:
2782:
51:
It generalizes to more than just
Chebyshev polynomials; it applies to any class of functions that can be defined by a three-term
4506:
1618:
2712:
6077:
5514:{\displaystyle {\frac {m(\theta _{1})-m(\theta _{2})}{\theta _{1}-\theta _{2}}}={\mathsf {M}}_{2}(\theta _{1},\theta _{2}).}
4433:
6096:
5954:
5809:
3771:
5527:
3275:
3221:
184:
37:
5871:
5833:
1544:{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{0}(x)&=1,\\\phi _{k}(x)&=x^{k}=x\phi _{k-1}(x)\end{aligned}}}
2669:{\displaystyle m(\theta )=C_{0}\,\theta +C_{1}\sin \theta +C_{2}\sin 2\theta +\cdots +C_{n}\sin n\theta .}
666:
6071:
1959:
33:
5674:
5355:
1325:{\displaystyle S(x)=\phi _{0}(x)\,a_{0}+\phi _{1}(x)\,b_{1}(x)+\beta _{1}(x)\,\phi _{0}(x)\,b_{2}(x).}
63:
In full generality, the
Clenshaw algorithm computes the weighted sum of a finite series of functions
5631:
3326:
2681:
482:
371:
5705:
5522:
2786:
518:
407:
52:
3465:
3439:
1554:
1130:
1094:
986:
446:
66:
17:
1788:
554:
41:
5573:
4964:
6025:
6001:
5855:
1589:
1058:
1022:
712:
5599:
4944:
2709:
term, the remainder is a summation of the appropriate form. There is no leading term because
6057:
5845:
1800:
603:
361:{\displaystyle \phi _{k+1}(x)=\alpha _{k}(x)\,\phi _{k}(x)+\beta _{k}(x)\,\phi _{k-1}(x),}
5813:
4486:
2545:
applications. A simple application is summing the trigonometric series to compute the
643:
623:
583:
5850:
6090:
5804:
5800:
3436:
Note that the algorithm requires only the evaluation of two trigonometric quantities
5993:
2546:
3768:
Clenshaw summation can be applied in this case provided we simultaneously compute
2307:
One way to evaluate this is to continue the recurrence one more step, and compute
1949:{\displaystyle p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}T_{1}(x)+a_{2}T_{2}(x)+\cdots +a_{n}T_{n}(x).}
1091:, the desired sum can be expressed in terms of them and the simplest functions
6062:
6045:
5626:
5859:
2904:{\displaystyle \sin(k+1)\theta =2\cos \theta \sin k\theta -\sin(k-1)\theta ,}
29:
1347:
A particularly simple case occurs when evaluating a polynomial of the form
5969:
45:
2978:{\displaystyle \alpha _{k}(\theta )=2\cos \theta ,\quad \beta _{k}=-1.}
2542:
233:
is a sequence of functions that satisfy the linear recurrence relation
983:
Note that this computation makes no direct reference to the functions
3427:{\displaystyle m(\theta )=C_{0}\,\theta +b_{1}(\theta )\sin \theta .}
1334:
See Fox and Parker for more information and stability analyses.
5992:
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007),
4990:. The standard Clenshaw algorithm can now be applied to yield
2549:
distance on the surface of an ellipsoid. These have the form
5784:{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}(\sin k\delta )/\delta =k}
479:
are functions that are complicated to compute directly, but
1615:
In this case, the recurrence formula to compute the sum is
551:
are particularly simple. In the most common applications,
4556:{\displaystyle {\mathsf {F}}_{k}(\theta _{1},\theta _{2})}
663:
To perform the summation for given series of coefficients
2771:{\displaystyle \phi _{0}(\theta )=\sin 0\theta =\sin 0=0}
6000:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
5254:
4820:
4476:{\displaystyle {\mathsf {M}}(\theta _{1},\theta _{2})}
4339:
4237:
4179:
4046:
3877:
3703:
3637:
2446:
2199:{\displaystyle b_{k}(x)=a_{k}+2xb_{k+1}(x)-b_{k+2}(x)}
5874:
5732:
5708:
5677:
5634:
5602:
5576:
5530:
5389:
5358:
4996:
4967:
4947:
4874:
4772:
4569:
4509:
4489:
4436:
4371:
4163:
3832:
3774:
3502:
3468:
3442:
3360:
3329:
3278:
3224:
2991:
2917:
2819:
2789:
2715:
2684:
2555:
2422:
