242:
1652:
231:
1295:
925:
1393:
1131:
1028:
506:
393:
817:
1482:
1452:
1206:
1179:
1418:
1542:
107:
1216:
823:
1310:
1034:
931:
1803:
1774:
1864:
398:
29:
1302:
exists and is finite, and therefore can be considered as a generalized Gromov product. It is actually given by the formula
279:
734:
1859:
521:
1493:
33:
1457:
1427:
1710:
1184:
1157:
1799:
1770:
1747:
1403:
1838:
1739:
1144:
1821:
1659:
In this case. Gromov product measures how long geodesics remain close together. Namely, if
1817:
1853:
241:
25:
1842:
1743:
1647:{\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}
17:
1798:, Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 1441, Springer-Verlag,
1751:
226:{\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}
1814:
Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001)
1290:{\displaystyle \liminf _{x\to x_{\infty } \atop y\to y_{\infty }}(x,y)_{p}}
634:
is obtained by isometrically embedding (A, B, C) into the euclidean plane.
1812:
Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002). "Boundaries of hyperbolic groups".
1421:
920:{\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}},}
550:
1816:. Contemp. Math. 296. Providence, RI: Amer. Math. Soc. pp. 39–93.
1796:
Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov
527:
In the hyperbolic, spherical or euclidean plane, the Gromov product (
1388:{\displaystyle (x_{\infty },y_{\infty })_{p}=\log \csc(\theta /2),}
1126:{\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).}
1023:{\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),}
1675:-hyperbolic metric space then the initial segments of length (
264:, by the triangle inequality there exist non-negative numbers
620:. Thus for any metric space, a geometric interpretation of (
240:
1769:. Providence: American Mathematical Society. p. 114.
1730:
Väisälä, Jussi (2005-09-15). "Gromov hyperbolic spaces".
524:
then these Gromov products are the lengths of the edges.
501:{\displaystyle (y,z)_{x}=a,\ (x,z)_{y}=b,\ (x,y)_{z}=c}
1794:
Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990),
1545:
1460:
1430:
1406:
1313:
1219:
1187:
1160:
1037:
934:
826:
737:
401:
282:
110:
1208:be two distinct points at infinity. Then the limit
388:{\displaystyle d(x,y)=a+b,\ d(x,z)=a+c,\ d(y,z)=b+c}
1829:Väisälä, Jussi (2005). "Gromov hyperbolic spaces".
1646:
1476:
1446:
1412:
1387:
1289:
1200:
1173:
1125:
1022:
919:
811:
674:The Gromov product degenerates at the endpoints: (
500:
387:
225:
1571:
1221:
858:
32:. The Gromov product can also be used to define
1488:δ-hyperbolic spaces and divergence of geodesics
1630:
1576:
1094:
1040:
991:
937:
909:
863:
215:
148:
8:
812:{\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},}
1629:
1628:
1622:
1597:
1575:
1574:
1562:
1544:
1492:The Gromov product can be used to define
1468:
1459:
1438:
1429:
1405:
1371:
1344:
1334:
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1312:
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1255:
1237:
1224:
1218:
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1186:
1165:
1159:
1093:
1092:
1086:
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1039:
1038:
1036:
990:
989:
983:
958:
936:
935:
933:
908:
907:
862:
861:
849:
825:
800:
775:
736:
486:
452:
418:
400:
281:
214:
213:
147:
146:
136:
127:
109:
1722:
7:
1469:
1439:
1335:
1322:
1256:
1238:
1225:
1193:
1166:
643:The Gromov product is symmetric: (
14:
395:. Then the Gromov products are
28:named after the mathematician
1619:
1606:
1594:
1581:
1559:
1546:
1379:
1365:
1341:
1314:
1278:
1265:
1248:
1230:
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883:
871:
846:
833:
797:
784:
772:
759:
753:
741:
508:. In the case that the points
483:
470:
449:
436:
415:
402:
370:
358:
334:
322:
298:
286:
210:
198:
189:
177:
168:
156:
124:
111:
24:is a concept in the theory of
1:
1843:10.1016/j.exmath.2005.01.010
1744:10.1016/j.exmath.2005.01.010
1477:{\displaystyle py_{\infty }}
1447:{\displaystyle px_{\infty }}
55:) be a metric space and let
1767:Lectures on coarse geometry
1709:apart (in the sense of the
1201:{\displaystyle y_{\infty }}
1174:{\displaystyle x_{\infty }}
1881:
1499:in the sense of Gromov.: (
565:. Indeed from the diagram
1831:Expositiones Mathematicae
1732:Expositiones Mathematicae
1420:is the angle between the
553:of the geodesic triangle
520:are the outer nodes of a
37:-hyperbolic metric spaces
549:and the point where the
39:in the sense of Gromov.
1865:Hyperbolic metric space
1413:{\displaystyle \theta }
1713:between closed sets).
1671:are three points of a
1648:
1478:
1448:
1414:
1389:
1291:
1202:
1175:
1127:
1024:
921:
813:
502:
389:
245:
227:
1705:are no further than 2
1649:
1479:
1449:
1415:
1390:
1292:
1203:
1176:
1128:
1025:
922:
814:
503:
390:
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1543:
1458:
1428:
1404:
1311:
1217:
1185:
1158:
1035:
932:
824:
735:
541:equals the distance
399:
280:
260:in the metric space
108:
1150:. Fix a base point
248:Given three points
1765:Roe, John (2003).
1711:Hausdorff distance
1689:of geodesics from
1644:
1497:-hyperbolic spaces
1474:
1444:
1410:
1385:
1287:
1264:
1198:
1171:
1139:Points at infinity
1123:
1020:
917:
809:
498:
385:
246:
223:
1262:
1220:
557:touches the edge
469:
435:
354:
318:
144:
1872:
1846:
1825:
1808:
1781:
1780:
1762:
1756:
1755:
1727:
1653:
1651:
1650:
1645:
1634:
1633:
1627:
1626:
1602:
1601:
1580:
1579:
1567:
1566:
1507:) is said to be
1483:
1481:
1480:
1475:
1473:
1472:
1453:
1451:
1450:
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1375:
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1325:
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1294:
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1241:
1207:
1205:
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1197:
1196:
1180:
1178:
1177:
1172:
1170:
1169:
1145:hyperbolic space
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1130:
1129:
1124:
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151:
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137:
132:
131:
101:, is defined by
1880:
1879:
1875:
1874:
1873:
1871:
1870:
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1860:Metric geometry
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705:For any points
702: = 0.
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1738:(3): 187–231.
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1720:
1718:
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167:
164:
161:
158:
155:
150:
143:
140:
135:
130:
126:
122:
119:
116:
113:
96:
73:Gromov product
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