3859:
2843:
3854:{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left\\\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{!}}{\Big &{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{aligned}}}
1824:
1325:
1819:{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9)\\&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Big \}}-\cdots ,\end{aligned}}}
710:
2733:
2179:
1246:
The
Weierstrassian form of Lamé's equation is quite unsuitable for calculation (as Arscott also remarks, p. 191). The most suitable form of the equation is that in Jacobian form, as above. The algebraic and trigonometric forms are also cumbersome to use. Lamé equations arise in quantum mechanics
2311:
914:
436:
2020:
2426:
1135:
2848:
2190:
2035:
1241:
1330:
260:
776:
161:
705:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}
1916:
3864:
In the limit of the
Mathieu equation (to which the Lamé equation can be reduced) these expressions reduce to the corresponding expressions of the Mathieu case (as shown by Müller).
341:
428:
2776:
2756:
2418:
281:
4148:
2367:
2805:
1829:(another (fifth) term not given here has been calculated by Müller, the first three terms have also been obtained by Ince). Observe terms are alternately even and odd in
1029:
2728:{\displaystyle q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{!}}\left.}
1003:
1297:
748:
1867:
1277:
977:
957:
2835:
1908:
192:
1847:
1317:
1034:
937:
768:
396:
365:
4212:
2306:{\displaystyle \operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}}}
2174:{\displaystyle (\operatorname {Ec} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{'}=0,\;\;(\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,}
4221:
3889:
1146:
367:
the elliptic modulus, in which case the solutions extend to meromorphic functions defined on the whole complex plane. For other values of
1878:
909:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\operatorname {sn} ^{4}x)y=0,}
201:
1874:
73:
32:
4195:
4177:
195:
2026:
1259:
Asymptotic expansions of periodic ellipsoidal wave functions, and therewith also of Lamé functions, for large values of
4190:
4172:
2015:{\displaystyle \operatorname {Ec} (2K)=\operatorname {Ec} (0)=0,\;\;\operatorname {Es} (2K)=\operatorname {Es} (0)=0,}
3936:
W. Müller, Harald J. (1966). "Asymptotic
Expansions of Ellipsoidal Wave Functions and their Characteristic Numbers".
4257:
3971:
Müller, Harald J. W. (1966). "Asymptotic
Expansions of Ellipsoidal Wave Functions in Terms of Hermite Functions".
3901:
Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H.J.W.; Tchrakian, D.H. (1992). "Solitons, bounces and sphalerons on a circle".
727:
288:
401:
44:
723:
263:
2761:
2741:
2372:
266:
1319:
approximately an odd integer (and to be determined more precisely by boundary conditions – see below),
52:
4185:
4167:
1248:
2319:
2781:
1008:
716:
982:
4217:
4207:
4102:
4094:
4058:
4023:
3988:
3953:
3918:
3885:
1282:
1251:, bounces or bubbles—of Schrödinger equations for various periodic and anharmonic potentials.
733:
1852:
1262:
962:
942:
4127:
4050:
4015:
3980:
3945:
3910:
2810:
1870:
1138:
48:
4231:
4123:
1279:
have been obtained by Müller. The asymptotic expansion obtained by him for the eigenvalues
4227:
4143:
4131:
4119:
1884:
1130:{\displaystyle \Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}}
177:
4139:
36:
4098:
4085:
4006:
Müller, Harald J. W. (1966). "On
Asymptotic Expansions of Ellipsoidal Wave Functions".
1832:
1302:
922:
753:
381:
350:
4251:
3914:
4041:
Ince, E. L. (1940). "VII—Further
Investigations into the Periodic Lamé Functions".
372:
4241:
Introduction to
Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed.
