2661:
4430:
3622:
3099:
2117:
987:
3893:
4415:
1811:
4672:
This iteration was "deservedly preferred" to the rational method by Halley on the grounds that the denominator is smaller, making the division easier. A second advantage is that it tends to have about half of the error of the rational method, a benefit which multiplies as it is iterated. On a
2656:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=2f(x_{n})f'(x_{n})+2^{2}(a-x_{n})+f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}+{\frac {f'(x_{n})f'''(\xi )}{3}}(a-x_{n})^{3}\\&\qquad -f(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})-f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}-{\frac {f''(x_{n})f''(\eta )}{2}}(a-x_{n})^{3}.\end{aligned}}}
4090:
4667:
2766:
1984:
3219:
292:
1511:
596:
4673:
computer, it would appear to be slower as it has two slow operations (division and square root) instead of one, but on modern computers the reciprocal of the denominator can be computed at the same time as the square root via
447:
1341:
2758:
4206:
1087:
2122:
1587:
588:
3208:
1210:
3633:
4192:
2109:
4099:
to be a little larger than the absolute value of this, we can take absolute values of both sides of the formula and replace the absolute value of coefficient by its upper bound near
518:
3094:{\displaystyle 0=2f(x_{n})f'(x_{n})+\left(2^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})\right)(a-x_{n})+\left({\frac {f'(x_{n})f'''(\xi )}{3}}-{\frac {f''(x_{n})f''(\eta )}{2}}\right)(a-x_{n})^{3}.}
3617:{\displaystyle a-x_{n}={\frac {-2f(x_{n})f'(x_{n})}{2^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}-{\frac {2f'(x_{n})f'''(\xi )-3f''(x_{n})f''(\eta )}{6(2^{2}-f(x_{n})f''(x_{n}))}}(a-x_{n})^{3}.}
2046:
4949:(1809) . "A new, exact, and easy Method of finding the Roots of any Equations generally, and that without any previous Reduction". In C. Hutton; G. Shaw; R. Pearson (eds.).
5040:
4474:
1141:
4924:
982:{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}{\frac {f''(x_{n})}{2}}}}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\left^{-1}.}
1822:
106:
342:
3919:
1352:
5033:
5238:
5164:
4839:
Proinov, Petko D.; Ivanov, Stoil I. (2015). "On the convergence of Halley's method for simultaneous computation of polynomial zeros".
4410:{\displaystyle \Delta x_{i+1}={\frac {3(f'')^{2}-2f'f'''}{12(f')^{2}}}(\Delta x_{i})^{3}+O^{4},\qquad \Delta x_{i}\triangleq x_{i}-a.}
4970:
5259:
5026:
1246:
452:
This means that the iterates converge to the zero if the initial guess is sufficiently close, and that the convergence is cubic.
5228:
1806:{\displaystyle 0=f(a)=f(x_{n})+f'(x_{n})(a-x_{n})+{\frac {f''(x_{n})}{2}}(a-x_{n})^{2}+{\frac {f'''(\xi )}{6}}(a-x_{n})^{3}}
1010:
3888:{\displaystyle a-x_{n+1}=-{\frac {2f'(x_{n})f'''(\xi )-3f''(x_{n})f''(\eta )}{12^{2}-6f(x_{n})f''(x_{n})}}(a-x_{n})^{3}.}
5192:
455:
The following alternative formulation shows the similarity between Halley's method and Newton's method. The expression
2669:
5197:
4920:"Methodus nova accurata & facilis inveniendi radices æqnationum quarumcumque generaliter, sine praviæ reductione"
4109:
4740:"Finding the Zeros of a Univariate Equation: Proxy Rootfinders, Chebyshev Interpolation, and the Companion Matrix"
1146:
4952:
The
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, from their commencement, in 1665, to the year 1800
5182:
5126:
5015:, Pascal Sebah and Xavier Gourdon, 2001 (the site has a link to a Postscript version for better formula display)
3110:
5207:
5141:
5085:
5057:
5049:
47:
5131:
4674:
996:
is very close to zero, the Halley's method iteration is almost the same as the Newton's method iteration.
523:
32:
28:
2051:
5223:
4678:
458:
5011:
4698:
5202:
5177:
5187:
5116:
5108:
1578:
62:
55:
4894:
4856:
4821:
4786:
20:
5233:
5154:
5093:
4662:{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})-{\sqrt {^{2}-2f(x_{n})f''(x_{n})}}}{f''(x_{n})}}}
2007:
1233:
74:
66:
51:
43:
was an
English mathematician and astronomer who introduced the method now called by his name.
5149:
4993:
993:
36:
5065:
4933:
4886:
4848:
4813:
4778:
4751:
4713:
1111:
100:
has to be a function of one real variable. The method consists of a sequence of iterations:
54:. Like the latter, it iteratively produces a sequence of approximations to the root; their
1979:{\displaystyle 0=f(a)=f(x_{n})+f'(x_{n})(a-x_{n})+{\frac {f''(\eta )}{2}}(a-x_{n})^{2},}
4464:
third-order root-finding methods. The above, using only a division, is referred to as
4429:
287:{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}}
5253:
5172:
5121:
4946:
4915:
4874:
70:
40:
4860:
5070:
4996:
4739:
442:{\displaystyle |x_{n+1}-a|\leq K\cdot {|x_{n}-a|}^{3},{\text{ for some }}K>0.}
5075:
4717:
4699:"On large scale unconstrained optimization problems and higher order methods"
5001:
85:
Halley's method is a numerical algorithm for solving the nonlinear equation
4950:
4938:
4919:
4852:
4085:{\displaystyle -{\frac {2f'(a)f'''(a)-3f''(a)f''(a)}{12^{2}-6f(a)f''(a)}}.}
5018:
1506:{\displaystyle g'(x)={\frac {2^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {|f'(x)|}}}},}
4769:
Scavo, T. R.; Thoo, J. B. (1995). "On the geometry of Halley's method".
4898:
4825:
4790:
4755:
58:
to the root is cubic. Multidimensional versions of this method exist.
4890:
4817:
4782:
1558:
but not of its derivative. And suppose that the third derivative of
61:
Halley's method exactly finds the roots of a linear-over-linear
5022:
4424:
4804:
Alefeld, G. (1981). "On the convergence of Halley's method".
4468:. A second, "irrational" method uses a square root as well:
3104:
Put the second term on the left side and divide through by
1336:{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}}
4877:(January 1938). "Halley's methods for solving equations".
520:
is computed only once, and it is particularly useful when
313:
is a three times continuously differentiable function and
4441:
321:
but not of its derivative, then, in a neighborhood of
4477:
4209:
4112:
3922:
3636:
3222:
3113:
2769:
2672:
2120:
2054:
2010:
1825:
1590:
1355:
1249:
1149:
1114:
1082:{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{\sqrt {|f'(x)|}}}.}
1013:
599:
526:
461:
345:
109:
4955:. Vol. III from 1683 to 1694. pp. 640–649.
5216:
5163:
5140:
5107:
5084:
5056:
16:
A method of numerically finding roots of a function
4661:
4409:
4186:
4084:
3898:The limit of the coefficient on the right side as
3887:
3616:
3202:
3093:
2752:
2655:
2103:
2040:
1978:
1805:
1505:
1335:
1204:
1135:
1081:
981:
582:
512:
441:
286:
2753:{\displaystyle f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}}
4925:Philosophical Transactions of the Royal Society
2048:and subtract from it the second equation times
77:which approximates the function quadratically.
