3348:
3937:
2461:
1797:
3135:
371:
1467:
2027:
5071:
3719:
4180:
4348:
2309:
3343:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}{\stackrel {\rm {}}{=}}{\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}\,d^{3}x={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {e}{E}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x={\frac {e}{E}}\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x~.}
1598:
3492:
4464:
191:
1293:
4653:
1304:
1587:
3700:
1161:
1856:
3932:{\displaystyle T_{\rm {BR}}^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\psi ).}
2719:
5437:
28:) of the Dirac current is a splitting of the charge or particle-number current into a part that arises from the motion of the center of mass of the particles and a part that arises from gradients of the spin density. It makes explicit use of the
5208:
5360:
4057:
4191:
3004:
5286:
984:
2122:
3127:
2879:
2531:
2585:
2456:{\displaystyle {\mathbf {j} }\equiv e{\bar {\psi }}{\boldsymbol {\gamma }}\psi ={\frac {e}{2iE}}\left(\psi ^{\dagger }\nabla \psi -(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {e}{E}}(\nabla \times {\mathbf {S} }).}
1792:{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}(\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu })\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(\eta ^{\mu \nu }+i\sigma ^{\mu \nu })\psi ),}
755:
4644:
4584:
4006:
3385:
2298:
366:{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\psi )+{\frac {1}{m}}\partial _{\nu }({\bar {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\psi ),}
5121:
4362:
2809:
515:
183:
125:
1042:
5480:
4049:
4658:
2223:
1462:{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi ).}
1172:
449:
667:
3046:
5365:
2022:{\displaystyle -{\frac {e\hbar }{2mc}}\partial _{\nu }A_{\mu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\nu \mu }\psi =-{\frac {e\hbar }{2mc}}{\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\mu \nu }\psi ,}
1482:
3615:
1058:
2922:
5149:
4469:
This is what is expected, so the division by 2 in the spin contribution to the momentum density is necessary. The absence of a division by 2 in the formula for the current reflects the
3543:
5291:
3607:
5066:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {P} \rangle &={\frac {1}{4c^{2}}}\\&={\frac {\epsilon _{0}}{4i\omega }}\\&={\frac {\mu _{0}}{4i\omega }}.\end{aligned}}}
597:
4495:
gyromagnetic ratio of the electron. In other words, a spin-density gradient is twice as effective at making an electric current as it is at contributing to the linear momentum.
1848:
2590:
3711:
5235:
5230:
5500:
5141:
2156:
5523:
4175:{\displaystyle {\mathbf {P} }={\frac {1}{2i}}\left(\psi ^{\dagger }(\nabla \psi )-(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }.}
58:
554:
4493:
3569:
3377:
4343:{\displaystyle T_{\rm {canonical}}^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi ),}
2927:
2041:
3129:
is the current due to the gradients in the intrinsic magnetic moment density. The magnetic moment itself is found by integrating by parts to show that
3054:
2817:
2469:
766:
2536:
4589:
4529:
3945:
3487:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Dirac}}=\left({\frac {e}{m}}\right){\mathbf {S} }=\left({\frac {eg}{2m}}\right){\mathbf {S} }.}
4459:{\displaystyle \int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x=\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x.}
5076:
2228:
5439:
The two decompositions coincide when the field is paraxial. They also coincide when the field is a pure helicity state – i.e. when
673:
4515:
uses the Gordon strategy to obtain gauge-invariant expressions for the intrinsic spin angular-momentum density for solutions to
2727:
468:
133:
66:
4504:
2132:
This decomposition of the current into a particle number-flux (first term) and bound spin contribution (second term) requires
995:
5442:
2924:, and for a near plane-wave solution of finite extent, one may interpret the first term in the decomposition as the current
4011:
1288:{\displaystyle ({\bar {\psi }}m)\gamma ^{\mu }\psi =((\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(-i\gamma ^{\nu }))\gamma ^{\mu }\psi .}
5724:
2164:
1582:{\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu }=\eta ^{\nu \mu }+i\sigma ^{\nu \mu }.}
382:
3710:
For both the massive and massless cases, one also has an expression for the momentum density as part of the symmetric
3695:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Weyl}}=\left({\frac {e}{E}}\right){\frac {\hbar {\hat {\mathbf {k} }}}{2}}.}
605:
3009:
1156:{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(m\psi )={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(i\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi )}
5073:
We have used
Maxwell's equations in passing from the first to the second and third lines, and in expression such as
4512:
2891:
25:
3578:
For a single massless particle obeying the right-handed Weyl equation, the spin-1/2 is locked to the direction
3500:
459:
3581:
4516:
4508:
2714:{\displaystyle ({\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z})=(\Sigma ^{23},\Sigma ^{31},\Sigma ^{12}),}
5432:{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} }.}
1813:
5692:
5649:
5551:
17:
559:
5525:
for light that is right or left circularly polarized respectively. In other cases they may differ.
