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274:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right).}
701:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{\sqrt {q}}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{q}}\right)}
839:
463:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}\tau }={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi {\frac {n^{2}}{\tau }}}}
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Moore, Ben (2019-07-17). "A proof of the
Landsberg-Schaar relation by finite methods".
833:
31:
799:
783:
791:
757:
46:) is the following equation, which is valid for arbitrary positive integers
480:
A proof using only finite methods was discovered in 2018 by Ben Moore.
498:
The
Landsberg–Schaar identity can be rephrased more symmetrically as
819:
774:
758:"A proof of the Landsberg–Schaar relation by finite methods"
487: = 1, the identity reduces to a formula for the
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700:
462:
273:
321:(which is essentially just a special case of the
8:
317: > 0 in this identity due to
818:
773:
711:provided that we add the hypothesis that
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284:The standard way to prove it is to put
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731:Dym, H.; McKean, H. P. (1972).
840:Theorems in analytic number theory
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325:in classical harmonic analysis):
1:
733:Fourier Series and Integrals
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756:Moore, Ben (2020-12-01).
323:Poisson summation formula
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