3182:
2540:
3177:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{t=\color {blue}0}^{n}{\binom {t}{k}}=\sum _{t=\color {blue}k}^{n}{\binom {t}{k}}&=\sum _{t=k}^{n}\left\\&=\sum _{t=\color {green}k}^{\color {green}n}{\binom {\color {green}{t+1}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&=\sum _{t=\color {green}{k+1}}^{\color {green}{n+1}}{\binom {\color {green}{t}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}-\underbrace {\binom {k}{k+1}} _{0}&&{\text{by telescoping}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}.\end{aligned}}}
2520:
693:
4572:
2091:
3838:
441:
274:
900:
22:
2252:
484:
3535:
1044:
1526:
1672:
1802:
2241:
4364:
1874:
2545:
1287:
2137:
309:
3338:
99:
3303:
4317:
3956:
4015:
1154:
4261:
3662:
3670:
3581:
1395:
91:
750:
4674:
476:
1349:
1107:
4352:
4105:
4047:
3613:
1555:
1316:
1211:
1184:
1074:
738:
4171:
4073:
3898:
3872:
3390:
3364:
1866:
4211:
4191:
4145:
4125:
3235:
3215:
1834:
2515:{\displaystyle \sum _{i=r}^{k+1}{i \choose r}=\left(\sum _{i=r}^{k}{i \choose r}\right)+{k+1 \choose r}={k+1 \choose r+1}+{k+1 \choose r}={k+2 \choose r+1}.}
688:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-r}{j+r \choose r}=\sum _{j=0}^{n-r}{j+r \choose j}={n+1 \choose n-r}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n\geq r.}
283:: when the addends represented in the summation and the sum itself are highlighted, the shape revealed is vaguely reminiscent of those objects (see
3402:
915:
4764:
1402:
1562:
4754:
1691:
4699:
4355:
3393:
2145:
4567:{\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-2}{k}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k}{k}}.}
4726:
2086:{\displaystyle \sum _{i=r}^{n}{i \choose r}=\sum _{i=r}^{r}{i \choose r}={r \choose r}=1={r+1 \choose r+1}={n+1 \choose r+1}.}
3238:
4759:
1218:
2102:
436:{\displaystyle \sum _{i=r}^{n}{i \choose r}={n+1 \choose r+1}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n\geq r}
4601:
4147:
people without numbers, meaning we must choose at least one person with a number in order to form a committee of
269:{\displaystyle {\binom {r}{r}}+{\binom {r+1}{r}}+{\binom {r+2}{r}}+\cdots +{\binom {n}{r}}={\binom {n+1}{r+1}}.}
3311:
3247:
4606:
1813:
4269:
3906:
3964:
3833:{\displaystyle {\binom {n'+1}{r+1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n'-i}{r}}=\sum _{i=r}^{n'}{\binom {i}{r}}.}
1112:
4216:
4591:
4586:
1682:
280:
4633:
1354:
64:
895:{\displaystyle X^{r}+X^{r+1}+\dots +X^{n}={\frac {X^{r}-X^{n+1}}{1-X}}={\frac {X^{n+1}-X^{r}}{x}}}
2531:
288:
3618:
1186:
in the left hand side of our first equation can be obtained by summing over the coefficients of
4705:
4695:
4668:
3543:
449:
4650:
1321:
1079:
4596:
907:
741:
4325:
4078:
4020:
3586:
1533:
1294:
1189:
1162:
1052:
711:
4736:
25:
Pascal's triangle, rows 0 through 7. The hockey stick identity confirms, for example: for
4150:
4052:
3877:
3851:
3369:
3343:
1845:
4196:
4176:
4130:
4110:
3220:
3200:
1819:
4748:
38:
4107:
exhaustive and disjoint cases based on the committee member with the lowest number,
284:
3530:{\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+k-2-i}{k-2}},}
4709:
300:
4731:
1039:{\displaystyle X^{r+k}=(1+x)^{r+k}=\sum _{i=0}^{r+k}{\binom {r+k}{i}}x^{i}}
4263:
are not on the committee. The rest of the committee can then be chosen in
4689:
1521:{\displaystyle {\binom {n+1}{r+1}}-{\binom {r}{r+1}}={\binom {n+1}{r+1}}}
21:
1667:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-r}{\binom {r+k}{r}}={\binom {n+1}{r+1}}}
4631:
Generalized Hockey Stick
Identities and N-Dimensional Block Walking.
