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442:
227:
35:
751:
736:
647:
101:
837:
Wolf, A.; Swift, A.; Jack, B.; Swinney, H. L.; Vastano, J. A. (1985). "Determining
Lyapunov Exponents from a Time Series".
161:
781:
903:
856:
396:
363:
336:
Especially for chaotic systems, the Kaplan–Yorke conjecture is a useful tool in order to estimate the
913:
848:
789:
861:
908:
341:
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559:
839:
747:
337:
29:
539:{\displaystyle D=j+{\frac {\lambda _{1}}{|\lambda _{2}|}}=1+{\frac {0.603}{|{-2.34}|}}=1.26.}
866:
797:
761:
757:
852:
793:
732:
634:. The resulting Lyapunov exponents are {2.16, 0.00, −32.4}. Noting that
892:
870:
802:
776:
553:
878:
746:. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 730. Berlin: Springer. pp. 204–227.
349:
821:
314:{\displaystyle D=j+{\frac {\sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}}{|\lambda _{j+1}|}}.}
25:
21:
823:
Attractor
Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation
84:{\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{n}}
32:. By arranging the Lyapunov exponents in order from largest to smallest
744:
Functional
Differential Equations and the Approximation of Fixed Points
221:
Then the conjecture is that the dimension of the attractor is
775:
Frederickson, P.; Kaplan, J.; Yorke, E.; Yorke, J. (1983).
737:"Chaotic behavior of multidimensional difference equations"
705:{\displaystyle D=2+{\frac {2.16+0.00}{|-32.4|}}=2.07.}
145:{\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}\geqslant 0}
650:
614:
588:
562:
445:
399:
366:
230:
164:
104:
38:
360: = 0.3 has the ordered Lyapunov exponents
433: = 1 and the dimension formula reduces to
211:{\displaystyle \sum _{i=1}^{j+1}\lambda _{i}<0.}
704:
626:
600:
574:
538:
421:
385:
313:
210:
144:
83:
815:
813:
556:shows chaotic behavior at the parameter values
777:"The Lyapunov Dimension of Strange Attractors"
820:Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020).
8:
742:. In Peitgen, H. O.; Walther, H. O. (eds.).
324:This idea is used for the definition of the
860:
801:
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677:
663:
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422:{\displaystyle \lambda _{2}=-2.34}
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14:
344:of the corresponding attractor.
95:be the largest index for which
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678:
523:
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472:
301:
280:
1:
871:10.1016/0167-2789(85)90011-9
803:10.1016/0022-0396(83)90011-6
16:In applied mathematics, the
601:{\displaystyle \rho =45.92}
930:
627:{\displaystyle \beta =4.0}
575:{\displaystyle \sigma =16}
429:. In this case, we find
638: = 2, we find
18:Kaplan–Yorke conjecture
706:
628:
602:
576:
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624:
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572:
536:
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326:Lyapunov dimension
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30:Lyapunov exponents
904:Dynamical systems
826:. Cham: Springer.
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20:concerns the
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15:
914:Conjectures
909:Limit sets
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899:Dimension
857:CiteSeerX
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340:and the
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