2659:
956:
2935:
2352:
1977:
2104:
If the supremum of local
Lyapunov dimensions on the global attractor, which involves all equilibria, is achieved at an equilibrium point, then this allows one to get analytical formula of the exact Lyapunov dimension of the global attractor (see corresponding
1676:
2347:
36:. Further the concept has been developed and rigorously justified in a number of papers, and nowadays various different approaches to the definition of Lyapunov dimension are used. Remark that the attractors with noninteger Hausdorff dimension are called
1415:
2099:
1789:
161:
1219:
681:
2755:
1072:
44:
of the
Hausdorff dimension of attractors is often a problem of high numerical complexity, estimations via the Lyapunov dimension became widely spread. The Lyapunov dimension was named after the Russian mathematician
605:
2196:
1542:
2654:{\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}}
1851:
259:
1550:
2205:
1274:
397:
1846:
308:
500:
1985:
188:
1688:
2746:
2705:
503:
67:
1083:
441:
334:
1444:
951:{\displaystyle d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},}
3116:
Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Mokaev, T.N.; Prasad, A.; Shrimali, M.D. (2018). "Finite-time
Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system".
1468:
1266:
1239:
653:
633:
461:
1420:
In this approach the use of the analog of Kaplan–Yorke formula is rigorously justified by the Douady–Oesterlè theorem, which proves that for any fixed
3250:
Kuznetsov, N.; Alexeeva, T.; Leonov, G. (2016). "Invariance of
Lyapunov exponents and Lyapunov dimension for regular and irregular linearizations".
2715:
is a challenging task (see, e.g. discussions in). The exact limit values of finite-time
Lyapunov exponents, if they exist and are the same for all
2930:{\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}}
962:
509:
2128:
2941:. Examples of the rigorous use of the ergodic theory for the computation of the Lyapunov exponents and dimension can be found in.
1476:
262:
612:
2938:
2712:
1972:{\displaystyle \{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})}
672:
25:
1671:{\displaystyle \inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)}
193:
3420:
2342:{\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}}
671:, is convenient for the numerical experiments where only finite time can be observed. Consider an analog of the
1794:
The possibilities of changing the order of the time limit and the supremum over set is discussed, e.g., in.
1410:{\displaystyle \dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).}
2106:
339:
1812:
267:
466:
3371:
3328:
3216:
3079:
3027:
2985:
2094:{\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).}
668:
2961:
Kaplan J., Yorke J. (1979). "Functional
Differential Equations and Approximations of Fixed Points".
1784:{\displaystyle \dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).}
2118:
156:{\displaystyle {\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}}
29:
1214:{\displaystyle \{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}}
166:
3344:
3277:
3259:
3232:
3143:
3125:
3095:
3069:
2125:
the
Lyapunov dimension of attractor is estimated by limit value of the local Lyapunov dimension
1246:
50:
46:
41:
2718:
2668:
402:
3296:
17:
313:
3379:
3336:
3269:
3224:
3189:
3135:
3087:
3035:
2993:
2662:
1423:
62:
3060:
Kuznetsov, N.V. (2016). "The
Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method".
3362:
Benedicks, M.; Young, L.-S. (1993). "Sinai–Bowen–Ruelle measures for certain Henon maps".
1798:
608:
3375:
3332:
3220:
3180:
Constantin, P.; Foias, C.; Temam, R. (1985). "Attractors representing turbulent flows".
3083:
3031:
2989:
1453:
1251:
1224:
638:
618:
446:
3414:
3348:
3281:
3236:
3147:
3099:
3040:
3015:
3091:
3398:
3316:
3273:
3207:
Eden, A.; Foias, C.; Temam, R. (1991). "Local and global
Lyapunov exponents".
3139:
2122:
1797:
Note that the above defined
Lyapunov dimension is invariant under Lipschitz
667:
and related definition of the Lyapunov dimension, developed in the works by
37:
33:
3400:
Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation
3161:
Douady, A.; Oesterle, J. (1980). "Dimension de Hausdorff des attracteurs".