4187:{\displaystyle |a-x_{n+1}|\leq K|a-x_{n}|^{3}}
1562:exists and is continuous in a neighborhood of
5034:
8:
4910:
4908:
1205:{\displaystyle f(r)=0\neq {\sqrt {|f'(r)|}}}
73:which approximate the function linearly, or
5041:
5027:
5019:
4964:
4962:
5012:Newton's method and high order iterations
4937:
4697:Gundersen, Geir; Steihaug, Trond (2010).
4647:
4619:
4595:
4573:
4560:
4540:
4528:
4510:
4501:
4482:
4476:
4392:
4379:
4362:
4352:
4330:
4320:
4301:
4253:
4232:
4217:
4208:
4178:
4173:
4166:
4151:
4140:
4128:
4113:
4111:
4035:
3926:
3921:
3876:
3866:
3841:
3817:
3795:
3782:
3733:
3686:
3665:
3647:
3635:
3605:
3595:
3567:
3543:
3524:
3511:
3456:
3409:
3388:
3373:
3349:
3330:
3317:
3285:
3261:
3242:
3233:
3221:
3191:
3167:
3148:
3135:
3112:
3082:
3072:
3022:
3004:
2969:
2951:
2934:
2907:
2883:
2864:
2851:
2813:
2789:
2768:
2744:
2734:
2712:
2688:
2671:
2640:
2630:
2585:
2567:
2558:
2548:
2526:
2502:
2475:
2453:
2429:
2402:
2392:
2347:
2329:
2320:
2310:
2288:
2264:
2237:
2218:
2205:
2172:
2148:
2121:
2119:
2092:
2070:
2053:
2029:
2009:
1967:
1957:
1918:
1906:
1884:
1857:
1824:
1797:
1787:
1748:
1739:
1729:
1701:
1683:
1671:
1649:
1622:
1589:
1490:
1468:
1466:
1406:
1376:
1354:
1321:
1295:
1282:
1273:
1254:
1248:
1195:
1173:
1171:
1148:
1113:
1068:
1046:
1029:
1012:
967:
950:
921:
903:
888:
862:
849:
825:
799:
786:
777:
752:
734:
722:
696:
683:
671:
645:
632:
623:
604:
598:
571:
551:
542:
525:
501:
481:
472:
460:
425:
416:
410:
398:
389:
388:
373:
355:
346:
344:
272:
248:
229:
216:
197:
182:
158:
142:
133:
114:
108:
4944:An English translation was published as
3203:{\displaystyle 2^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}
1989:where ξ and η are numbers lying between
46:The algorithm is second in the class of
4689:
4681:of each iteration differs very little.
1516:and the result follows. Notice that if
35:of one real variable with a continuous
4972:A correctly rounded binary64 cube root
1104:a root of its derivative is a root of
7:
583:{\displaystyle f''(x_{n})/f'(x_{n})}
4706:Optimization Methods & Software
2104:{\displaystyle f''(x_{n})(a-x_{n})}
4372:
4345:
4313:
4210:
513:{\displaystyle f(x_{n})/f'(x_{n})}
14:
4879:The American Mathematical Monthly
4420:
2004:. Multiply the first equation by
5239:Sidi's generalized secant method
4428:
4197:which is what was to be proved.
2760:and re-organizing terms yields:
1527:, then one cannot apply this at
297:beginning with an initial guess
65:to the function, in contrast to
5229:Inverse quadratic interpolation
4371:
2415:
4653:
4640:
4625:
4612:
4601:
4588:
4570:
4566:
4553:
4542:
4534:
4521:
4359:
4342:
4327:
4310:
4298:
4286:
4250:
4238:
4174:
4152:
4141:
4114:
4073:
4067:
4056:
4050:
4032:
4028:
4022:
4011:
4003:
3997:
3986:
3980:
3963:
3957:
3946:
3940:
3873:
3853:
3847:
3834:
3823:
3810:
3792:
3788:
3775:
3764:
3756:
3750:
3739:
3726:
3709:
3703:
3692:
3679:
3602:
3582:
3576:
3573:
3560:
3549:
3536:
3521:
3517:
3504:
3493:
3487:
3479:
3473:
3462:
3449:
3432:
3426:
3415:
3402:
3379:
3366:
3355:
3342:
3327:
3323:
3310:
3299:
3291:
3278:
3267:
3254:
3197:
3184:
3173:
3160:
3145:
3141:
3128:
3117:
3079:
3059:
3045:
3039:
3028:
3015:
2992:
2986:
2975:
2962:
2940:
2921:
2913:
2900:
2889:
2876:
2861:
2857:
2844:
2833:
2819:
2806:
2795:
2782:
2741:
2721:
2718:
2705:
2694:
2681:
2637:
2617:
2608:
2602:
2591:
2578:
2555:
2535:
2532:
2519:
2508:
2495:
2481:
2462:
2459:
2446:
2435:
2422:
2399:
2379:
2370:
2364:
2353:
2340:
2317:
2297:
2294:
2281:
2270:
2257:
2243:
2224:
2215:
2211:
2198:
2187:
2178:
2165:
2154:
2141:
2098:
2079:
2076:
2063:
2035:
2022:
1964:
1944:
1935:
1929:
1912:
1893:
1890:
1877:
1863:
1850:
1841:
1835:
1794:
1774:
1765:
1759:
1736:
1716:
1707:
1694:
1677:
1658:
1655:
1642:
1628:
1615:
1606:
1600:
1577:is in that neighborhood. Then
1491:
1487:
1481:
1469:
1463:
1457:
1441:
1435:
1424:
1418:
1403:
1399:
1393:
1382:
1370:
1364:
1327:
1314:
1301:
1288:
1196:
1192:
1186:
1174:
1159:
1153:
1124:
1118:
1069:
1065:
1059:
1047:
1041:
1035:
1023:
1017:
956:
943:
927:
914:
894:
881:
868:
855:
831:
818:
805:
792:
758:
745:
728:
715:
702:
689:
677:
664:
651:
638:
577:
564:
548:
535:
507:
494:
478:
465:
411:
390:
374:
347:
278:
265:
254:
241:
225:
222:
209:
198:
188:
175:
164:
151:
1:
4969:Leroy, Robin (21 June 2021).
4806:American Mathematical Monthly
4771:American Mathematical Monthly
96:. In this case, the function
1224:provided the derivative of
5276:
5058:Bracketing (no derivative)
4460:Halley actually developed
4421:Halley's irrational method
2041:{\displaystyle 2f'(x_{n})}
1232:is not infinite. Applying
4718:10.1080/10556780903239071
4466:Halley's rational method
5260:Root-finding algorithms
5208:Splitting circle method
5193:Jenkins–Traub algorithm
5050:Root-finding algorithms
5198:Lehmer–Schur algorithm
4939:10.1098/rstl.1694.0029
4853:10.1515/jnma-2015-0026
4738:Boyd, John P. (2013).
4675:instruction pipelining
4663:
4411:
4188:
4086:
3889:
3618:
3204:
3095:
2754:
2657:
2105:
2042:
1980:
1807:
1507:
1337:
1206:
1137:
1136:{\displaystyle g(r)=0}
1083:
1004:Consider the function
983:
584:
514:
443:
288:
29:root-finding algorithm
5224:Fixed-point iteration
4664:
4412:
4189:
4087:
3890:
3619:
3205:
3096:
2755:
2658:
2106:
2043:
1981:
1808:
1542:would be undefined.
1508:
1338:
1207:
1138:
1084:
984:
585:
515:
444:
289:
48:Householder's methods
5183:Durand–Kerner method
5127:Newton–Krylov method
4475:
4207:
4110:
3920:
3634:
3220:
3111:
2767:
2670:
2118:
2052:
2008:
1823:
1588:
1353:
1247:
1147:
1112:
1011:
597:
524:
459:
427: for some
343:
107:
5132:Steffensen's method
4978:(Technical report).
