48:
other two undergo extreme negative deviations). Similarly, if three random variables exhibit negative coskewness they will tend to undergo extreme deviations at the same time, an even number of which are in the positive direction (so all three random variables undergoing extreme negative deviations, or one undergoing an extreme negative deviation while the other two undergo extreme positive deviations).
2053:
47:
If three random variables exhibit positive coskewness they will tend to undergo extreme deviations at the same time, an odd number of which are in the positive direction (so all three random variables undergoing extreme positive deviations, or one undergoing an extreme positive deviation while the
259:
1476:
2415:
2561:
737:
1875:
1864:
1600:
1694:
85:
1277:
1270:
are both standard normally distributed with the property that they are completely correlated for negative values and uncorrelated apart from sign for positive values. The joint probability density function is
2272:
2421:
1756:
1005:
527:
2176:
2216:
1135:(2) The upper bound of 1 is obtained by the copula given in (3.3) in Bernard, Chen, Rüschendorf and Vanduffel (2023). The lower bound of −1 is obtained by the copula (3.5) in the same paper.
604:
2796:
2660:
2833:
2697:
2132:
1052:
301:
2867:
2266:
2592:
2100:
2755:
2728:
2619:
2240:
2048:{\displaystyle f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)}
3099:
44:. In 1976, Krauss and Litzenberger used it to examine risk in stock market investments. The application to risk was extended by Harvey and Siddique in 2000.
2058:
Bernard, Chen, Rüschendorf and
Vanduffel (2023) found risk bounds on coskewness for some popular marginal distributions as shown in the following table.
1767:
1507:
254:{\displaystyle S(X,Y,Z)={\frac {\operatorname {E} \left)(Y-\operatorname {E} )(Z-\operatorname {E} )\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}\sigma _{Z}}}}
1635:
1471:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)}
2978:
2945:
3094:
3104:
2410:{\displaystyle -{\frac {4(\nu -2){\sqrt {(\nu -2}})\pi \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{(3-4\nu +\nu ^{2})\pi \Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}}
1138:(3) It is invariant under strictly increasing transformations, i.e., when fi, i = 1, 2, 3, are arbitrary strictly increasing functions,
2556:{\displaystyle {\frac {4(\nu -2){\sqrt {(\nu -2}})\pi \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{(3-4\nu +\nu ^{2})\pi \Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}}
3027:
1705:
768:
572:
340:
2139:
2182:
732:{\displaystyle S(X,X,X)={\frac {\operatorname {E} \left)^{3}\right]}{\sigma _{X}^{3}}}={\operatorname {skewness} },}
2762:
2626:
2802:
2666:
1255:
1490:
28:
is a measure of how much three random variables change together. Coskewness is the third standardized cross
3042:
2970:
2962:
2882:
2105:
1498:
3064:
Kraus, Alan; Robert H. Litzenberger (1976). "Skewness
Preference and the Valuation of Risk Assets".
3047:
1621:
is significantly skewed. From integration with respect to density, we find that the covariance of
1055:
1030:
304:
279:
17:
2843:
2245:
2974:
2941:
2570:
2078:
2935:
3073:
3052:
2916:
320:
65:
2733:
2706:
2597:
319:
Bernard, Chen, Rüschendorf and
Vanduffel defined the standardized rank coskewness of three
2225:
1501:. The third moments are easily calculated by integrating with respect to this density:
3077:
2920:
2870:
265:
29:
3088:
2999:
Bernard, Carole; Jinghui, Chen; Rüschendorf, Ludger; Vanduffel, Steven (5 May 2023).
1869:
This can also be computed directly from the probability density function of the sum:
2907:
Friend, Irwin; Randolf
Westerfield (1980). "Co-Skewness and Capital Asset Pricing".
598:
is a special case of the coskewness when the three random variables are identical:
1859:{\displaystyle S_{X+Y}=-{\frac {3{\sqrt {2}}\pi }{(2+3\pi )^{3/2}}}\approx -0.345}
2887:
37:
21:
3056:
3000:
1613:
are individually standard normally distributed, the distribution of the sum
1595:{\displaystyle S(X,X,Y)=S(X,Y,Y)=-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\approx -0.399}
1075: ≠ 0) even if both random variables have zero skew in isolation (
1689:{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}}
1020:
751:
595:
41:
33:
56:
There are two different measures for the degree of coskewness in data.
