1392:
976:
1264:
2589:
871:
3716:
2321:
2114:
399:
233:
3625:
2826:
2234:
50:
are also used. One can think of limit computable functions as those admitting an eventually correct computable guessing procedure at their true value. A set is limit computable just when its
3202:
3499:
3428:
3311:
3125:
1387:{\displaystyle \displaystyle Y_{s}(z)={\begin{cases}\phi ^{X_{s}}(z)&{\text{if }}\phi ^{X_{s}}{\text{ converges in at most }}s{\text{ steps.}}\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}
3282:
3231:
2404:
2032:
1609:
2447:
2442:
1837:
1209:
1683:
1988:
1953:
1892:
792:
622:
313:
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1750:
1714:
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2898:
2855:
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1554:
3582:
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1085:
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2661:
1256:
1229:
1138:
3803:
3774:
1008:
265:
106:
3850:". Revue française d’automatique informatique recherche opérationnelle, Informatique théorique, book 9, no. R3 (1975), pp.5--12. Publisher Dunod-Gauthier-Villars.
2615:
1111:
971:{\displaystyle \displaystyle {\hat {r}}(x,s)={\begin{cases}1&{\text{if by stage }}s,x{\text{ has been enumerated into }}0'\\0&{\text{if not}}\end{cases}}}
3645:
3450:
3399:
3335:
3253:
3167:
3076:
2349:
1857:
1491:
1471:
1451:
1158:
1028:
553:
3650:
2929:. As with the case of computable real numbers, it is not possible to effectively move between the two representations of limit computable reals.
2239:
2037:
327:
161:
3868:
3941:
2780:
2174:
3936:
3587:
3882:, "Hierarchies of generalized Kolmogorov complexities and nonenumerable universal measures computable in the limit",
2686:
When a real number is viewed as a sequence of bits, the following equivalent definition holds. An infinite sequence
580:. Moreover, the limit lemma (and its relativization) hold uniformly. Thus one can go from an index for the function
3172:
3475:
3404:
3287:
3101:
109:
3258:
3207:
2354:
1997:
2965:
2946:
2680:
2584:{\displaystyle \lim _{n_{k}}\lim _{n_{k-1}}\ldots \lim _{n_{1}}g(x_{1},\ldots ,x_{m},n_{k},\ldots ,n_{1})}
3859:
S. G. Simpson, "Degree Theory on
Admissible Ordinals", pp.170--171. Appearing in J. Fenstad, P. Hinman,
2679:
if and only if there is a sequence of rational numbers which converges to it and which has a computable
3879:
2952:
2409:
1791:
1163:
1645:
1961:
1926:
1865:
753:
583:
274:
114:
31:
1558:
1296:
911:
797:
690:
627:
506:
states that a set of natural numbers is limit computable if and only if the set is computable from
2119:
1719:
1400:
2989:
2668:
409:
51:
3524:
2903:
2868:
2831:
2709:
2706:
of binary digits is computable in the limit if and only if there is a total computable function
2331:
Iteration of limit computability can be used to climb up the arithmetical hierarchy. Namely, an
462:
419:
3724:
865:
is a set, it must be computable in the limit itself as the computable function can be defined
3864:
2154:
1991:
1920:
1755:
1527:
3567:
3544:
3504:
3455:
3360:
3340:
3130:
3081:
3037:
3017:
2994:
2971:
2744:
2689:
1688:
1614:
1496:
3916:
3887:
3814:
2664:
1059:
2639:
1234:
1214:
1116:
3897:
3779:
3750:
2939:
984:
241:
82:
17:
2594:
1090:
535:
of the empty set). The relativized limit lemma states that a set is limit computable in
1897:
1065:
1033:
843:
728:
665:
558:
509:
3630:
3435:
3384:
3320:
3238:
3152:
3061:
2334:
1842:
1476:
1456:
1436:
1143:
1013:
538:
413:
405:
77:
3930:
3920:
3847:
1113:
which are identified with their characteristic functions and a computable function
2626:
532:
38:
if it is the limit of a uniformly computable sequence of functions. The terms
3891:
3711:{\displaystyle f(\gamma )\simeq \lim _{\sigma \to \alpha }f'(\sigma ,\gamma )}
2676:
315:
2617:-ary recursive function \(g\), under the assumption that all limits exist.
1958:
An early result foreshadowing the equivalence of limit-computability with
1058:
It therefore suffices to show that if limit computability is preserved by
2316:{\displaystyle \exists x_{0}\forall x(x>x_{0}\implies \gamma (x,y)=0)}
2988:-arithmetical hierarchy, which is a hierarchy defined relative to some
2109:{\displaystyle \exists y(\lim _{x\to \infty }10^{-x}\gamma (x,y)<1)}
2151:
is a function obtained from an arbitrary primitive recursive function
1923:, the limit lemma also entails that the limit computable sets are the
394:{\displaystyle \displaystyle r(x)=\lim _{s\to \infty }{\hat {r}}(x,s)}
228:{\displaystyle \displaystyle r(x)=\lim _{s\to \infty }{\hat {r}}(x,s)}
3861:
Generalized
Recursion Theory: Proceedings of the 1972 Oslo Symposium
3835:
Examples of sets definable by means of two and three quantifiers
3834:
3837:". Fundamenta Mathematicae vol. 42, iss. 2, pp.259--270 (1955)
3486:
408:
is defined to be computable in the limit if and only if its
1379:
963:
451:
and there is a second computable function that takes input
416:
if and only if it is computable in the limit by a function
2945:
The real whose binary expansion encodes the truth set of
3884:
International
Journal of Foundations of Computer Science
3805:
are both undefined, or they are both defined and equal.