590:can be simplified:
56:rate of convergence
5165:Polynomial methods
4994:Weisstein, Eric W.
4659:
4440:. You can help by
4407:
4184:
4082:
3885:
3614:
3200:
3091:
2750:
2653:
2651:
2101:
2038:
1976:
1803:
1503:
1333:
1220:must be a root of
1202:
1133:
1079:
979:
580:
510:
439:
284:
63:Padé approximation
21:numerical analysis
5247:
5246:
5203:Laguerre's method
5178:Bairstow's method
4997:"Halley's method"
4756:10.1137/110838297
4657:
4628:
4458:
4457:
4308:
4077:
3851:
3580:
3383:
3052:
2999:
2615:
2377:
1942:
1772:
1714:
1546:Cubic convergence
1498:
1495:
1331:
1200:
1074:
1073:
994:second derivative
960:
898:
835:
768:
765:
732:
428:
282:
37:second derivative
5267:
5188:Graeffe's method
5117:Broyden's method
5066:Bisection method
5043:
5036:
5029:
5020:
5007:
5006:
4980:
4979:
4977:
4966:
4957:
4956:
4943:
4941:
4932:(210): 136–148.
4912:
4903:
4902:
4871:
4865:
4864:
4836:
4830:
4829:
4801:
4795:
4794:
4766:
4760:
4759:
4735:
4729:
4728:
4726:
4724:
4703:
4694:
4668:
4666:
4665:
4660:
4658:
4656:
4652:
4651:
4639:
4630:
4629:
4624:
4623:
4611:
4600:
4599:
4578:
4577:
4565:
4564:
4552:
4541:
4533:
4532:
4520:
4511:
4506:
4505:
4493:
4492:
4453:
4450:
4432:
4425:
4416:
4414:
4413:
4408:
4397:
4396:
4384:
4383:
4367:
4366:
4357:
4356:
4335:
4334:
4325:
4324:
4309:
4307:
4306:
4305:
4296:
4281:
4280:
4272:
4258:
4257:
4248:
4233:
4228:
4227:
4193:
4191:
4190:
4185:
4183:
4182:
4177:
4171:
4170:
4155:
4144:
4139:
4138:
4117:
4091:
4089:
4088:
4083:
4078:
4076:
4066:
4040:
4039:
4021:
4006:
3996:
3979:
3956:
3939:
3927:
3912:
3894:
3892:
3891:
3886:
3881:
3880:
3871:
3870:
3852:
3850:
3846:
3845:
3833:
3822:
3821:
3800:
3799:
3787:
3786:
3774:
3759:
3749:
3738:
3737:
3725:
3702:
3691:
3690:
3678:
3666:
3658:
3657:
3623:
3621:
3620:
3615:
3610:
3609:
3600:
3599:
3581:
3579:
3572:
3571:
3559:
3548:
3547:
3529:
3528:
3516:
3515:
3503:
3482:
3472:
3461:
3460:
3448:
3425:
3414:
3413:
3401:
3389:
3384:
3382:
3378:
3377:
3365:
3354:
3353:
3335:
3334:
3322:
3321:
3309:
3294:
3290:
3289:
3277:
3266:
3265:
3243:
3238:
3237:
3209:
3207:
3206:
3201:
3196:
3195:
3183:
3172:
3171:
3153:
3152:
3140:
3139:
3127:
3100:
3098:
3097:
3092:
3087:
3086:
3077:
3076:
3058:
3054:
3053:
3048:
3038:
3027:
3026:
3014:
3005:
3000:
2995:
2985:
2974:
2973:
2961:
2952:
2939:
2938:
2920:
2916:
2912:
2911:
2899:
2888:
2887:
2869:
2868:
2856:
2855:
2843:
2818:
2817:
2805:
2794:
2793:
2759:
2757:
2756:
2751:
2749:
2748:
2739:
2738:
2717:
2716:
2704:
2693:
2692:
2680:
2662:
2660:
2659:
2654:
2652:
2645:
2644:
2635:
2634:
2616:
2611:
2601:
2590:
2589:
2577:
2568:
2563:
2562:
2553:
2552:
2531:
2530:
2518:
2507:
2506:
2494:
2480:
2479:
2458:
2457:
2445:
2434:
2433:
2411:
2407:
2406:
2397:
2396:
2378:
2373:
2363:
2352:
2351:
2339:
2330:
2325:
2324:
2315:
2314:
2293:
2292:
2280:
2269:
2268:
2256:
2242:
2241:
2223:
2222:
2210:
2209:
2197:
2177:
2176:
2164:
2153:
2152:
2110:
2108:
2107:
2102:
2097:
2096:
2075:
2074:
2062:
2047:
2045:
2044:
2039:
2034:
2033:
2021:
2003:
1985:
1983:
1982:
1977:
1972:
1971:
1962:
1961:
1943:
1938:
1928:
1919:
1911:
1910:
1889:
1888:
1876:
1862:
1861:
1812:
1810:
1809:
1804:
1802:
1801:
1792:
1791:
1773:
1768:
1758:
1749:
1744:
1743:
1734:
1733:
1715:
1710:
1706:
1705:
1693:
1684:
1676:
1675:
1654:
1653:
1641:
1627:
1626:
1579:Taylor's theorem
1576:
1541:
1526:
1512:
1510:
1509:
1504:
1499:
1497:
1496:
1494:
1480:
1472:
1467:
1456:
1444:
1434:
1411:
1410:
1392:
1377:
1363:
1342:
1340:
1339:
1334:
1332:
1330:
1326:
1325:
1313:
1304:
1300:
1299:
1283:
1278:
1277:
1265:
1264:
1212:), and any root
1211:
1209:
1208:
1203:
1201:
1199:
1185:
1177:
1172:
1142:
1140:
1139:
1134:
1088:
1086:
1085:
1080:
1075:
1072:
1058:
1050:
1045:
1044:
1030:
988:
986:
985:
980:
975:
974:
966:
962:
961:
959:
955:
954:
942:
930:
926:
925:
913:
904:
899:
897:
893:
892:
880:
871:
867:
866:
850:
836:
834:
830:
829:
817:
808:
804:
803:
787:
782:
781:
769:
767:
766:
761:
757:
756:
744:
735:
733:
731:
727:
726:
714:
705:
701:
700:
684:
676:
675:
663:
654:
650:
649:
633:
628:
627:
615:
614:
589:
587:
586:
581:
576:
575:
563:
555:
547:
546:
534:
519:
517:
516:
511:
506:
505:
493:
485:
477:
476:
448:
446:
445:
440:
429:
426:
421:
420:
415:
414:
403:
402:
393:
377:
366:
365:
350:
335:
305:
293:
291:
290:
285:
283:
281:
277:
276:
264:
253:
252:
234:
233:
228:
221:
220:
208:
191:
187:
186:
174:
163:
162:
143:
138:
137:
125:
124:
95:
5275:
5274:
5270:
5269:
5268:
5266:
5265:
5264:
5250:
5249:
5248:
5243:
5234:Muller's method
5212:
5159:
5155:Ridders' method
5136:
5103:
5099:Halley's method
5094:Newton's method
5080:
5052:
5047:
4992:
4991:
4988:
4983:
4975:
4968:
4967:
4960:
4945:
4914:
4913:
4906:
4891:10.2307/2303467
4873:
4872:
4868:
4838:
4837:
4833:
4818:10.2307/2321760
4803:
4802:
4798:
4783:10.2307/2975033
4768:
4767:
4763:
4737:
4736:
4732:
4722:
4720:
4701:
4696:
4695:
4691:
4687:
4643:
4632:
4631:
4615:
4604:
4591:
4569:
4556:
4545:
4524:
4513:
4512:
4497:
4478:
4473:
4472:
4454:
4448:
4445:
4438:needs expansion
4423:
4388:
4375:
4358:
4348:
4326:
4316:
4297:
4289:
4282:
4273:
4265:
4249:
4241:
4234:
4213:
4205:
4204:
4172:
4162:
4124:
4108:
4107:
4059:
4031:
4014:
4007:
3989:
3972:
3949:
3932:
3928:
3918:
3917:
3907:
3899:
3872:
3862:
3837:
3826:
3813:
3791:
3778:
3767:
3760:
3742:
3729:
3718:
3695:
3682:
3671:
3667:
3643:
3632:
3631:
3601:
3591:
3563:
3552:
3539:
3520:
3507:
3496:
3483:
3465:
3452:
3441:
3418:
3405:
3394:
3390:
3369:
3358:
3345:
3326:
3313:
3302:
3295:
3281:
3270:
3257:
3244:
3229:
3218:
3217:
3187:
3176:
3163:
3144:
3131:
3120:
3109:
3108:
3078:
3068:
3031:
3018:
3007:
3006:
2978:
2965:
2954:
2953:
2950:
2946:
2930:
2903:
2892:
2879:
2860:
2847:
2836:
2829:
2825:
2809:
2798:
2785:
2765:
2764:
2740:
2730:
2708:
2697:
2684:
2673:
2668:
2667:
2650:
2649:
2636:
2626:
2594:
2581:
2570:
2569:
2554:
2544:
2522:
2511:
2498:
2487:
2471:
2449:
2438:
2425:
2409:
2408:
2398:
2388:
2356:
2343:
2332:
2331:
2316:
2306:
2284:
2273:
2260:
2249:
2233:
2214:
2201:
2190:
2168:
2157:
2144:
2128:
2116:
2115:
2088:
2066:
2055:
2050:
2049:
2025:
2014:
2006:
2005:
2002:
1994:
1963:
1953:
1921:
1920:
1902:
1880:
1869:
1853:
1821:
1820:
1793:
1783:
1751:
1750:
1735:
1725:
1697:
1686:
1685:
1667:
1645:
1634:
1618:
1586:
1585:
1575:
1567:
1548:
1532:
1517:
1473:
1449:
1445:
1427:
1402:
1385:
1378:
1356:
1351:
1350:
1317:
1306:
1305:
1291:
1284:
1269:
1250:
1245:
1244:
1234:Newton's method
1178:
1145:
1144:
1110:
1109:
1051:
1031:
1009:
1008:
1002:
946:
935:
931:
917:
906:
905:
884:
873:
872:
858:
851:
842:
838:
837:
821:
810:
809:
795:
788:
773:
748:
737:
736:
718:
707:
706:
692:
685:
667:
656:
655:
641:
634:
619:
600:
595:
594:
567:
556:
538:
527:
522:
521:
497:
486:
468:
457:
456:
394:
387:
351:
341:
340:
334:
326:
325:, the iterates
304:
298:
268:
257:
244:
212:
201:
196:
192:
178:
167:
154:
144:
129:
110:
105:
104:
86:
83:
75:Muller's method
67:Newton's method
52:Newton's method
25:Halley's method
17:
12:
11:
5:
5273:
5271:
5263:
5262:
5252:
5251:
5245:
5244:
5242:
5241:
5236:
5231:
5226:
5220:
5218:
5214:
5213:
5211:
5210:
5205:
5200:
5195:
5190:
5185:
5180:
5175:
5169:
5167:
5161:
5160:
5158:
5157:
5152:
5150:Brent's method
5146:
5144:
5142:Hybrid methods
5138:
5137:
5135:
5134:
5129:
5124:
5119:
5113:
5111:
5105:
5104:
5102:
5101:
5096:
5090:
5088:
5082:
5081:
5079:
5078:
5073:
5068:
5062:
5060:
5054:
5053:
5048:
5046:
5045:
5038:
5031:
5023:
5017:
5016:
5008:
4987:
4986:External links
4984:
4982:
4981:
4958:
4947:Halley, Edmond
4916:Halley, Edmond
4904:
4875:Bateman, Harry
4866:
4847:(4): 379–394.
4841:J. Numer. Math
4831:
4812:(7): 530–536.
4796:
4777:(5): 417–426.
4761:
4750:(2): 375–396.
4730:
4712:(3): 337–358.
4688:
4686:
4683:
4670:
4669:
4655:
4650:
4646:
4642:
4638:
4635:
4627:
4622:
4618:
4614:
4610:
4607:
4603:
4598:
4594:
4590:
4587:
4584:
4581:
4576:
4572:
4568:
4563:
4559:
4555:
4551:
4548:
4544:
4539:
4536:
4531:
4527:
4523:
4519:
4516:
4509:
4504:
4500:
4496:
4491:
4488:
4485:
4481:
4456:
4455:
4435:
4433:
4422:
4419:
4418:
4417:
4406:
4403:
4400:
4395:
4391:
4387:
4382:
4378:
4374:
4370:
4365:
4361:
4355:
4351:
4347:
4344:
4341:
4338:
4333:
4329:
4323:
4319:
4315:
4312:
4304:
4300:
4295:
4292:
4288:
4285:
4279:
4276:
4271:
4268:
4264:
4261:
4256:
4252:
4247:
4244:
4240:
4237:
4231:
4226:
4223:
4220:
4216:
4212:
4200:To summarize,
4195:
4194:
4181:
4176:
4169:
4165:
4161:
4158:
4154:
4150:
4147:
4143:
4137:
4134:
4131:
4127:
4123:
4120:
4116:
4093:
4092:
4081:
4075:
4072:
4069:
4065:
4062:
4058:
4055:
4052:
4049:
4046:
4043:
4038:
4034:
4030:
4027:
4024:
4020:
4017:
4013:
4010:
4005:
4002:
3999:
3995:
3992:
3988:
3985:
3982:
3978:
3975:
3971:
3968:
3965:
3962:
3959:
3955:
3952:
3948:
3945:
3942:
3938:
3935:
3931:
3925:
3903:
3896:
3895:
3884:
3879:
3875:
3869:
3865:
3861:
3858:
3855:
3849:
3844:
3840:
3836:
3832:
3829:
3825:
3820:
3816:
3812:
3809:
3806:
3803:
3798:
3794:
3790:
3785:
3781:
3777:
3773:
3770:
3766:
3763:
3758:
3755:
3752:
3748:
3745:
3741:
3736:
3732:
3728:
3724:
3721:
3717:
3714:
3711:
3708:
3705:
3701:
3698:
3694:
3689:
3685:
3681:
3677:
3674:
3670:
3664:
3661:
3656:
3653:
3650:
3646:
3642:
3639:
3625:
3624:
3613:
3608:
3604:
3598:
3594:
3590:
3587:
3584:
3578:
3575:
3570:
3566:
3562:
3558:
3555:
3551:
3546:
3542:
3538:
3535:
3532:
3527:
3523:
3519:
3514:
3510:
3506:
3502:
3499:
3495:
3492:
3489:
3486:
3481:
3478:
3475:
3471:
3468:
3464:
3459:
3455:
3451:
3447:
3444:
3440:
3437:
3434:
3431:
3428:
3424:
3421:
3417:
3412:
3408:
3404:
3400:
3397:
3393:
3387:
3381:
3376:
3372:
3368:
3364:
3361:
3357:
3352:
3348:
3344:
3341:
3338:
3333:
3329:
3325:
3320:
3316:
3312:
3308:
3305:
3301:
3298:
3293:
3288:
3284:
3280:
3276:
3273:
3269:
3264:
3260:
3256:
3253:
3250:
3247:
3241:
3236:
3232:
3228:
3225:
3211:
