3929:
3130:
3601:
3595:
2936:
268:
3306:
3282:
3924:{\displaystyle V{\frac {\partial S}{\partial V}}=-\sum _{i}{\frac {V}{\omega _{i}}}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial V}}\;\;k_{\rm {B}}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{\rm {B}}T}}\right)^{2}{\frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}{\left^{2}}}=\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}
48:
2295:
2925:
672:
3125:{\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {\partial G}{\partial P}}\right)_{T}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}=-\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}}
1496:
The expression for the Grüneisen constant of a 1D chain with Mie potential exactly coincides with the results of MacDonald and Roy. Using the relation between the Grüneisen parameter and interatomic potential one can derive the simple necessary and sufficient condition for
4075:
3137:
3590:{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial V}}={\frac {\partial }{\partial V}}\left\{-\sum _{i}k_{\rm {B}}\ln \left+\sum _{i}{\frac {1}{T}}{\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}\right\}}
1755:
2138:
2706:
1954:
263:{\displaystyle \gamma =V\left({\frac {dP}{dE}}\right)_{V}={\frac {\alpha K_{T}}{C_{V}\rho }}={\frac {\alpha K_{S}}{C_{P}\rho }}={\frac {\alpha v_{s}^{2}}{C_{P}}}=-\left({\frac {\partial \ln T}{\partial \ln V}}\right)_{S}}
2699:
1577:
1603:
do not depend on the volume of the crystal or on the presence of other phonons, and the thermal expansion (and thus γ) is zero. When the restoring force is non-linear in the displacement, the phonon frequencies
3936:
2372:
1838:
1489:
2061:
1429:
468:
45:), there are many formulations of the Grüneisen parameter which are equally valid, leading to numerous interpretations of its meaning. Some formulations for the Grüneisen parameter include:
2133:
1369:
1187:
1049:
1680:
918:
3277:{\displaystyle \alpha VK_{T}=V\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}=V\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}}
1145:
1007:
882:
840:
1306:
1275:
1244:
1103:
1673:
4276:
1987:
1863:
1858:
1213:
427:
396:
369:
326:
299:
692:
2379:
1646:
1626:
1075:
965:
944:
809:
773:
736:
716:
463:
1328:
2290:{\displaystyle {\frac {\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}{{\tilde {C}}_{V}}}={\frac {\alpha K_{T}}{C_{V}\rho }}={\frac {\alpha VK_{T}}{{\tilde {C}}_{V}}}.}
4095:
2302:
1786:
2920:{\displaystyle \alpha VK_{T}=\leftV\left=-V\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}
1591:
model for the vibrating atoms within a crystal. When the restoring force acting on an atom displaced from its equilibrium position is
4271:
1435:
4070:{\displaystyle \gamma ={\dfrac {\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}{\sum _{i}c_{V,i}}}={\dfrac {\alpha VK_{T}}{{\tilde {C}}_{V}}}.}
1992:
1592:
3287:
1765:
1375:
1504:
1579:
A proper description of the Grüneisen parameter represents a stringent test for any type of interatomic potential.
1334:
4090:
2073:
1498:
4165:
Krivtsov, A.M.; Kuzkin, V.A. (2011), "Derivation of
Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure",
1151:
1013:
888:
739:
667:{\displaystyle \Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d}}{\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)}},}
1587:
The physical meaning of the parameter can also be extended by combining thermodynamics with a reasonable
1109:
971:
846:
695:
4231:
MacDonald, D. K. C.; Roy, S.K. (1955), "Vibrational
Anharmonicity and Lattice Thermal Properties. II",
815:
4240:
4174:
4140:
1281:
1250:
1219:
1081:
4107:
1648:
can then be defined as (the negative of) the logarithmic derivative of the corresponding frequency
31:
1588:
4190:
1651:
1750:{\displaystyle \gamma _{i}=-{\frac {V}{\omega _{i}}}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial V}}.}
41:
Because of the equivalences of many properties and derivatives within thermodynamics (e.g. see
2930:
341:
42:
4207:
1959:
1843:
1198:
4248:
4182:
4148:
20:
405:
374:
347:
304:
277:
743:
677:
399:
445:
The expression for the Grüneisen constant of a perfect crystal with pair interactions in
4244:
4178:
4144:
738:
is the space dimensionality. Relations between the Grüneisen constant and parameters of
4208:"Mie potential page on SklogWiki - a wiki for statistical mechanics and thermodynamics"
1631:
1611:
1060:
950:
929:
794:
758:
721:
701:
448:
430:
1317:
4265:
4194:
328:
are the principal (i.e. per-mass) heat capacities at constant pressure and volume,
2070:
To prove this relation, it is easiest to introduce the heat capacity per particle
1989:'s are the partial vibrational mode contributions to the heat capacity, such that
4085:
1949:{\displaystyle \gamma ={\frac {\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}{\sum _{i}c_{V,i}}},}
4186:
4152:
2694:{\displaystyle \sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\sum _{i}\left\left^{2}}}\right]}
4252:
1772:) can be related to the description of how the vibrational frequencies (
30:
is a dimensionless thermodynamic parameter named after German physicist
1773:
1600:
35:
4128:
441:
Grüneisen constant for perfect crystals with pair interactions
1768:
for atomic vibrations, the macroscopic Grüneisen parameter (
1628:. The Grüneisen parameter of an individual vibrational mode
34:, whose original definition was formulated in terms of the
2367:{\displaystyle \sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\alpha VK_{T}.}
1833:{\displaystyle \gamma ={\frac {\alpha K_{T}}{C_{V}\rho }}}
1776:) within a crystal are altered with changing volume (i.e.