1699:
from which it follows that the standard deviation of their sum is
1062:. It follows that the sum of two random variables can be skewed (
1751:{\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}}
1000:{\displaystyle S_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{3}}{\left},}
2934:
Jondeau, Eric; Ser-Huang Poon; Michael
Rockinger (2007).
2967:
Mathematics and
Statistics for Financial Risk Management
79:, the non-trivial coskewness statistic is defined as:
2846:
2805:
2765:
2736:
2709:
2669:
2629:
2600:
2573:
2424:
2275:
2248:
2228:
2185:
2142:
2108:
2081:
1878:
1770:
1708:
1638:
1510:
1280:
1033:
771:
607:
343:
282:
88:
2937:
Financial
Modeling Under Non-Gaussian Distributions
522:{\displaystyle RS(X,Y,Z)=32\operatorname {E} \left}
2861:
2827:
2790:
2749:
2722:
2691:
2654:
2613:
2586:
2555:
2409:
2260:
2234:
2210:
2170:
2126:
2094:
2047:
1858:
1750:
1688:
1594:
1470:
1046:
999:
731:
521:
295:
253:
2171:{\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {2\pi }}}{\pi }}}
2211:{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2\pi }}}{\pi }}}
1761:Using the skewness sum formula above, we have
3028:"Conditional Skewness in Asset Pricing Tests"
3026:Harvey, Campbell R.; Akhtar Siddique (2000).
2994:
2992:
2990:
8:
2791:{\displaystyle -{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}}
2655:{\displaystyle -{\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}}
3046:
3001:"Coskewness under dependence uncertainty"
2845:
2828:{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}}
2812:
2806:
2804:
2775:
2769:
2764:
2741:
2735:
2714:
2708:
2692:{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}}
2676:
2670:
2668:
2639:
2633:
2628:
2605:
2599:
2578:
2572:
2537:
2519:
2474:
2446:
2425:
2423:
2391:
2373:
2328:
2300:
2279:
2274:
2247:
2227:
2192:
2186:
2184:
2152:
2146:
2141:
2118:
2113:
2107:
2086:
2080:
2019:
1992:
1986:
1978:
1972:
1941:
1927:
1921:
1913:
1907:
1883:
1877:
1834:
1830:
1799:
1793:
1775:
1769:
1736:
1728:
1713:
1707:
1676:
1663:
1637:
1568:
1509:
1443:
1437:
1429:
1423:
1335:
1329:
1321:
1315:
1285:
1279:
1038:
1032:
982:
972:
967:
930:
925:
915:
875:
865:
860:
844:
834:
829:
819:
811:
800:
791:
776:
770:
709:
698:
693:
677:
635:
606:
499:
481:
457:
439:
415:
397:
342:
287:
281:
242:
232:
222:
116:
87:
2060:
1238:be the distribution obtained by setting
2899:
1113:) satisfies the following properties:
2969:(2nd ed.). Hoboken, New Jersey:
1234:be standard normally distributed and
7:
3100:Theory of probability distributions
3078:10.1111/j.1540-6261.1976.tb01961.x
3005:Statistics and Probability Letters
2921:10.1111/j.1540-6261.1980.tb03508.x
2847:
2531:
2468:
2385:
2322:
658:
638:
377:
193:
166:
139:
119:
14:
1097:The standardized rank coskewness
573:cumulative distribution functions
2127:{\displaystyle \sigma _{i}^{2}}
2856:
2850:
2547:
2534:
2525:
2497:
2492:
2471:
2462:
2448:
2443:
2431:
2401:
2388:
2379:
2351:
2346:
2325:
2316:
2302:
2297:
2285:
2042:
2036:
1966:
1957:
1901:
1895:
1827:
1811:
1657:
1645:
1559:
1541:
1532:
1514:
1420:
1414:
1408:
1402:
1390:
1378:
1372:
1363:
1309:
1297:
1254:independently from a standard
957:
939:
902:
884:
722:
716:
674:
670:
664:
649:
629:
611:
493:
487:
451:
445:
409:
403:
368:
350:
208:
205:
199:
184:
181:
178:
172:
157:
154:
151:
145:
130:
110:
92:
1:
2963:"Chapter 3. Basic Statistics"
2940:. Springer. pp. 31–32.
315:Standardized rank coskewness
272:, also known as the mean of
3095:Algebra of random variables
2971:John Wiley & Sons, Inc.
2961:Miller, Michael B. (2014).