3210:
3199:
3194:
3190:
3186:
3182:
3179:
3175:
3170:
3166:
3162:
3159:
3156:
3151:
3147:
3143:
3138:
3134:
3130:
3126:
3123:
3119:
3116:
3102:
3101:
3090:
3085:
3081:
3075:
3071:
3067:
3064:
3061:
3057:
3051:
3047:
3044:
3041:
3037:
3034:
3030:
3025:
3021:
3017:
3013:
3010:
3003:
2998:
2994:
2991:
2988:
2984:
2981:
2977:
2972:
2968:
2964:
2960:
2957:
2949:
2945:
2942:
2937:
2933:
2929:
2926:
2923:
2919:
2915:
2910:
2906:
2902:
2898:
2895:
2891:
2886:
2882:
2878:
2875:
2872:
2867:
2863:
2859:
2854:
2850:
2846:
2842:
2839:
2835:
2832:
2828:
2824:
2821:
2816:
2812:
2808:
2804:
2801:
2797:
2792:
2788:
2784:
2781:
2778:
2775:
2772:
2747:
2743:
2737:
2733:
2729:
2726:
2723:
2720:
2715:
2711:
2707:
2703:
2700:
2696:
2691:
2687:
2683:
2679:
2676:
2664:
2663:
2648:
2643:
2639:
2633:
2629:
2625:
2622:
2619:
2614:
2610:
2607:
2604:
2600:
2597:
2593:
2588:
2584:
2580:
2576:
2573:
2566:
2561:
2557:
2551:
2547:
2543:
2540:
2537:
2534:
2529:
2525:
2521:
2517:
2514:
2510:
2505:
2501:
2497:
2493:
2490:
2486:
2483:
2478:
2474:
2470:
2467:
2464:
2461:
2456:
2452:
2448:
2444:
2441:
2437:
2432:
2428:
2424:
2421:
2418:
2414:
2412:
2410:
2405:
2401:
2395:
2391:
2387:
2384:
2381:
2376:
2372:
2369:
2366:
2362:
2359:
2355:
2350:
2346:
2342:
2338:
2335:
2328:
2323:
2319:
2313:
2309:
2305:
2302:
2299:
2296:
2291:
2287:
2283:
2279:
2276:
2272:
2267:
2263:
2259:
2255:
2252:
2248:
2245:
2240:
2236:
2232:
2229:
2226:
2221:
2217:
2213:
2208:
2204:
2200:
2196:
2193:
2189:
2186:
2183:
2180:
2175:
2171:
2167:
2163:
2160:
2156:
2151:
2147:
2143:
2140:
2137:
2134:
2131:
2129:
2127:
2124:
2123:
2100:
2095:
2091:
2087:
2084:
2081:
2078:
2073:
2069:
2065:
2061:
2058:
2037:
2032:
2028:
2024:
2020:
2017:
2013:
1998:
1987:
1986:
1975:
1970:
1966:
1960:
1956:
1952:
1949:
1946:
1941:
1937:
1934:
1931:
1927:
1924:
1917:
1914:
1909:
1905:
1901:
1898:
1895:
1892:
1887:
1883:
1879:
1875:
1872:
1868:
1865:
1860:
1856:
1852:
1849:
1846:
1843:
1840:
1837:
1834:
1831:
1828:
1814:
1813:
1800:
1796:
1790:
1786:
1782:
1779:
1776:
1771:
1767:
1764:
1761:
1757:
1754:
1747:
1742:
1738:
1732:
1728:
1724:
1721:
1718:
1713:
1709:
1704:
1700:
1696:
1692:
1689:
1682:
1679:
1674:
1670:
1666:
1663:
1660:
1657:
1652:
1648:
1644:
1640:
1637:
1633:
1630:
1625:
1621:
1617:
1614:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1571:
1547:
1544:
1514:
1513:
1502:
1493:
1489:
1486:
1483:
1479:
1476:
1471:
1465:
1462:
1459:
1455:
1452:
1448:
1443:
1440:
1437:
1433:
1430:
1426:
1423:
1420:
1417:
1414:
1409:
1405:
1401:
1398:
1395:
1391:
1388:
1384:
1381:
1375:
1372:
1369:
1366:
1362:
1359:
1344:
1343:
1329:
1324:
1320:
1316:
1312:
1309:
1303:
1298:
1294:
1290:
1287:
1281:
1276:
1272:
1268:
1263:
1260:
1257:
1253:
1198:
1194:
1191:
1188:
1184:
1181:
1176:
1170:
1167:
1164:
1161:
1158:
1155:
1152:
1132:
1129:
1126:
1123:
1120:
1117:
1090:
1089:
1078:
1071:
1067:
1064:
1061:
1057:
1054:
1049:
1043:
1040:
1037:
1034:
1028:
1025:
1022:
1019:
1016:
1001:
998:
990:
989:
978:
973:
970:
965:
958:
953:
949:
945:
941:
938:
934:
929:
924:
920:
916:
912:
909:
902:
896:
891:
887:
883:
879:
876:
870:
865:
861:
857:
854:
848:
845:
841:
833:
828:
824:
820:
816:
813:
807:
802:
798:
794:
791:
785:
780:
776:
772:
764:
760:
755:
751:
747:
743:
740:
730:
725:
721:
717:
713:
710:
704:
699:
695:
691:
688:
682:
679:
674:
670:
666:
662:
659:
653:
648:
644:
640:
637:
631:
626:
622:
618:
613:
610:
607:
603:
579:
574:
570:
566:
562:
559:
554:
550:
545:
541:
537:
533:
530:
509:
504:
500:
496:
492:
489:
484:
480:
475:
471:
467:
464:
450:
449:
438:
435:
432:
424:
419:
413:
409:
406:
401:
397:
392:
386:
383:
380:
376:
372:
369:
364:
361:
358:
354:
349:
330:
302:
295:
294:
280:
275:
271:
267:
263:
260:
256:
251:
247:
243:
240:
237:
232:
227:
224:
219:
215:
211:
207:
204:
200:
195:
190:
185:
181:
177:
173:
170:
166:
161:
157:
153:
150:
147:
141:
136:
132:
128:
123:
120:
117:
113:
82:
79:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5272:
5261:
5258:
5257:
5255:
5240:
5237:
5235:
5232:
5230:
5227:
5225:
5222:
5221:
5219:
5217:Other methods
5215:
5209:
5206:
5204:
5201:
5199:
5196:
5194:
5191:
5189:
5186:
5184:
5181:
5179:
5176:
5174:
5173:Aberth method
5171:
5170:
5168:
5166:
5162:
5156:
5153:
5151:
5148:
5147:
5145:
5143:
5139:
5133:
5130:
5128:
5125:
5123:
5122:Secant method
5120:
5118:
5115:
5114:
5112:
5110:
5106:
5100:
5097:
5095:
5092:
5091:
5089:
5087:
5083:
5077:
5074:
5072:
5069:
5067:
5064:
5063:
5061:
5059:
5055:
5051:
5044:
5039:
5037:
5032:
5030:
5025:
5024:
5021:
5014:
5013:
5009:
5004:
5003:
4998:
4995:
4990:
4989:
4985:
4974:
4973:
4965:
4963:
4959:
4954:
4953:
4948:
4940:
4935:
4931:
4927:
4926:
4921:
4917:
4911:
4909:
4905:
4900:
4896:
4892:
4888:
4884:
4880:
4876:
4870:
4867:
4862:
4858:
4854:
4850:
4846:
4842:
4835:
4832:
4827:
4823:
4819:
4815:
4811:
4807:
4800:
4797:
4792:
4788:
4784:
4780:
4776:
4772:
4765:
4762:
4757:
4753:
4749:
4745:
4741:
4734:
4731:
4719:
4715:
4711:
4707:
4700:
4693:
4690:
4684:
4682:
4680:
4676:
4648:
4644:
4636:
4633:
4620:
4616:
4608:
4605:
4596:
4592:
4585:
4582:
4579:
4574:
4561:
4557:
4549:
4546:
4537:
4529:
4525:
4517:
4514:
4507:
4502:
4498:
4494:
4489:
4486:
4483:
4479:
4471:
4470:
4469:
4467:
4463:
4452:
4443:
4439:
4436:This section
4434:
4431:
4427:
4426:
4404:
4401:
4398:
4393:
4389:
4385:
4380:
4376:
4368:
4363:
4353:
4349:
4339:
4336:
4331:
4321:
4317:
4302:
4293:
4290:
4283:
4277:
4274:
4269:
4266:
4262:
4259:
4254:
4245:
4242:
4235:
4229:
4224:
4221:
4218:
4214:
4203:
4202:
4201:
4198:
4179:
4167:
4163:
4159:
4156:
4148:
4145:
4135:
4132:
4129:
4125:
4121:
4118:
4106:
4105:
4104:
4102:
4098:
4079:
4070:
4063:
4060:
4053:
4047:
4044:
4041:
4036:
4025:
4018:
4015:
4008:
4000:
3993:
3990:
3983:
3976:
3973:
3969:
3966:
3960:
3953:
3950:
3943:
3936:
3933:
3929:
3923:
3916:
3915:
3914:
3911:
3906:
3902:
3882:
3877:
3867:
3863:
3859:
3856:
3842:
3838:
3830:
3827:
3818:
3814:
3807:
3804:
3801:
3796:
3783:
3779:
3771:
3768:
3761:
3753:
3746:
3743:
3734:
3730:
3722:
3719:
3715:
3712:
3706:
3699:
3696:
3687:
3683:
3675:
3672:
3668:
3662:
3659:
3654:
3651:
3648:
3644:
3640:
3637:
3630:
3629:
3628:
3611:
3606:
3596:
3592:
3588:
3585:
3568:
3564:
3556:
3553:
3544:
3540:
3533:
3530:
3525:
3512:
3508:
3500:
3497:
3490:
3484:
3476:
3469:
3466:
3457:
3453:
3445:
3442:
3438:
3435:
3429:
3422:
3419:
3410:
3406:
3398:
3395:
3391:
3385:
3374:
3370:
3362:
3359:
3350:
3346:
3339:
3336:
3331:
3318:
3314:
3306:
3303:
3296:
3286:
3282:
3274:
3271:
3262:
3258:
3251:
3248:
3245:
3239:
3234:
3230:
3226:
3223:
3216:
3215:
3214:
3192:
3188:
3180:
3177:
3168:
3164:
3157:
3154:
3149:
3136:
3132:
3124:
3121:
3114:
3107:
3106:
3105:
3088:
3083:
3073:
3069:
3065:
3062:
3055:
3049:
3042:
3035:
3032:
3023:
3019:
3011:
3008:
3001:
2996:
2989:
2982:
2979:
2970:
2966:
2958:
2955:
2947:
2943:
2935:
2931:
2927:
2924:
2917:
2908:
2904:
2896:
2893:
2884:
2880:
2873:
2870:
2865:
2852:
2848:
2840:
2837:
2830:
2826:
2822:
2814:
2810:
2802:
2799:
2790:
2786:
2779:
2776:
2773:
2770:
2763:
2762:
2761:
2745:
2735:
2731:
2727:
2724:
2713:
2709:
2701:
2698:
2689:
2685:
2677:
2674:
2646:
2641:
2631:
2627:
2623:
2620:
2612:
2605:
2598:
2595:
2586:
2582:
2574:
2571:
2564:
2559:
2549:
2545:
2541:
2538:
2527:
2523:
2515:
2512:
2503:
2499:
2491:
2488:
2484:
2476:
2472:
2468:
2465:
2454:
2450:
2442:
2439:
2430:
2426:
2419:
2416:
2413:
2403:
2393:
2389:
2385:
2382:
2374:
2367:
2360:
2357:
2348:
2344:
2336:
2333:
2326:
2321:
2311:
2307:
2303:
2300:
2289:
2285:
2277:
2274:
2265:
2261:
2253:
2250:
2246:
2238:
2234:
2230:
2227:
2219:
2206:
2202:
2194:
2191:
2184:
2181:
2173:
2169:
2161:
2158:
2149:
2145:
2138:
2135:
2132:
2130:
2125:
2114:
2113:
2112:
2093:
2089:
2085:
2082:
2071:
2067:
2059:
2056:
2030:
2026:
2018:
2015:
2011:
2001:
1997:
1992:
1973:
1968:
1958:
1954:
1950:
1947:
1939:
1932:
1925:
1922:
1915:
1907:
1903:
1899:
1896:
1885:
1881:
1873:
1870:
1866:
1858:
1854:
1847:
1844:
1838:
1832:
1829:
1826:
1819:
1818:
1817:
1798:
1788:
1784:
1780:
1777:
1769:
1762:
1755:
1752:
1745:
1740:
1730:
1726:
1722:
1719:
1711:
1702:
1698:
1690:
1687:
1680:
1672:
1668:
1664:
1661:
1650:
1646:
1638:
1635:
1631:
1623:
1619:
1612:
1609:
1603:
1597:
1594:
1591:
1584:
1583:
1582:
1580:
1574:
1570:
1565:
1561:
1557:
1554:is a root of
1553:
1545:
1543:
1539:
1535:
1530:
1524:
1520:
1500:
1484:
1477:
1474:
1460:
1453:
1450:
1446:
1438:
1431:
1428:
1421:
1415:
1412:
1407:
1396:
1389:
1386:
1379:
1373:
1367:
1360:
1357:
1349:
1348:
1347:
1322:
1318:
1310:
1307:
1296:
1292:
1285:
1279:
1274:
1270:
1266:
1261:
1258:
1255:
1251:
1243:
1242:
1241:
1239:
1235:
1231:
1227:
1223:
1219:
1215:
1189:
1182:
1179:
1168:
1165:
1162:
1156:
1150:
1130:
1127:
1121:
1115:
1107:
1103:
1099:
1095:
1076:
1062:
1055:
1052:
1038:
1032:
1026:
1020:
1014:
1007:
1006:
1005:
999:
997:
995:
976:
971:
968:
963:
951:
947:
939:
936:
932:
922:
918:
910:
907:
900:
889:
885:
877:
874:
863:
859:
852:
846:
843:
839:
826:
822:
814:
811:
800:
796:
789:
783:
778:
774:
770:
762:
753:
749:
741:
738:
723:
719:
711:
708:
697:
693:
686:
680:
672:
668:
660:
657:
646:
642:
635:
629:
624:
620:
616:
611:
608:
605:
601:
593:
592:
591:
572:
568:
560:
557:
552:
543:
539:
531:
528:
502:
498:
490:
487:
482:
473:
469:
462:
453:
436:
433:
430:
422:
417:
407:
404:
399:
395:
384:
381:
378:
370:
367:
362:
359:
356:
352:
339:
338:
337:
333:
329:
324:
320:
317:is a zero of
316:
312:
307:
301:
273:
269:
261:
258:
249:
245:
238:
235:
230:
217:
213:
205:
202:
193:
183:
179:
171:
168:
159:
155:
148:
145:
139:
134:
130:
126:
121:
118:
115:
111:
103:
102:
101:
99:
93:
89:
80:
78:
76:
72:
71:Secant method
68:
64:
59:
57:
53:
49:
44:
42:
41:Edmond Halley
38:
34:
30:
26:
22:
5109:Quasi-Newton
5098:
5071:Regula falsi
5010:
5000:
4971:
4951:
4929:
4928:(in Latin).