1760:
Relationship between microscopic and thermodynamic models
1484:{\displaystyle {\frac {3\alpha a+1}{2d}}-{\frac {1}{2}}}
3286:
This derivative is straightforward to determine in the
2056:{\textstyle C_{V}={\frac {1}{\rho V}}\sum _{i}c_{V,i}.}
1320:
746:, and Mie potentials are presented in the table below.
2076:
1995:
437:
is density. The Grüneisen parameter is dimensionless.
4022:
3947:
3939:
3604:
3309:
3140:
2939:
2709:
2382:
2305:
2141:
1962:
1866:
1846:
1789:
1683:
1654:
1634:
1614:
1507:
1438:
1378:
1337:
1284:
1253:
1222:
1201:
1154:
1112:
1084:
1063:
1016:
974:
953:
932:
891:
849:
818:
797:
761:
724:
704:
680:
471:
451:
408:
377:
350:
307:
280:
51:
4129:"Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente"
4069:
3923:
3589:
3276:
3124:
2919:
2693:
2366:
2289:
2127:
2055:
1981:
1948:
1852:
1832:
1749:
1667:
1640:
1620:
1571:
1483:
1424:{\displaystyle {\frac {m+n+4}{2d}}-{\frac {1}{2}}}
1423:
1363:
1322:
1300:
1269:
1238:
1207:
1181:
1139:
1097:
1069:
1043:
1001:
959:
938:
912:
876:
834:
803:
767:
730:
710:
686:
666:
457:
421:
390:
363:
320:
293:
262:
4108:Definition from Eric Weisstein's World of Physics
1583:Microscopic definition via the phonon frequencies
1572:{\displaystyle \Pi '''(a)a>-(d-1)\Pi ''(a).}
2128:{\textstyle {\tilde {C}}_{V}=\sum _{i}c_{V,i}}
1364:{\displaystyle {\frac {11}{d}}-{\frac {1}{2}}}
1595:in the atom's displacement, the frequencies ω
8:
1501:in perfect crystals with pair interactions
3689:
3688:
4055:
4044:
4043:
4035:
4021:
4002:
3992:
3974:
3964:
3954:
3946:
3938:
3909:
3899:
3889:
3874:
3846:
3845:
3833:
3823:
3789:
3788:
3776:
3766:
3753:
3747:
3730:
3729:
3717:
3707:
3695:
3694:
3671:
3661:
3653:
3644:
3638:
3608:
3603:
3556:
3555:
3534:
3524:
3497:
3487:
3477:
3471:
3441:
3440:
3419:
3409:
3371:
3370:
3360:
3333:
3310:
3308:
3268:
3244:
3227:
3203:
3192:
3168:
3151:
3139:
3116:
3092:
3075:
3051:
3031:
3022:
2998:
2978:
2969:
2945:
2938:
2911:
2887:
2876:
2852:
2827:
2803:
2773:
2749:
2734:
2720:
2708:
2678:
2650:
2649:
2637:
2627:
2593:
2592:
2580:
2570:
2557:
2551:
2534:
2533:
2521:
2511:
2499:
2498:
2467:
2457:
2449:
2440:
2426:
2407:
2397:
2387:
2381:
2355:
2330:
2320:
2310:
2304:
2276:
2265:
2264:
2256:
2243:
2228:
2216:
2206:
2195:
2184:
2183:
2169:
2159:
2149:
2142:
2140:
2113:
2103:
2090:
2079:
2078:
2075:
2038:
2028:
2009:
2000:
1994:
1967:
1961:
1928:
1918:
1900:
1890:
1880:
1873:
1865:
1845:
1818:
1806:
1796:
1788:
1727:
1717:
1709:
1700:
1688:
1682:
1659:
1653:
1633:
1613:
1506:
1471:
1439:
1437:
1411:
1379:
1377:
1351:
1338:
1336:
1319:
1288:
1283:
1257:
1252:
1226:
1221:
1200:
1155:
1153:
1113:
1111:
1085:
1083:
1062:
1017:
1015:
975:
973:
952:
931:
892:
890:
850:
848:
822:
817:
796:
760:
723:
703:
679:
527:
503:
488:
476:
470:
450:
413:
407:
382:
376:
355:
349:
312:
306:
285:
279:
254:
218:
199:
188:
183:
173:
158:
146:
136:
121:
109:
99:
90:
66:
50:
1182:{\displaystyle {\frac {3\alpha a-2}{6}}}