5203:{\displaystyle \mathbf {P} _{\text{tot}}=\mathbf {P} _{\text{free}}+{\mathbf {P} }_{\text{bound}},}
5213:
4356:
By an integration by parts one finds that the spin contribution to the total angular momentum is
5665:
5639:
5612:
5594:
5567:
5355:{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\mu _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} }}
3572:
5630:
D.T.Son, N.Yamamoto (2013). "Kinetic theory with Berry curvature from quantum field theories".
5485:
5126:
2135:
5700:
5657:
5604:
5559:
5585:
M.Stone (2015). "Berry phase and anomalous velocity of Weyl fermions and
Maxwell photons".
5505:
5123:
the scalar product is between the fields so that the vector character is determined by the
43:
4647:
530:
4472:
3548:
3356:
5704:
5696:
5653:
5555:
2999:{\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {free}}=e\rho {\mathbf {k} }/E=e\rho {\mathbf {v} }}
2882:
2300:, one might obtain a decomposition that is valid for both massive and massless cases.
2033:
29:
5718:
5669:
5571:
5281:{\displaystyle \mathbf {P} _{\text{bound}}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {S} ,}
1473:
521:
5616:
2117:{\displaystyle -(e\hbar /2mc){\vec {B}}\cdot \psi ^{\dagger }{\vec {\sigma }}\psi }
5661:
5608:
3122:{\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}=(e/E)\nabla \times {\mathbf {S} }}
2874:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}
2526:{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=(\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})}
1810:
The second, spin-dependent, part of the current coupled to the photon field,
5288:
these identities suggest that the spin density can be identified as either
979:{\displaystyle {\bar {u}}(p')\gamma ^{\mu }u(p)={\bar {u}}(p')\leftu(p)~,}
2580:{\displaystyle {\mathbf {S} }=\psi ^{\dagger }{\hat {\mathbf {S} }}\psi }
5563:
32:
and so it applies only to "on-shell" solutions of the Dirac equation.
4639:{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}
4579:{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}
4523:
455:
4001:{\displaystyle T_{\rm {BR}}^{0\mu }=({\mathcal {E}},{\mathbf {P} })}
1802:
which amounts to just the Gordon decomposition, after some algebra.
5599:
5644:
527:
The corresponding momentum-space version for plane wave solutions
5542:
W. Gordon (1928). "Der Strom der
Diracschen Elektronentheorie".
4185:
If one used the non-symmetric canonical energy-momentum tensor
2293:{\textstyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\psi ({\mathbf {r} })e^{-iEt}}
5116:{\displaystyle {\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })}
4522:
He assumes that the solutions are monochromatic and uses the
4017:
3980:
750:{\displaystyle {\bar {u}}(p')(\gamma ^{\mu }p'_{\mu }-m)=0,}
2804:{\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}\left,}
510:{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
178:{\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
4353:
one would not find the bound spin-momentum contribution.