4923:
4918:(May 1694).
4885:(1): 11–17.
4882:
4878:
4869:
4844:
4840:
4834:
4809:
4805:
4799:
4774:
4770:
4764:
4747:
4743:
4733:
4721:. Retrieved
4709:
4705:
4692:
4671:
4465:
4461:
4459:
4446:
4442:adding to it
4437:
4199:
4196:
4100:
4096:
4094:
3909:
3904:
3900:
3897:
3626:
3212:
3103:
2665:
1999:
1995:
1990:
1988:
1815:
1572:
1568:
1563:
1559:
1555:
1551:
1549:
1537:
1533:
1528:
1522:
1518:
1515:
1345:
1237:
1229:
1225:
1221:
1217:
1213:
1105:
1101:
1097:
1093:
1091:
1003:
991:
454:
451:
331:
327:
322:
318:
314:
310:
308:
299:
296:
97:
91:
87:
84:
60:
45:
24:
18:
5086:Householder
4744:SIAM Review
4723:2 September
4449:August 2024
4095:If we take
5076:ITP method
4685:References
2666:Canceling
1000:Derivation
5002:MathWorld
4677:, so the
4580:−
4538:−
4508:−
4399:−
4386:≜
4373:Δ
4346:Δ
4314:Δ
4260:−
4211:Δ
4160:−
4146:≤
4122:−
4042:−
3967:−
3924:−
3860:−
3802:−
3754:η
3713:−
3707:ξ
3663:−
3641:−
3589:−
3531:−
3477:η
3436:−
3430:ξ
3386:−
3337:−
3246:−
3227:−
3155:−
3066:−
3043:η
3002:−
2990:ξ
2928:−
2871:−
2728:−
2624:−
2606:η
2565:−
2542:−
2485:−
2469:−
2417:−
2386:−
2368:ξ
2304:−
2231:−
2111:to give:
2086:−
1951:−
1933:η
1900:−
1816:and also
1781:−
1763:ξ
1723:−
1665:−
1581:implies:
1413:−
1280:−
1169:≠
1092:Any root
992:When the
969:−
901:⋅
847:−
784:−
681:−
630:−
405:−
385:⋅
379:≤
368:−
336:satisfy:
236:−
140:−
33:functions
31:used for
5254:Category
4861:10356202
4637:″
4609:″
4550:′
4518:′
4294:′
4278:‴
4270:′
4246:″
4103:to get:
4064:″
4019:′
3994:″
3977:″
3954:‴
3937:′
3831:″
3772:′
3747:″
3723:″
3700:‴
3676:′
3557:″
3501:′
3470:″
3446:″
3423:‴
3399:′
3363:″
3307:′
3275:′
3213:to get:
3181:″
3125:′
3036:″
3012:″
2983:‴
2959:′
2897:″
2841:′
2803:′
2702:″
2678:′
2599:″
2575:″
2516:″
2492:′
2443:″
2361:‴
2337:′
2278:″
2254:′
2195:′
2162:′
2060:″
2019:′
1926:″
1874:′
1756:‴
1691:″
1639:′
1550:Suppose
1531:because
1478:′
1454:′
1432:″
1390:′
1361:′
1311:′
1183:′
1100:that is
1056:′
940:′
911:″
878:′
815:′
742:″
712:′
661:′
561:′
532:″
491:′
262:″
206:′
172:′
50:, after
4899:2303467
4826:2321760
4791:2975033
4679:latency
1108:(i.e.,
69:or the
4897:
4859:
4824:
4789:
3627:Thus:
1346:with
1240:gives
81:Method
4976:(PDF)
4895:JSTOR
4857:S2CID
4822:JSTOR
4787:JSTOR
4702:(PDF)
1525:) = 0
1143:when
94:) = 0
27:is a
4725:2024
3913:is:
1993:and
1566:and
434:>
4934:doi
4887:doi
4849:doi
4814:doi
4779:doi
4775:102
4752:doi
4714:doi
4462:two
4444:.
1236:to
1228:at
1216:of
1102:not
1096:of
309:If
19:In
5256::
4999:.
4961:^
4930:18
4922:.
4907:^
4893:.
4883:45
4881:.
4855:.
4845:23
4843:.
4820:.
4810:88
4808:.
4785:.
4773:.
4748:55
4746:.
4742:.
4710:25
4708:.
4704:.
4284:12
4009:12
3908:→
3762:12
1521:′(
437:0.
306:.
39:.
23:,
5042:e
5035:t
5028:v
5005:.
4942:.
4936::
4901:.
4889::
4863:.
4851::
4828:.
4816::
4793:.
4781::
4758:.
4754::
4727:.
4716::
4654:)
4649:n
4645:x
4641:(
4634:f
4626:)
4621:n
4617:x
4613:(
4606:f
4602:)
4597:n
4593:x
4589:(
4586:f
4583:2
4575:2
4571:]
4567:)
4562:n
4558:x
4554:(
4547:f
4543:[
4535:)
4530:n
4526:x
4522:(
4515:f
4503:n
4499:x
4495:=
4490:1
4487:+
4484:n
4480:x
4451:)
4447:(
4405:.
4402:a
4394:i
4390:x
4381:i
4377:x
4369:,
4364:4
4360:]
4354:i
4350:x
4343:[
4340:O
4337:+
4332:3
4328:)
4322:i
4318:x
4311:(
4303:2
4299:)
4291:f
4287:(
4275:f
4267:f
4263:2
4255:2
4251:)
4243:f
4239:(
4236:3
4230:=
4225:1
4222:+
4219:i
4215:x
4180:3
4175:|
4168:n
4164:x
4157:a
4153:|
4149:K
4142:|
4136:1
4133:+
4130:n
4126:x
4119:a
4115:|
4101:a
4097:K
4080:.
4074:)
4071:a
4068:(
4061:f
4057:)
4054:a
4051:(
4048:f
4045:6
4037:2
4033:]
4029:)
4026:a
4023:(
4016:f
4012:[
4004:)
4001:a
3998:(
3991:f
3987:)
3984:a
3981:(
3974:f
3970:3
3964:)
3961:a
3958:(
3951:f
3947:)
3944:a
3941:(
3934:f
3930:2
3910:a
3905:n
3901:x
3883:.
3878:3
3874:)
3868:n
3864:x
3857:a
3854:(
3848:)
3843:n
3839:x
3835:(
3828:f
3824:)
3819:n
3815:x
3811:(
3808:f
3805:6
3797:2
3793:]
3789:)
3784:n
3780:x
3776:(
3769:f
3765:[
3757:)
3751:(
3744:f
3740:)
3735:n
3731:x
3727:(
3720:f
3716:3
3710:)
3704:(
3697:f
3693:)
3688:n
3684:x
3680:(
3673:f
3669:2
3660:=
3655:1
3652:+
3649:n
3645:x
3638:a
3612:.