1044:{\displaystyle {\frac {3\alpha a-1}{4}}}
748:
4277:Dimensionless numbers of thermodynamics
4119:
3826:
3769:
3710:
3527:
3490:
3412:
2630:
2573:
2514:
913:{\displaystyle {\frac {3\alpha a}{2}}}
1783:'s). For example, one can show that
7:
16:Thermodynamical parameter of solids
3847:
3790:
3731:
3696:
3679:
3664:
3619:
3611:
3557:
3442:
3372:
3339:
3335:
3321:
3313:
3255:
3247:
3214:
3206:
3179:
3171:
3103:
3095:
3062:
3054:
3037:
3033:
3009:
3001:
2984:
2980:
2956:
2948:
2898:
2890:
2863:
2855:
2814:
2806:
2760:
2752:
2651:
2594:
2535:
2500:
2475:
2460:
1735:
1720:
1550:
1509:
1202:
1140:{\displaystyle {\frac {n+m+1}{6}}}
1002:{\displaystyle {\frac {m+n+2}{4}}}
877:{\displaystyle {\frac {m+n+3}{2}}}
681:
642:
604:
580:
557:
507:
473:
235:
221:
14:
465:-dimensional space has the form:
398:are the adiabatic and isothermal
835:{\displaystyle 10{\frac {1}{2}}}
4096:Mie–Grüneisen equation of state
2299:This way, it suffices to prove
1301:{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
1270:{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
1239:{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
1098:{\displaystyle {\frac {19}{6}}}
4049:
3546:
3540:
3509:
3503:
3431:
3425:
2270:
2189:
2084:
1563:
1557:
1546:
1534:
1522:
1516:
655:
649:
638:
626:
617:
611:
593:
587:
570:
564:
548:
536:
520:
514:
1:
718:is the equilibrium distance,
342:thermal expansion coefficient
3288:quasi-harmonic approximation
1766:quasi-harmonic approximation
1668:{\displaystyle \omega _{i}}
4293:
4091:Negative thermal expansion
1499:Negative Thermal Expansion
4187:10.3103/S002565441103006X
4272:Condensed matter physics
4153:10.1002/andp.19123441202
1860:as the weighted average
778:Lennard-Jones potential
2703:Right-hand side (def):
1982:{\displaystyle c_{V,i}}
1853:{\displaystyle \gamma }
1608:change with the volume
1208:{\displaystyle \infty }
4253:10.1103/PhysRev.97.673
4127:Grüneisen, E. (1912),
4071:
3925:
3591:
3278:
3126:
2921:
2695:
2376:Left-hand side (def):
2368:
2291:
2129:
2057:
1983:
1950:
1854:
1834:
1751:
1669:
1642:
1622:
1573:
1485:
1425:
1365:
1324:
1302:
1271:
1240:
1209:
1183:
1141:
1099:
1071:
1045:
1003:
961:
940:
914:
878:
836:
805:
769:
732:
712:
688:
668:
459:
423:
392:
365:
322:
295:
264:
4072:
3926:
3592:
3279:
3127:
2922:
2696:
2369:
2292:
2130:
2058:
1984:
1951:
1855:
1835:
1752:
1670:
1643:
1623:
1574:
1486:
1426:
1366:
1325:
1303:
1272:
1241:
1210:
1184:
1142:
1100:
1072:
1046:
1004:
962:
941:
915:
879:
837:
806:
770:
733:
713:
696:interatomic potential
689:
669:
460:
424:
422:{\displaystyle v_{s}}
393:
391:{\displaystyle K_{T}}
366:
364:{\displaystyle K_{S}}
323:
321:{\displaystyle C_{V}}
296:
294:{\displaystyle C_{P}}
265:
3937:
3602:
3307:
3138:
2937:
2707:
2380:
2303:
2139:
2074:
1993:
1960:
1864:
1844:
1787:
1681:
1652:
1632:
1612:
1505:
1436:
1376:
1335:
1318:
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