4144:"Sur les surfaces isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température"
55:. In some special cases solutions can be expressed in terms of polynomials called
4115:
4054:
4062:
4027:
4019:
3992:
3984:
3957:
3949:
3922:
4106:
3882:
Introduction to
Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral
4159:
4114:, Bateman Manuscript Project, vol. III, New York–Toronto–London:
1236:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+(\lambda -2h^{2}\cos 2z)y=0.}
4210:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
1247:
as equations of small fluctuations about classical solutions—called
939:
is the elliptic modulus of the
Jacobian elliptic functions and
1910:
is the quarter period given by a complete elliptic integral)
430:, Lamé's equation can also be rewritten in algebraic form as
255:{\displaystyle B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x}
715:
which after a change of variable becomes a special case of
4203:
156:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(A+B\wp (x))y=0,}
2846:
2813:
2784:
2764:
2744:
2429:
2375:
2322:
2193:
2184:
defining respectively the ellipsoidal wave functions
2038:
1919:
1887:
1855:
1835:
1328:
1305:
1285:
1265:
1149:
1037:
1011:
985:
965:
945:
925:
779:
756:
736:
439:
404:
384:
353:
291:
269:
204:
180:
76:
1881:). With the following boundary conditions (in which
3853:
2829:
2799:
2770:
2750:
2727:
2412:
2361:
2305:
2173:
2014:
1902:
1861:
1841:
1818:
1311:
1291:
1271:
1235:
1129:
1023:
997:
971:
951:
931:
908:
762:
742:
704:
422:
390:
359:
335:
275:
254:
186:
155:
3839:
3471:
1798:
1585:
4049:(1). Cambridge University Press (CUP): 83–99.
722:A more general form of Lamé's equation is the
4043:Proceedings of the Royal Society of Edinburgh
8:
4149:Journal de mathématiques pures et appliquées
3828:
3613:
3244:
3123:
2738:Here the upper sign refers to the solutions
1539:
1447:
1005:the equation becomes the Lamé equation with
43:). Lamé's equation appears in the method of
730:which can be written (observe we now write
2105:
2104:
1966:
1965:
1869:(as in the corresponding calculations for
3838:
3837:
3813:
3797:
3792:
3776:
3771:
3755:
3743:
3721:
3705:
3700:
3684:
3679:
3663:
3658:
3642:
3632:
3604:
3594:
3584:
3579:
3557:
3541:
3536:
3517:
3492:
3482:
3470:
3469:
3452:
3437:
3421:
3411:
3405:
3400:
3387:
3366:
3351:
3344:
3314:
3297:
3279:
3265:
3229:
3213:
3208:
3195:
3170:
3165:
3152:
3142:
3114:
3104:
3094:
3079:
3064:
3045:
3038:
3015:
2990:
2976:
2955:
2950:
2926:
2912:
2887:
2873:
2855:
2847:
2845:
2818:
2812:
2783:
2763:
2743:
2699:
2684:
2656:
2651:
2638:
2610:
2595:
2579:
2569:
2563:
2558:
2545:
2524:
2509:
2502:
2472:
2455:
2440:
2428:
2380:
2374:
2321:
2295:
2290:
2285:
2264:
2259:
2254:
2233:
2228:
2223:
2208:
2203:
2198:
2192:
2152:
2147:
2124:
2116:
2085:
2080:
2057:
2049:
2037:
1918:
1886:
1854:
1834:
1797:
1796:
1781:
1768:
1758:
1746:
1724:
1708:
1689:
1670:
1645:
1629:
1613:
1603:
1584:
1583:
1574:
1564:
1554:
1549:
1524:
1511:
1486:
1473:
1463:
1435:
1425:
1407:
1391:
1370:
1361:
1348:
1329:
1327:
1304:
1284:
1264:
1203:
1175:
1157:
1150:
1148:
1117:
1090:
1036:
1010:
984:
964:
944:
924:
879:
869:
859:
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830:
805:
787:
780:
778:
755:
735:
678:
656:
634:
601:
578:
564:
548:
536:
520:
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492:
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465:
447:
440:
438:
403:
383:
352:
327:
296:
290:
268:
240:
230:
203:
179:
102:
84:
77:
75:
378:By changing the independent variable to
4213:NIST Handbook of Mathematical Functions
3873:
336:{\displaystyle \kappa ^{2}=n(n+1)k^{2}}
423:{\displaystyle t=\operatorname {sn} x}
4239:Müller-Kirsten, Harald J. W. (2012),
7:
198:. The most important case is when
40:
2771:{\displaystyle \operatorname {Es} }
2751:{\displaystyle \operatorname {Ec} }
2413:{\displaystyle q_{0}=1,3,5,\ldots }
276:{\displaystyle \operatorname {sn} }
35:. It was introduced in the paper (
3884:, 2nd ed. World Scientific, 2012,
3269:
2980:
2937:
2932:
2929:
2877:
2852:
2785:
1755:
1333:
1286:
1077:
1038:
1012:
986:
966:
856:
820:
737:
208:
181:
126:
14:
1879:prolate spheroidal wave functions
1875:oblate spheroidal wave functions
4108:Higher transcendental functions
4082:Periodic Differential Equations
2758:and the lower to the solutions
4216:, Cambridge University Press,
3825:
3761:
3733:
3648:
3639:
3619:
3569:
3526:
3523:
3504:
3460:
3449:
3430:
3427:
3285:
3272:
3241:
3201:
3182:
3158:
3149:
3129:
3070:
3051:
3021:
3002:
2996:
2983:
2918:
2899:
2893:
2880:
2867:
2861:
2794:
2788:
2690:
2671:
2668:
2644:
2618:
2607:
2588:
2585:
2144:
2137:
2113:
2106:
2077:
2070:
2046:
2039:
2000:
1994:
1982:
1973:
1953:
1947:
1935:
1926:
1897:
1891:
1793:
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1736:
1698:
1695:
1676:
1657:
1619:
1610:
1590:
1536:
1517:
1498:
1479:
1470:
1450:
1419:
1400:
1397:
1378:
1342:
1336:
1221:
1187:
891:
817:
684:
665:
662:
643:
640:
621:
320:
308:
217:
211:
138:
135:
129:
114:
33:ordinary differential equation
1:
3909:(1–2). Elsevier BV: 105–110.
283:is the elliptic sine function
196:Weierstrass elliptic function
25:ellipsoidal harmonic function
3915:10.1016/0370-2693(92)90486-n
2362:{\displaystyle 4K,2K,2K,4K,}
1137:the equation reduces to the
16:Solutions of Lamé's equation
4191:Encyclopedia of Mathematics
4173:Encyclopedia of Mathematics
2800:{\displaystyle \Lambda (q)}
4274:
1024:{\displaystyle \Lambda =A}
4055:10.1017/s0370164600020071
4008:Mathematische Nachrichten
3973:Mathematische Nachrichten
3938:Mathematische Nachrichten
3880:H. J. W. Müller-Kirsten,
998:{\displaystyle \Omega =0}
728:ellipsoidal wave equation
4101:; Oberhettinger, Fritz;
4020:10.1002/mana.19660320305
3985:10.1002/mana.19660320106
3950:10.1002/mana.19660310108
1292:{\displaystyle \Lambda }
743:{\displaystyle \Lambda }
4184:Rozov, N. Kh. (2001) ,
4166:Rozov, N. Kh. (2001) ,
4118:, pp. XVII + 292,
4080:Arscott, F. M. (1964),
4014:(3–4). Wiley: 157–172.
1862:{\displaystyle \kappa }
1272:{\displaystyle \kappa }
972:{\displaystyle \Omega }
952:{\displaystyle \kappa }
45:separation of variables
3944:(1–2). Wiley: 89–101.
3855:
2831:
2830:{\displaystyle q_{0},}
2801:
2772:
2752:
2729:
2414:
2363:
2307:
2175:
2016:
1904:
1863:
1843:
1820:
1313:
1293:
1273:
1237:
1131:
1025:
999:
973:
953:
933:
910:
764:
744:
706:
424:
392:
361:
337:
277:
256:
188:
157:
4103:Tricomi, Francesco G.
3979:(1–2). Wiley: 49–62.
3856:
2832:
2802:
2773:
2753:
2730:
2415:
2364:
2308:
2176:
2017:
1905:
1864:
1844:
1821:
1314:
1294:
1274:
1255:Asymptotic expansions
1238:
1132:
1026:
1000:
974:
954:
934:
911:
765:
745:
707:
425:
393:
362:
338:
278:
257:
189:
158:
4202:Volkmer, H. (2010),
2844:
2811:
2782:
2778:. Finally expanding
2762:
2742:
2427:
2373:
2320:
2191:
2036:
2029:meaning derivative)
1917:
1903:{\displaystyle K(k)}
1885:
1853:
1833:
1326:
1303:
1283:
1263:
1147:
1035:
1009:
983:
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