1067:{\displaystyle j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},}
3295:
P. Cvitanovic; R. Artuso; R. Mainieri; G. Tanner & G. Vattay (2017).
3193:
600:{\displaystyle \sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n}
3383:
3340:
3228:
2997:
3130:
3074:
3264:
2191:{\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})}
2976:
Ruelle D.; Takens F. (1971). "On the nature of turbulence".
3014:
Frederickson, F.; Kaplan, J.; Yorke, E.; Yorke, J. (1983).
3317:"Some relations between dimension and Lyapounov exponents"
2202:
trajectory, which belongs to the attractor. In this case
2113:
Definition via statistical physics approach and ergodicity
1537:{\displaystyle \dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).}
2963:
Chaotic behavior of multidimensional difference equations
1848:
at one of the equilibria have simple real eigenvalues:
3009:
3007:
2661:. From a practical point of view, the rigorous use of
2758:
2721:
2671:
2355:
2208:
2131:
1988:
1854:
1815:
1691:
1553:
1479:
1456:
1426:
1277:
1254:
1227:
1086:
965:
684:
641:
621:
512:
469:
449:
405:
342:
316:
270:
196:
169:
70:
3111:
3109:
3055:
3053:
3051:
443:, with continuously differentiable vector-function
3163:Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A
2929:
2740:
2699:
2653:
2341:
2190:
2093:
1971:
1840:
1783:
1670:
1536:
1462:
1438:
1409:
1260:
1233:
1213:
1066:
950:
647:
627:
599:
494:
455:
435:
391:
328:
302:
253:
182:
155:
1470:is an upper estimate of the Hausdorff dimension:
2133:
1714:
1604:
1555:
987:
3209:Journal of Dynamics and Differential Equations
3016:"The Liapunov dimension of strange attractors"
2956:
2954:
2665:, verification that the considered trajectory
254:{\displaystyle \varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})}
3397:Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2021).
659:Definition via finite-time Lyapunov dimension
148:
73:
8:
3182:Memoirs of the American Mathematical Society
2913:
2892:
2875:
2838:
2821:
2759:
2439:
2402:
2325:
2288:
2271:
2209:
2065:
2035:
1885:
1855:
1381:
1345:
1191:
1146:
1123:
1087:
1058:
990:
739:
703:
140:
134:
92:
78:
190:is the shift operator along the solutions:
2711:trajectory, and the use of corresponding
3263:
3129:
3073:
3039:
2921:
2916:
2906:
2897:
2896:
2883:
2878:
2865:
2852:
2843:
2842:
2829:
2824:
2811:
2792:
2783:
2782:
2766:
2757:
2726:
2720:
2688:
2670:
2643:
2634:
2610:
2599:
2590:
2589:
2583:
2572:
2554:
2543:
2534:
2533:
2514:
2501:
2492:
2491:
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2475:
2453:
2442:
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2407:
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2389:
2388:
2375:
2361:
2360:
2354:
2333:
2328:
2315:
2302:
2293:
2292:
2279:
2274:
2261:
2242:
2233:
2232:
2216:
2207:
2179:
2156:
2155:
2136:
2130:
2079:
2068:
2055:
2042:
2022:
2021:
2008:
1994:
1993:
1987:
1960:
1941:
1925:
1912:
1899:
1888:
1875:
1862:
1853:
1829:
1814:
1753:
1752:
1736:
1717:
1697:
1696:
1690:
1643:
1642:
1626:
1607:
1575:
1574:
1558:
1552:
1506:
1505:
1485:
1484:
1478:
1455:
1425:
1395:
1384:
1359:
1350:
1349:
1332:
1331:
1315:
1283:
1282:
1276:
1253:
1226:
1205:
1194:
1169:
1149:
1137:
1126:
1101:
1092:
1091:
1085:
1031:
1022:
1021:
1014:
1003:
964:
937:
895:
886:
885:
879:
841:
832:
831:
800:
791:
790:
786:
753:
742:
717:
708:
707:
690:
689:
683:
640:
620:
561:
545:
517:
511:
477:
468:
448:
404:
372:
343:
341:
315:
292:
272:
271:
269:
242:
214:
201:
195:
174:
168:
147:
146:
125:
121:
120:
95:
85:
72:
71:
69:
49:because of the close connection with the
675:for the finite-time Lyapunov exponents:
2950:
3321:Communications in Mathematical Physics
2978:Communications in Mathematical Physics
7:
1245:of dynamical system with respect to
1450:for a closed bounded invariant set
1077:with respect to the ordered set of
506:of linearized system and denote by
2901:
2898:
2847:
2844:
2787:
2784:
2776:
2594:
2591:
2538:
2535:
2496:
2493:
2411:
2408:
2393:
2390:
2362:
2297:
2294:
2237:
2234:
2226:
2157:
2146:
2026:
2023:
1995:
1754:
1727:
1698:
1644:
1617:
1576:
1547:Looking for best such estimation
1507:
1486:
1354:
1351:
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1333:
1284:
1096:
1093:
1026:
1023:
890:
887:
836:
833:
795:
792:
712:
709:
694:
691:
392:{\displaystyle {u}(t+1)=f({u}(t))}
14:
3020:Journal of Differential Equations
1841:{\displaystyle Df(u_{\text{eq}})}
303:{\displaystyle {\dot {u}}=f({u})}
615:, ordered by decreasing for any
495:{\displaystyle D\varphi ^{t}(u)}
504:fundamental matrix of solutions
3092:10.1016/j.physleta.2016.04.036
2871:
2858:
2817:
2798:
2770:
2694:
2675:
2644:
2640:
2627:
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2603:
2584:
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2267:
2248:
2220:
2185:
2166:
2140:
2085:
2061:
2048:
2032:
1966:
1953:
1931:
1918:
1881:
1868:
1835:
1822:
1775:
1763:
1721:
1665:
1653:
1611:
1597:
1585:
1528:
1516:
1448:finite-time Lyapunov dimension
1401:
1377:
1365:
1342:
1305:
1293:
1243:finite-time Lyapunov dimension
1187:
1175:
1119:
1107:
1079:finite-time Lyapunov exponents
1049:
1037:
981:
969:
938:
934:
922:
911:
899:
880:
874:
862:
857:
845:
818:
806:
780:
768:
759:
735:
723:
700:
665:finite-time Lyapunov dimension
576:
573:
567:
551:
535:
523:
489:
483:
386:
383:
377:
369:
360:
348:
297:
289:
248:
229:
220:
207:
143:
110:
1:
2965:. Springer. pp. 204–227.
3298:Chaos: Classical and Quantum
3041:10.1016/0022-0396(83)90011-6
183:{\displaystyle \varphi ^{t}}
2763:
2213:
1733:
1623:
1312:
336:, or difference equation
3437:
2741:{\displaystyle u_{0}\in U}
2700:{\displaystyle u(t,u_{0})}
2121:approach and assuming the
3274:10.1007/s11071-016-2678-4
3140:10.1007/s11071-018-4054-z
436:{\displaystyle t=0,1,...}
3364:Inventiones Mathematicae
2663:ergodic Oseledec theorem
1809:Let the Jacobian matrix
1805:Exact Lyapunov dimension
3315:Ledrappier, F. (1981).
3304:. Niels Bohr Institute.
1682:is defined as follows:
329:{\displaystyle t\leq 0}
2931:
2742:
2701:
2655:
2343:
2192:
2095:
1973:
1842:
1785:
1680:the Lyapunov dimension
1672:
1538:
1464:
1440:
1439:{\displaystyle t>0}
1411:
1268:is defined as follows
1262:
1235:
1215:
1068:
1019:
952:
649:
629:
613:algebraic multiplicity
611:with respect to their
601:
496:
457:
437:
393:
330:
304:
255:
184:
157:
16:In the mathematics of
2932:
2743:
2702:
2656:
2344:
2193:
2096:
1974:
1843:
1786:
1673:
1539:
1465:
1441:
1412:
1263:
1236:
1216:
1069:
999:
953:
650:
630:
602:
497:
458:
438:
394:
331:
305:
256:
185:
158:
42:numerical computation
3068:(25–26): 2142–2149.
2939:Kaplan–Yorke formula
2756:
2719:
2713:Kaplan–Yorke formula
2669:
2353:
2206:
2129:
1986:
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