2821:{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\phi (t,i)}
3782:
3753:
3727:
3653:
3633:
3590:
3570:
3547:
3527:
3507:
3478:
3458:
3438:
3407:
3387:
3363:
3343:
3323:
3290:
3261:
3241:
3210:
3175:
3155:
3133:
3104:
3084:
3064:
3040:
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2997:
2974:
2906:
2871:
2834:
2783:
2747:
2712:
2692:
2642:
2597:
2450:
2412:
2357:
2337:
2242:
2229:{\displaystyle \exists p\forall s(\varrho (p,s,y)=0)}
2177:
2157:
2122:
2040:
2000:
1964:
1929:
1900:
1868:
1845:
1794:
1758:
1722:
1691:
1648:
1617:
1561:
1530:
1499:
1479:
1459:
1439:
1403:
1268:
1267:
1237:
1217:
1166:
1146:
1119:
1093:
1068:
1036:
1016:
987:
875:
874:
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800:
756:
731:
693:
668:
630:
586:
561:
541:
512:
465:
422:
412:
is computable in the limit. In contrast, the set is
331:
330:
277:
244:
165:
164:
117:
85:
27:
Limit of a uniformly computable sequence of functions
57:
If the sequence is uniformly computable relative to
3909:
A Galois connection between Turing jumps and limits
3620:{\displaystyle f':\alpha \times \alpha \to \alpha }
2964:There is a modified version of the limit lemma for
1030:goes to infinity is the characteristic function of
3797:
3768:
3739:
3710:
3639:
3619:
3576:
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2026:
1982:
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1386:
1250:
1223:
1203:
1152:
1132:
1105:
1079:
1062:, as this will show that all sets computable from
1047:
1022:
1002:
970:
857:
824:
786:
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523:
486:
443:
393:
307:
259:
227:
147:
100:
3670:
2785:
2495:
2469:
2452:
2051:
348:
182:
3848:Limiting recursion and the arithmetic hierarchy
2942:is computable in the limit but not computable.
3197:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}}
8:
2938:The real whose binary expansion encodes the
2760:
2748:
3846:G. Criscuolo, E. Minicozzi, G. Trautteur, "
3494:{\displaystyle {\boldsymbol {0}}^{\prime }}
3423:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}}
3306:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}}
3120:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}
2285:
2281:
3781:
3752:
3726:
3673:
3652:
3632:
3589:
3569:
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3506:
3485:
3480:
3477:
3457:
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3414:
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3386:
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3268:
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3217:
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3182:
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3174:
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3103:
3083:
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2905:
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2647:
2641:
2596:
2572:
2553:
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2521:
2503:
2498:
2477:
2472:
2460:
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2449:
2428:
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2411:
2387:
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2275:
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2241:
2176:
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2121:
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1799:
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1658:
1653:
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1498:
1478:
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1408:
1402:
1371:
1357:
1349:
1341:
1336:
1327:
1308:
1303:
1291:
1273:
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279:
278:
276:
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198:
197:
185:
163:
119:
118:
116:
84:
3277:{\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}}
3226:{\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}}
3902:Recursively Enumerable Sets and Degrees
3826:
2900:eventually becomes constant and equals
1894:sets are just the sets computable from
2399:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})}
2027:{\displaystyle \mathbf {P} _{2}^{(1)}}
687:. One can also go from an index for
555:if and only if it is computable from
7:
935: has been enumerated into
3528:
2795:
2675:. In contrast, a real number is
2636:if there is a computable sequence
2444:iff it can be written in the form
2414:
2256:
2243:
2184:
2178:
2061:
2041:
1966:
1931:
1870:
1453:steps and only looks at the first
358:
192:
108:is limit computable if there is a
25:
2437:{\displaystyle \Delta _{k+1}^{0}}
1832:{\displaystyle \phi ^{X}(z)=Y(z)}
1397:Now suppose that the computation
1231:and define a computable function
1204:{\displaystyle Y(z)=\phi ^{X}(z)}
3481:
3410:
3377:. The following are equivalent:
3293:
3264:
3213:
3178:
3107:
2003:
1678:{\displaystyle \phi ^{X_{t}}(z)}
1351: converges in at most
1087:are limit computable. Fix sets
3014:For a given admissible ordinal
2949:is not computable in the limit.
1983:{\displaystyle \Delta _{2}^{0}}
1948:{\displaystyle \Delta _{2}^{0}}
1887:{\displaystyle \Delta _{2}^{0}}
787:{\displaystyle {\hat {r}}(x,s)}
617:{\displaystyle {\hat {r}}(x,s)}
308:{\displaystyle {\hat {r}}(x,s)}
148:{\displaystyle {\hat {r}}(x,s)}
3792:
3786:
3763:
3757:
3705:
3693:
3677:
3663:
3657:
3611:
2916:
2910:
2887:
2875:
2844:
2838:
2815:
2803:
2792:
2728:
2716:
2578:
2514:
2393:
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2301:
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2223:
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1672:
1666:
1604:{\displaystyle X_{s'}(z)=X(z)}
1598:
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130:
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1211:for some Turing reduction
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18:Computability in the limit
3913:Log. Methods Comput. Sci.
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110:total computable function
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3904:. Springer-Verlag 1987.
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2960:Set-theoretic extension
2865:increases the value of
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455:and returns a value of
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