120:{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0,}
5210:
and for a fluid with intrinsic angular momentum density
3609:
of its kinetic momentum and the magnetic moment becomes
3353:
For a single massive particle in its rest frame, where
1037:{\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=2\Sigma ^{\mu \nu }.}
5475:{\displaystyle {\mathbf {E} }=i\sigma c{\mathbf {B} }}
2763:
2231:
2167:
1964:
5508:
5488:
5445:
5368:
5294:
5238:
5216:
5152:
5129:
5079:
4656:
4592:
4532:
4475:
4365:
4194:
4060:
4044:{\displaystyle {\mathcal {E}}=E\psi ^{\dagger }\psi }
4014:
3948:
3722:
3618:
3584:
3551:
3503:
3388:
3359:
3138:
3057:
3012:
2930:
2894:
2820:
2730:
2593:
2539:
2472:
2312:
2138:
2044:
1859:
1816:
1601:
1485:
1307:
1175:
1061:
998:
769:
676:
608:
562:
533:
471:
385:
194:
136:
69:
46:
2218:{\textstyle E={\sqrt {|{\mathbf {k} }|^{2}+m^{2}}}}
5517:
5494:
5474:
5431:
5354:
5280:
5224:
5202:
5135:
5115:
5065:
4638:
4578:
4487:
4458:
4342:
4174:
4043:
4000:
3931:
3694:
3601:
3563:
3537:
3486:
3371:
3342:
3121:
3040:
2998:
2916:
2873:
2803:
2713:
2579:
2525:
2455:
2292:
2217:
2161:If one assumed that the given solution has energy
2150:
2116:
2021:
1842:
1791:
1581:
1461:
1287:
1155:
1036:
978:
749:
661:
591:
548:
509:
443:
365:
177:
119:
52:
2888:With the particle-number density identified with
444:{\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}}
2303:Using the Dirac equation again, one finds that
662:{\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u(p)=0}
3041:{\displaystyle {\mathbf {v} }={\mathbf {k} }/E}
1850:yields, up to an ignorable total divergence,
8:
4669:
4661:
2917:{\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }
1476:, one may show that Dirac matrices satisfy
1166:and, from the adjoint of Dirac's equation,
3942:Using the Dirac equation one may evaluate
1052:One sees that from Dirac's equation that
5643:
5598:
5587:International Journal of Modern Physics B
5507:
5487:
5466:
5465:
5447:
5446:
5444:
5420:
5419:
5410:
5404:
5403:
5383:
5377:
5369:
5367:
5346:
5345:
5336:
5330:
5329:
5309:
5303:
5295:
5293:
5270:
5254:
5245:
5240:
5237:
5217:
5215:
5191:
5185:
5184:
5174:
5169:
5159:
5154:
5151:
5128:
5104:
5103:
5088:
5082:
5081:
5078:
5044:
5043:
5034:
5028:
5027:
5008:
5007:
4995:
4989:
4988:
4969:
4968:
4953:
4947:
4946:
4923:
4917:
4895:
4894:
4885:
4879:
4878:
4859:
4858:
4846:
4840:
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4820:
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4798:
4797:
4774:
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4749:
4743:
4742:
4732:
4731:
4722:
4721:
4712:
4706:
4705:
4692:
4679:
4664:
4657:
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4621:
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4601:
4593:
4591:
4561:
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4541:
4533:
4531:
4474:
4444:
4439:
4433:
4432:
4417:
4412:
4401:
4400:
4384:
4370:
4369:
4364:
4325:
4307:
4306:
4300:
4281:
4271:
4256:
4255:
4242:
4230:
4200:
4199:
4193:
4163:
4162:
4146:
4126:
4095:
4071:
4062:
4061:
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4032:
4016:
4015:
4013:
3989:
3988:
3979:
3978:
3963:
3954:
3953:
3947:
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3860:
3845:
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3778:
3763:
3762:
3749:
3737:
3728:
3727:
3721:
3712:Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
3672:
3670:
3669:
3663:
3649:
3626:
3625:
3620:
3617:
3588:
3586:
3585:
3583:
3550:
3538:{\displaystyle |{\mathbf {S} }|=\hbar /2}
3527:
3516:
3510:
3509:
3504:
3502:
3475:
3474:
3450:
3437:
3436:
3422:
3396:
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3314:
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3300:
3288:
3283:
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3255:
3241:
3240:
3227:
3215:
3210:
3191:
3190:
3184:
3183:
3173:
3172:
3159:
3153:
3152:
3147:
3145:
3144:
3139:
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3113:
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3095:
3067:
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3060:
3059:
3056:
3030:
3024:
3023:
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3013:
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2966:
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