2313:
2212:
2101:
2025:
1968:
1808:
1701:
1621:
1592:
1557:
1429:
1353:
1169:
1133:
1097:
1061:
1025:
989:
751:
715:
669:
646:
626:
606:
586:
557:
521:
485:
449:
410:
374:
239:
187:
174:{\displaystyle S(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\phi _{k}(x)}
105:
69:
3218:The final step is made particularly simple because
2402:{\displaystyle b_{0}(x)=a_{0}+2xb_{1}(x)-b_{2}(x),}
1958:The coefficients in the recursion relation for the
5998:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
5955:"Some Geodetic applications of Clenshaw Summation"
5932:
5783:
5718:
5694:
5663:
5617:
5588:
5562:
5513:
5375:
5344:
4982:
4953:
4933:
4758:
4555:
4495:
4475:
4422:
4149:
3818:
3760:
3480:
3454:
3426:
3346:
3315:
3264:
3210:
2977:
2911:making the coefficients in the recursion relation
2903:
2804:
2770:
2701:
2668:
2526:
2401:
2298:{\displaystyle p_{n}(x)=a_{0}+xb_{1}(x)-b_{2}(x).}
2297:
2198:
2085:
2011:
1948:
1779:
1687:
1604:
1578:
1543:
1415:
1324:
1155:
1119:
1083:
1047:
1011:
973:
737:
701:
652:
632:
612:
592:
572:
543:
507:
471:
432:
396:
360:
225:
173:
91:
5838:Mathematical Tables and Other Aids to Computation
5864:Note that this paper is written in terms of the
5734:
1551:and are produced by the recurrence coefficients
1416:{\displaystyle S(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}
5994:"Section 5.4.2. Clenshaw's Recurrence Formula"
5948:
5946:
2527:{\displaystyle p_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\left.}
2012:{\displaystyle \alpha (x)=2x,\quad \beta =-1,}
1780:{\displaystyle S(x)=a_{0}+xb_{1}(x)=b_{0}(x),}
5834:"A note on the summation of Chebyshev series"
4503:and the second element is the average slope.
3819:{\displaystyle m(\theta _{1})+m(\theta _{2})}
3750:
3697:
3684:
3631:
2985:and the evaluation of the series is given by
8:
5563:{\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}=\mu }
2086:{\displaystyle T_{0}(x)=1,\quad T_{1}(x)=x.}
6022:Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis
3316:{\displaystyle b_{1}(\theta )\sin(\theta )}
3265:{\displaystyle \phi _{0}(\theta )=\sin 0=0}
32:method to evaluate a linear combination of
2541:Clenshaw summation is extensively used in
1688:{\displaystyle b_{k}(x)=a_{k}+xb_{k+1}(x)}
201:
6061:
5906:
5884:
5879:
5873:
5849:
5767:
5737:
5731:
5710:
5709:
5707:
5686:
5680:
5679:
5676:
5650:
5633:
5601:
5575:
5548:
5535:
5529:
5499:
5486:
5473:
5467:
5466:
5453:
5440:
5425:
5403:
5390:
5388:
5367:
5361:
5360:
5357:
5326:
5313:
5300:
5294:
5293:
5286:
5280:
5279:
5249:
5243:
5223:
5210:
5197:
5196:
5160:
5144:
5138:
5137:
5121:
5115:
5114:
5107:
5106:
5097:
5096:
5090:
5073:
5067:
5066:
5052:
5051:
5036:
5030:
5029:
5009:
5003:
5002:
4997:
4995:
4966:
4946:
4875:
4815:
4800:
4787:
4774:
4773:
4771:
4744:
4731:
4712:
4706:
4705:
4692:
4679:
4666:
4660:
4659:
4649:
4636:
4623:
4622:
4610:
4597:
4578:
4572:
4571:
4568:
4544:
4531:
4518:
4512:
4511:
4508:
4488:
4464:
4451:
4438:
4437:
4435:
4370:
4334:
4318:
4305:
4292:
4286:
4285:
4268:
4255:
4236:
4210:
4197:
4178:
4164:
4162:
4135:
4122:
4109:
4103:
4102:
4095:
4085:
4074:
4041:
4035:
4011:
3998:
3986:
3974:
3952:
3927:
3915:
3893:
3872:
3860:
3847:
3834:
3833:
3831:
3807:
3785:
3773:
3749:
3748:
3739:
3726:
3704:
3702:
3696:
3695:
3683:
3682:
3673:
3660:
3638:
3636:
3630:
3629:
3617:
3604:
3593:
3577:
3564:
3551:
3535:
3513:
3501:
3467:
3441:
3397:
3386:
3380:
3359:
3340:
3334:
3328:
3283:
3277:
3272:, so the end of the recurrence is simply
3229:
3223:
3175:
3150:
3122:
3117:
3096:
3070:
3032:
3000:
2992:
2990:
2960:
2922:
2916:
2818:
2788:
2720:
2714:
2695:
2689:
2683:
2645:
2614:
2592:
2581:
2575:
2554:
2501:
2479:
2466:
2445:
2427:
2421:
2381:
2359:
2340:
2318:
2312:
2277:
2255:
2239:
2217:
2211:
2175:
2147:
2128:
2106:
2100:
2059:
2030:
2024:
1967:
1928:
1918:
1890:
1880:
1858:
1848:
1835:
1813:
1807:
1759:
1737:
1721:
1700:
1664:
1648:
1626:
1620:
1591:
1556:
1516:
1500:
1474:
1438:
1430:
1428:
1404:
1394:
1384:
1373:
1352:
1304:
1299:
1284:
1279:
1264:
1242:
1237:
1222:
1209:
1204:
1189:
1168:
1138:
1132:
1102:
1096:
1066:
1060:
1030:
1024:
994:
988:
943:
938:
917:
889:
884:
869:
856:
830:
792:
760:
752:
750:
720:
714:
693:
674:
668:
645:
625:
605:
585:
556:
526:
520:
490:
484:
454:
448:
415:
409:
379:
373:
334:
329:
314:
292:
287:
272:
244:
238:
226:{\displaystyle \phi _{k},\;k=0,1,\ldots }
192:
186:
156:
146:
136:
125:
104:
74:
68:
5933:{\displaystyle T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1)}
5868:Chebyshev polynomials of the first kind
5824:
44:for evaluating a linear combination of
6069:
5962:Bolletino di Geodesia e Scienze Affini
5711:
5681:
5468:
5362:
5295:
5281:
5198:
5139:
5116:
5108:
5098:
5068:
5053:
5031:
5004:
4775:
4707:
4661:
4624:
4573:
4513:
4439:
4287:
4104:
3835:
620:is a constant that depends on neither
5953:Tscherning, C. C.; Poder, K. (1982),
1695:and, in this case, the sum is simply
745:by the "reverse" recurrence formula:
7:
6020:Fox, Leslie; Parker, Ian B. (1968),
2537:Meridian arc length on the ellipsoid
1343:Horner as a special case of Clenshaw
5383:are 2Ă—2 matrices. Finally we have
702:{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}
40:in 1955. It is a generalization of
5521:This technique can be used in the
5167:
5164:
5161:
4563:satisfies the recurrence relation
3492:Difference in meridian arc lengths
3182:
3179:
3176:
443:The algorithm is most useful when
14:
5851:10.1090/S0025-5718-1955-0071856-0
5695:{\displaystyle {\mathsf {F}}_{1}}
5376:{\displaystyle {\mathsf {B}}_{k}}
1795:Special case for Chebyshev series
4961:in the recurrence relation, and
3826:and perform a matrix summation,
5671:, provided that, in evaluating
5159:
3174:
2955:
2054:
1993:
36:. The method was published by
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5719:{\displaystyle {\mathsf {A}}}
2805:{\displaystyle \sin k\theta }
544:{\displaystyle \beta _{k}(x)}
433:{\displaystyle \beta _{k}(x)}
6046:"The area of rhumb polygons"
5968:(4): 349–375, archived from
3481:{\displaystyle \sin \theta }
3455:{\displaystyle \cos \theta }
2019:with the initial conditions
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1120:{\displaystyle \phi _{0}(x)}
1012:{\displaystyle \phi _{k}(x)}
472:{\displaystyle \phi _{k}(x)}
92:{\displaystyle \phi _{k}(x)}
6024:, Oxford University Press,
5812:to evaluate polynomials in
5803:to evaluate polynomials in
5596:to simultaneously compute
1787:which is exactly the usual
6113:
6076:: CS1 maint: postscript (
3354:term is added separately:
573:{\displaystyle \alpha (x)}
6063:10.1007/s11200-024-0709-z
6044:Karney, C. F. F. (2024).
5589:{\displaystyle \delta =0}
4983:{\displaystyle \beta =-1}
2416:coefficient) followed by
1423:The functions are simply
5810:De Casteljau's algorithm
4483:is the average value of
2783:recurrence relation for
2678:Leaving off the initial
2095:Thus, the recurrence is
1605:{\displaystyle \beta =0}
1084:{\displaystyle b_{1}(x)}
1048:{\displaystyle b_{2}(x)}
738:{\displaystyle b_{k}(x)}
38:Charles William Clenshaw
5618:{\displaystyle m(\mu )}
4954:{\displaystyle \alpha }
368:where the coefficients
5934:
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1019:. After computing
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