279:
The name stems from the graphical representation of the identity on
20:
16:
Recurrence relations of binomial coefficients in Pascal's triangle
1797:{\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}
4694:(2nd ed.). Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. p. 45.
4075:
people. We can then divide our committee-forming process into
3340:
candies to the oldest child so that we are essentially giving
2236:{\displaystyle \sum _{i=r}^{k}{i \choose r}={k+1 \choose r+1}}
1318:
on the right hand side is given by the coefficient of
446:
or equivalently, the mirror-image by the substitution
4367:
4328:
4272:
4219:
4199:
4179:
4153:
4133:
4113:
4081:
4055:
4023:
3967:
3909:
3880:
3854:
3673:
3621:
3589:
3546:
3405:
3372:
3346:
3314:
3250:
3237:
distinguishable children. By a direct application of
3223:
3203:
2543:
2255:
2148:
2105:
1877:
1848:
1822:
1694:
1565:
1536:
1405:
1357:
1324:
1297:
1221:
1192:
1165:
1115:
1082:
1055:
918:
753:
714:
487:
452:
312:
102:
67:
1681:
The inductive and algebraic proofs both make use of
4566:
4346:
4311:
4255:
4205:
4185:
4165:
4139:
4119:
4099:
4067:
4041:
4009:
3950:
3892:
3866:
3832:
3656:
3607:
3575:
3529:
3384:
3358:
3332:
3308:ways to do this. Alternatively, we can first give
3297:
3229:
3209:
3176:
2514:
2235:
2131:
2085:
1860:
1828:
1796:
1666:
1549:
1520:
1389:
1343:
1310:
1282:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-r}{\binom {r+k}{r}}}
1281:
1205:
1178:
1148:
1101:
1068:
1038:
894:
732:
687:
470:
435:
268:
85:
4555:
4542:
4530:
4509:
4491:
4470:
4458:
4437:
4425:
4412:
4400:
4371:
4303:
4276:
3942:
3913:
3821:
3808:
3770:
3744:
3711:
3677:
3540:which simplifies to the desired result by taking
3518:
3477:
3444:
3409:
3289:
3254:
3161:
3132:
3095:
3074:
3060:
3031:
3012:
2991:
2958:
2933:
2873:
2852:
2819:
2788:
2739:
2718:
2706:
2677:
2635:
2622:
2587:
2574:
2534:argument to simplify the computation of the sum:
2503:
2474:
2462:
2441:
2429:
2400:
2388:
2367:
2350:
2337:
2299:
2286:
2227:
2198:
2186:
2173:
2074:
2045:
2033:
2004:
1986:
1973:
1961:
1948:
1915:
1902:
1785:
1764:
1752:
1723:
1711:
1698:
1658:
1629:
1617:
1596:
1512:
1483:
1471:
1450:
1438:
1409:
1273:
1252:
1140:
1119:
1020:
999:
640:
611:
599:
578:
539:
518:
391:
362:
350:
337:
257:
228:
216:
203:
185:
164:
152:
131:
119:
106:
2132:{\displaystyle k\in \mathbb {N} ,k\geqslant r}
1530:Therefore, we can compare the coefficients of
8:
4673:: CS1 maint: multiple names: authors list (
1291:Similarly, we find that the coefficient of
4322:ways. Now we can sum the values of these
1557:on each side of the equation to find that
4554:
4541:
4539:
4529:
4508:
4506:
4490:
4469:
4467:
4457:
4436:
4434:
4424:
4411:
4409:
4399:
4370:
4368:
4366:
4327:
4302:
4275:
4273:
4271:
4218:
4198:
4178:
4152:
4132:
4112:
4080:
4054:
4022:
3966:
3941:
3912:
3910:
3908:
3879:
3853:
3820:
3807:
3805:
3794:
3783:
3769:
3743:
3741:
3735:
3724:
3710:
3676:
3674:
3672:
3620:
3588:
3545:
3517:
3476:
3474:
3468:
3457:
3443:
3408:
3406:
3404:
3371:
3345:
3313:
3288:
3253:
3251:
3249:
3222:
3202:
3160:
3131:
3129:
3114:
3105:
3094:
3073:
3070:
3059:
3030:
3028:
3011:
2990:
2988:
2982:
2971:
2957:
2939:
2932:
2930:
2916:
2914:
2901:
2893:
2872:
2851:
2849:
2843:
2832:
2818:
2794:
2787:
2785:
2777:
2764:
2738:
2717:
2715:
2705:
2676:
2674:
2663:
2652:
2634:
2621:
2619:
2613:
2600:
2586:
2573:
2571:
2565:
2552:
2544:
2542:
2502:
2473:
2471:
2461:
2440:
2438:
2428:
2399:
2397:
2387:
2366:
2364:
2349:
2336:
2334:
2328:
2317:
2298:
2285:
2283:
2271:
2260:
2254:
2226:
2197:
2195:
2185:
2172:
2170:
2164:
2153:
2147:
2113:
2112:
2104:
2073:
2044:
2042:
2032:
2003:
2001:
1985:
1972:
1970:
1960:
1947:
1945:
1939:
1928:
1914:
1901:
1899:
1893:
1882:
1876:
1847:
1821:
1784:
1763:
1761:
1751:
1722:
1720:
1710:
1697:
1695:
1693:
1657:
1628:
1626:
1616:
1595:
1593:
1581:
1570:
1564:
1541:
1535:
1511:
1482:
1480:
1470:
1449:
1447:
1437:
1408:
1406:
1404:
1381:
1362:
1356:
1329:
1323:
1302:
1296:
1272:
1251:
1249:
1237:
1226:
1220:
1197:
1191:
1170:
1164:
1139:
1118:
1116:
1114:
1087:
1081:
1060:
1054:
1030:
1019:
998:
996:
984:
973:
954:
923:
917:
880:
861:
854:
825:
812:
805:
796:
771:
758:
752:
713:
665:
664:
647:
639:
610:
608:
598:
577:
575:
563:
552:
538:
517:
515:
503:
492:
486:
451:
416:
415:
398:
390:
361:
359:
349:
336:
334:
328:
317:
311:
256:
227:
225:
215:
202:
200:
184:
163:
161:
151:
130:
128:
118:
105:
103:
101:
66:
3392:kids and again, with stars and bars and
1049:Note that this means the coefficient of
4622:
3333:{\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}
740:. Then, by the partial sum formula for
4666:
3298:{\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}
7:
4609:, for sums of arbitrary polynomials.
4312:{\displaystyle {\binom {n-x+1}{k}}}
3951:{\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}
2938:
2915:
2900:
2793:
2778:
2771:
4546:
4513:
4474:
4441:
4416:
4375:
4280:
4010:{\displaystyle 1,2,3,\dots ,n-k+1}
3961:ways. Now we hand out the numbers
3917:
3812:
3748:
3681:
3481:
3413:
3258:
3136:
3078:
3035:
2995:
2937:
2856:
2792:
2722:
2681:
2626:
2607:
2578:
2559:
2478:
2445:
2404:
2371:
2341:
2290:
2202:
2177:
2049:
2008:
1977:
1952:
1906:
1768:
1727:
1702:
1633:
1600:
1487:
1454:
1413:
1256:
1123:
1003:
615:
582:
522:
366:
341:
232:
207:
168:
135:
110:
14:
3197:Imagine that we are distributing
1149:{\displaystyle {\binom {r+k}{r}}}
4256:{\displaystyle 1,2,3,\dots ,x-1}
4213:is on the committee and persons
3848:We can form a committee of size
1812:This identity can be proven by
672:
646:
423:
397:
1677:Inductive and algebraic proofs
951:
938:
456:
1:
4765:Factorial and binomial topics
4732:On StackExchange, Mathematics
3217:indistinguishable candies to
1390:{\displaystyle X^{n+1}-X^{r}}
86:{\displaystyle n\geq r\geq 0}
4651:"Christmas Stocking Theorem"
4173:people. In general, in case
1213:from each term, which gives
4127:. Note that there are only
47:Christmas stocking identity
4781:
4354:disjoint cases, and using
3657:{\displaystyle n'-n=k-2=r}
4755:Theorems in combinatorics
3239:the stars and bars method
1159:Thus, the coefficient of
704:Generating function proof
4740:on the Dyalog Chat Forum
4688:Merris, Russell (2003).
3576:{\displaystyle n'=n+k-2}
471:{\displaystyle j\to i-r}
1344:{\displaystyle x^{r+1}}
1102:{\displaystyle X^{r+k}}
4602:Vandermonde's identity
4568:
4348:
4313:
4257:
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4187:
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