3607:3
3603:)
3597:n
3593:x
3586:a
3583:(
3577:)
3574:)
3569:n
3565:x
3561:(
3554:f
3550:)
3545:n
3541:x
3537:(
3534:f
3526:2
3522:]
3518:)
3513:n
3509:x
3505:(
3498:f
3494:[
3491:2
3488:(
3485:6
3480:)
3474:(
3467:f
3463:)
3458:n
3454:x
3450:(
3443:f
3439:3
3433:)
3427:(
3420:f
3416:)
3411:n
3407:x
3403:(
3396:f
3392:2
3380:)
3375:n
3371:x
3367:(
3360:f
3356:)
3351:n
3347:x
3343:(
3340:f
3332:2
3328:]
3324:)
3319:n
3315:x
3311:(
3304:f
3300:[
3297:2
3292:)
3287:n
3283:x
3279:(
3272:f
3268:)
3263:n
3259:x
3255:(
3252:f
3249:2
3240:=
3235:n
3231:x
3224:a
3198:)
3193:n
3189:x
3185:(
3178:f
3174:)
3169:n
3165:x
3161:(
3158:f
3150:2
3146:]
3142:)
3137:n
3133:x
3129:(
3122:f
3118:[
3115:2
3089:.
3084:3
3080:)
3074:n
3070:x
3063:a
3060:(
3056:)
3050:2
3046:)
3040:(
3033:f
3029:)
3024:n
3020:x
3016:(
3009:f
2997:3
2993:)
2987:(
2980:f
2976:)
2971:n
2967:x
2963:(
2956:f
2948:(
2944:+
2941:)
2936:n
2932:x
2925:a
2922:(
2918:)
2914:)
2909:n
2905:x
2901:(
2894:f
2890:)
2885:n
2881:x
2877:(
2874:f
2866:2
2862:]
2858:)
2853:n
2849:x
2845:(
2838:f
2834:[
2831:2
2827:(
2823:+
2820:)
2815:n
2811:x
2807:(
2800:f
2796:)
2791:n
2787:x
2783:(
2780:f
2777:2
2774:=
2771:0
2746:2
2742:)
2736:n
2732:x
2725:a
2722:(
2719:)
2714:n
2710:x
2706:(
2699:f
2695:)
2690:n
2686:x
2682:(
2675:f
2647:.
2642:3
2638:)
2632:n
2628:x
2621:a
2618:(
2613:2
2609:)
2603:(
2596:f
2592:)
2587:n
2583:x
2579:(
2572:f
2560:2
2556:)
2550:n
2546:x
2539:a
2536:(
2533:)
2528:n
2524:x
2520:(
2513:f
2509:)
2504:n
2500:x
2496:(
2489:f
2482:)
2477:n
2473:x
2466:a
2463:(
2460:)
2455:n
2451:x
2447:(
2440:f
2436:)
2431:n
2427:x
2423:(
2420:f
2404:3
2400:)
2394:n
2390:x
2383:a
2380:(
2375:3
2371:)
2365:(
2358:f
2354:)
2349:n
2345:x
2341:(
2334:f
2327:+
2322:2
2318:)
2312:n
2308:x
2301:a
2298:(
2295:)
2290:n
2286:x
2282:(
2275:f
2271:)
2266:n
2262:x
2258:(
2251:f
2247:+
2244:)
2239:n
2235:x
2228:a
2225:(
2220:2
2216:]
2212:)
2207:n
2203:x
2199:(
2192:f
2188:[
2185:2
2182:+
2179:)
2174:n
2170:x
2166:(
2159:f
2155:)
2150:n
2146:x
2142:(
2139:f
2136:2
2133:=
2126:0
2099:)
2094:n
2090:x
2083:a
2080:(
2077:)
2072:n
2068:x
2064:(
2057:f
2036:)
2031:n
2027:x
2023:(
2016:f
2012:2
2000:n
1996:x
1991:a
1974:,
1969:2
1965:)
1959:n
1955:x
1948:a
1945:(
1940:2
1936:)
1930:(
1923:f
1916:+
1913:)
1908:n
1904:x
1897:a
1894:(
1891:)
1886:n
1882:x
1878:(
1871:f
1867:+
1864:)
1859:n
1855:x
1851:(
1848:f
1845:=
1842:)
1839:a
1836:(
1833:f
1830:=
1827:0
1799:3
1795:)
1789:n
1785:x
1778:a
1775:(
1770:6
1766:)
1760:(
1753:f
1746:+
1741:2
1737:)
1731:n
1727:x
1720:a
1717:(
1712:2
1708:)
1703:n
1699:x
1695:(
1688:f
1681:+
1678:)
1673:n
1669:x
1662:a
1659:(
1656:)
1651:n
1647:x
1643:(
1636:f
1632:+
1629:)
1624:n
1620:x
1616:(
1613:f
1610:=
1607:)
1604:a
1601:(
1598:f
1595:=
1592:0
1573:n
1569:x
1564:a
1560:f
1556:f
1552:a
1540:)
1538:c
1536:(
1534:g
1529:c
1523:c
1519:f
1501:,
1492:|
1488:)
1485:x
1482:(
1475:f
1470:|
1464:)
1461:x
1458:(
1451:f
1447:2
1442:)
1439:x
1436:(
1429:f
1425:)
1422:x
1419:(
1416:f
1408:2
1404:]
1400:)
1397:x
1394:(
1387:f
1383:[
1380:2
1374:=
1371:)
1368:x
1365:(
1358:g
1328:)
1323:n
1319:x
1315:(
1308:g
1302:)
1297:n
1293:x
1289:(
1286:g
1275:n
1271:x
1267:=
1262:1
1259:+
1256:n
1252:x
1238:g
1230:r
1226:f
1222:f
1218:g
1214:r
1197:|
1193:)
1190:r
1187:(
1180:f
1175:|
1166:0
1163:=
1160:)
1157:r
1154:(
1151:f
1131:0
1128:=
1125:)
1122:r
1119:(
1116:g
1106:g
1098:f
1094:r
1077:.
1070:|
1066:)
1063:x
1060:(
1053:f
1048:|
1042:)
1039:x
1036:(
1033:f
1027:=
1024:)
1021:x
1018:(
1015:g
977:.
972:1
964:]
957:)
952:n
948:x
944:(
937:f
933:2
928:)
923:n
919:x
915:(
908:f
895:)
890:n
886:x
882:(
875:f
869:)
864:n
860:x
856:(
853:f
844:1
840:[
832:)
827:n
823:x
819:(
812:f
806:)
801:n
797:x
793:(
790:f
779:n
775:x
771:=
763:2
759:)
754:n
750:x
746:(
739:f
729:)
724:n
720:x
716:(
709:f
703:)
698:n
694:x
690:(
687:f
678:)
673:n
669:x
665:(
658:f
652:)
647:n
643:x
639:(
636:f
625:n
621:x
617:=
612:1
609:+
606:n
602:x
578:)
573:n
569:x
565:(
558:f
553:/
549:)
544:n
540:x
536:(
529:f
508:)
503:n
499:x
495:(
488:f
483:/
479:)
474:n
470:x
466:(
463:f
431:K
423:,
418:3
412:|
408:a
400:n
396:x
391:|
382:K
375:|
371:a
363:1
360:+
357:n
353:x
348:|
332:n
328:x
323:a
319:f
315:a
311:f
303:0
300:x
279:)
274:n
270:x
266:(
259:f
255:)
250:n
246:x
242:(
239:f
231:2
226:]
223:)
218:n
214:x
210:(
203:f
199:[
194:2
189:)
184:n
180:x
176:(
169:f
165:)
160:n
156:x
152:(
149:f
146:2
135:n
131:x
127:=
122:1
119:+
116:n
112:x
98:f
92:x
90:(
88:f
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