1047:{\displaystyle \sigma _{X}}
296:{\displaystyle \sigma _{X}}
3121:
3105:Covariance and correlation
2862:{\displaystyle \Gamma (x)}
742:For two random variables,
2261:{\displaystyle \nu >3}
2587:{\displaystyle \mu _{i}}
2095:{\displaystyle \mu _{i}}
1262:>0. In other words,
1256:half-normal distribution
3057:10.1111/0022-1082.00247
2064:Marginal distributions
1491:Heaviside step function
3066:The Journal of Finance
3035:The Journal of Finance
2909:The Journal of Finance
2863:
2829:
2792:
2751:
2724:
2693:
2656:
2615:
2588:
2557:
2411:
2262:
2236:
2212:
2172:
2128:
2096:
2049:
1860:
1752:
1690:
1596:
1472:
1048:
1001:
733:
523:
297:
255:
2864:
2830:
2793:
2752:
2750:{\displaystyle b_{i}}
2725:
2723:{\displaystyle a_{i}}
2694:
2657:
2616:
2614:{\displaystyle b_{i}}
2589:
2558:
2412:
2263:
2237:
2213:
2173:
2129:
2097:
2050:
1861:
1753:
1691:
1597:
1473:
1049:
1002:
734:
524:
298:
256:
2883:Moment (mathematics)
2844:
2803:
2763:
2734:
2707:
2667:
2627:
2598:
2571:
2422:
2273:
2246:
2235:{\displaystyle \nu }
2226:
2183:
2140:
2106:
2079:
1876:
1768:
1706:
1636:
1508:
1499:Dirac delta function
1278:
1031:
769:
605:
341:
280:
86:
2123:
2070:Maximum coskewness
2067:Minimum coskewness
1605:Note that although
1084: = 0 and
977:
935:
870:
839:
816:
703:
2859:
2825:
2788:
2747:
2720:
2689:
2652:
2611:
2584:
2553:
2407:
2258:
2232:
2208:
2168:
2124:
2109:
2092:
2045:
1856:
1748:
1686:
1592:
1468:
1250:<0 and drawing
1056:standard deviation
1044:
997:
963:
921:
856:
825:
796:
729:
689:
519:
305:standard deviation
293:
251:
18:probability theory
2980:978-1-118-75029-2
2947:978-1-84628-696-4
2838:
2837:
2823:
2817:
2786:
2780:
2687:
2681:
2650:
2644:
2551:
2545:
2490:
2460:
2405:
2399:
2344:
2314:
2206:
2200:
2166:
2160:
2027:
2007:
2006:
1952:
1949:
1845:
1804:
1746:
1744:
1684:
1671:
1581:
1580:
1461:
1460:
1353:
1352:
1222:are independent.
1093: = 0).
817:
704:
507:
465:
423:
249:
3112:
3081:
3072:(4): 1085–1100.
3060:
3050:
3041:(3): 1263–1295.
3032:
3013:
3012:
2996:
2985:
2984:
2973:pp. 53–56.
2958:
2952:
2951:
2931:
2925:
2924:
2904:
2868:
2866:
2865:
2860:
2834:
2832:
2831:
2826:
2824:
2819:
2818:
2813:
2807:
2797:
2795:
2794:
2789:
2787:
2782:
2781:
2776:
2770:
2756:
2754:
2753:
2748:
2746:
2745:
2729:
2727:
2726:
2721:
2719:
2718:
2698:
2696:
2695:
2690:
2688:
2683:
2682:
2677:
2671:
2661:
2659:
2658:
2653:
2651:
2646:
2645:
2640:
2634:
2620:
2618:
2617:
2612:
2610:
2609:
2593:
2591:
2590:
2585:
2583:
2582:
2562:
2560:
2559:
2554:
2552:
2550:
2546:
2538:
2524:
2523:
2495:
2491:
2486:
2475:
2461:
2447:
2426:
2416:
2414:
2413:
2408:
2406:
2404:
2400:
2392:
2378:
2377:
2349:
2345:
2340:
2329:
2315:
2301:
2280:
2267:
2265:
2264:
2259:
2241:
2239:
2238:
2233:
2217:
2215:
2214:
2209:
2207:
2202:
2201:
2193:
2187:
2177:
2175:
2174:
2169:
2167:
2162:
2161:
2153:
2147:
2133:
2131:
2130:
2125:
2122:
2117:
2101:
2099:
2098:
2093:
2091:
2090:
2061:
2054:
2052:
2051:
2046:
2032:
2028:
2020:
2008:
2002:
2001:
2000:
1996:
1991:
1990:
1973:
1953:
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