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602:
813:
65:
1334:{\displaystyle 2^{n}n!{\sqrt {\pi }}{\begin{cases}1,&n=m+2\\\left(n+{\frac {1}{2}}\right),&n=m\\(n+1)(n+2),&n=m-2\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
564:
632:
1752:{\displaystyle {\begin{cases}2^{m+n/2}{\sqrt {\pi }}{\binom {m}{n/2}}{\frac {m!n!}{(n/2)!}},&n{\text{ even and}}\leq 2m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
157:
3603:
1405:
2691:
3223:{\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {\pi }}(-1)^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(2z)^{n},&n\,\mathrm {odd} \\0,&n\,\mathrm {even} \end{cases}}\,}
3449:
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3003:
2392:
882:
3911:
1046:
3906:
2149:
3810:[On the development of a function of arbitrarily many variables according to higher-order Laplace functions],
819:
3861:
2491:
520:{\displaystyle H^{-1}\{f_{H}(n)\}\equiv F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}f_{H}(n)H_{n}(x)}
2329:
2061:
2223:
3236:
3808:"Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung"
3393:
73:
962:
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1103:
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29:
2283:
2804:
299:{\displaystyle H\{F(x)\}\equiv f_{H}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\ H_{n}(x)\ F(x)\ dx}
21:
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539:
610:
3827:
3680:{\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {\pi }}H_{n}(y)&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}}
133:
25:
1532:{\displaystyle \left(-1\right)^{p-m}2^{p-1/2}\Gamma (p+1/2),\ m+n=2p,\ p\in \mathbb {Z} }
3849:
3769:
2791:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x_{0})^{k}}{k!}}f_{H}(n+k)}
3900:
3722:
Feldheim, Ervin (1938). "Quelques nouvelles relations pour les polynomes d'Hermite".
3707:
3745:
Bailey, W. N. (1939). "On
Hermite polynomials and associated Legendre functions".
3754:
3592:{\displaystyle {\frac {H_{m}(y)H_{m+1}(x)-H_{m}(x)H_{m+1}(y)}{2^{m+1}m!(x-y)}}}
3731:
3819:
3880:
3770:"On a convolution structure of a generalized Hermite transformation"
3709:
Hermite and
Laguerre integral transforms : preliminary report
2990:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}(-1)^{n}\left^{-1}f_{H}(n)g_{H}(n)\,}
3793:
3081:{\displaystyle e^{z^{2}}\sin(xz),\ |z|<{\frac {1}{2}}\ \,}
3673:
3215:
2040:
1745:
1327:
767:
2478:{\displaystyle nf_{H}(n+m-1)+{\frac {1}{2}}f_{H}(n+m+1)\,}
3706:
McCully, Joseph
Courtney; Churchill, Ruel Vance (1953),
951:{\displaystyle e^{2xt-t^{2}},\ |t|<{\frac {1}{2}}\,}
533:
3606:
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1090:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}\,}
3679:
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2210:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}2^{n+p+q}(n+p+q)!\,}
869:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}a^{n}e^{a^{2}/4}\,}
3812:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
2588:{\displaystyle e^{x^{2}}{\frac {d}{dx}}\left\,}
3777:Serdica Bulgariacae Mathematicae Publicationes
2381:{\displaystyle x{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}F(x)\,}
2138:{\displaystyle H_{n+p+q}(x)H_{p}(x)H_{q}(x)\,}
2272:{\displaystyle {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}F(x)\,}
1657:
1634:
8:
3831:. See p. 174, eq. (18) and p. 173, eq. (13).
3382:{\displaystyle (1-z^{2})^{-1/2}\exp \left\,}
3138:
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405:
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328:
184:
169:
95:
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3436:{\displaystyle {\sqrt {\pi }}z^{n}H_{n}(y)}
3747:Journal of the London Mathematical Society
3724:Journal of the London Mathematical Society
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308:The inverse Hermite transform
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92:
86:
54:
48:
24:named after the mathematician
1:
3869:, vol. II, McGraw-Hill,
3768:Glaeske, Hans-Jürgen (1983).
2635:{\displaystyle -2nf_{H}(n)\,}
67:as kernels of the transform.
2316:{\displaystyle f_{H}(n+m)\,}
530:Some Hermite transform pairs
3814:(in German) (66): 161–176,
3726:(in French). s1-13: 22–29.
2839:{\displaystyle F(x)*G(x)\,}
3928:
3796:, p. 194, 10.13 (22).
2680:{\displaystyle F(x-x_{0})}
1035:{\displaystyle H_{m}(x)\,}
597:{\displaystyle f_{H}(n)\,}
3755:10.1112/jlms/s1-14.4.281
808:{\displaystyle e^{ax}\,}
60:{\displaystyle H_{n}(x)}
3732:10.1112/jlms/s1-13.1.22
3806:Mehler, F. G. (1866),
3749:. s1-14 (4): 281–286.
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124:
70:The Hermite transform
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3858:Tricomi, Francesco G.
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62:
3912:Mathematical physics
3854:Oberhettinger, Fritz
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152:{\displaystyle F(x)}
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16:In mathematics, the
3907:Integral transforms
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