766:
The continuity of the normal function implies the class of fixed points is closed (the supremum of any subset of the class of fixed points is again a fixed point). Thus the fixed point lemma is equivalent to the statement that the fixed points of a normal function form a
462:
305:
1177:
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898:
1288:
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662:
The fixed point lemma states that the class of fixed points of any normal function is nonempty and in fact is unbounded: given any ordinal
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commutes with suprema. Given these results, inductively define an increasing sequence
1556:
1502:
1481:
36:
52:
1532:
577:
is a limit ordinal then the equality follows from the continuous property of
1464:. In fact, the lemma shows that there is a closed, unbounded class of such
768:
352:
1544:
1540:
1400:
found in this way is the smallest fixed point greater than or equal to
1523:
1507:"Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals"
1506:
457:{\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}
300:{\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}
1172:{\displaystyle f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})}
1318:
The last equality follows from the fact that the sequence
1229:{\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})}
893:{\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }}
1283:{\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}}
534:
and the equality follows from the increasing property of
1056:{\displaystyle \beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}}
1406:
1386:
1364:
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35:(Levy 1979: p. 117). It was first proved by
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1192:
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475:
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403:
391:
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1351:{\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n}}
779:The first step of the proof is to verify that
1380:As an aside, it can be demonstrated that the
8:
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1325:
981:{\displaystyle \alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})}
875:
861:
451:
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60:
143:{\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}
807:{\displaystyle f(\gamma )\geq \gamma }
21:fixed-point lemma for normal functions
7:
926:{\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }
604:of a normal function is an ordinal
1082:{\displaystyle \beta \geq \alpha }
721:{\displaystyle \beta \geq \alpha }
242:is neither zero nor a successor),
14:
1450:). Thus, there exists an ordinal
169:{\displaystyle \alpha <\beta }
756:{\displaystyle f(\beta )=\beta }
652:{\displaystyle f(\beta )=\beta }
1298:
1244:
1187:
43:Background and formal statement
16:Mathematical result on ordinals
1308:{\displaystyle \qquad =\beta }
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1:
1007:{\displaystyle n\in \omega }
491:is a successor ordinal then
1497:. Republished, Dover, 2002.
1589:
682:, there exists an ordinal
202:: for every limit ordinal
1109:commutes with suprema,
1371:{\displaystyle \square }
311:It can be shown that if
235:{\displaystyle \lambda }
215:{\displaystyle \lambda }
1413:{\displaystyle \alpha }
827:{\displaystyle \gamma }
675:{\displaystyle \alpha }
355:; for any nonempty set
1511:Trans. Amer. Math. Soc
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1393:{\displaystyle \beta }
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484:{\displaystyle \sup A}
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70:
23:is a basic result in
1573:Lemmas in set theory
1568:Fixed-point theorems
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1089:. Moreover, because
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1432: : Ord → Ord,
1424:Example application
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847:{\displaystyle f}
814:for all ordinals
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547:{\displaystyle f}
527:{\displaystyle A}
514:is an element of
368:{\displaystyle A}
344:{\displaystyle f}
324:{\displaystyle f}
191:{\displaystyle f}
95:{\displaystyle f}
68:{\displaystyle f}
27:stating that any
1580:
1548:
1543:. Available via
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