2756:
2506:
2399:
3345:
2751:{\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.}
3146:
2248:
3535:
2061:
3157:
2475:
2942:
1183:
1014:
3010:
409:
2394:{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.}
3621:
1665:
3388:
1890:
251:
1792:
1935:
2186:
1286:
1077:
562:
512:
3340:{\displaystyle p_{-}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{-}/d\sigma )}}=-1,\;\;\;p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{i}/d\sigma )}}={\frac {dx_{i}}{d\sigma }}.}
766:
713:
1295:. Light cone coordinates are sometimes used to describe relativistic collisions, especially if the relative velocity is very close to the speed of light. They are also used in the
1927:
2122:
1855:
1551:
462:
1485:
2969:
1223:
908:
806:
299:
3002:
1395:
3380:
865:
147:
2410:
1598:
1428:
1325:
1698:
2240:
2213:
2091:
1368:
838:
657:
619:
592:
120:
93:
1511:
2795:
2787:
2498:
1815:
1571:
1345:
1082:
913:
32:
and also known as Dirac coordinates, are a special coordinate system where two coordinate axes combine both space and time, while all the others are spatial.
1291:
Light cone coordinates can also be generalized to curved spacetime in general relativity. Sometimes calculations simplify using light cone coordinates. See
3738:
3710:
3141:{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {dx_{-}}{d\sigma }}+{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\bigg )}^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}.}
1307:
A closed string is a generalization of a particle. The spatial coordinate of a point on the string is conveniently described by a parameter
307:
3530:{\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {x}}_{-}p_{-}+{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}p_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2},}
624:
One nice thing about light cone coordinates is that the causal structure is partially included into the coordinate system itself.
3546:
1606:
1860:
165:
3757:
3635:
2056:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.}
1292:
1706:
2131:
1228:
1019:
517:
467:
3733:
L. Susskind and J. Lindesay, Black Holes, Information and the String Theory
Revolution, World Scientific (2004),
718:
665:
1513:
dimensional field theory. Clearly, for such a theory more is required. It is convenient to employ instead of
1895:
49:
2096:
1820:
1516:
417:
3668:
1433:
53:
48:
to effect
Lorentz boosts. This number plane has axes corresponding to time and space. An alternative
41:
21:
2950:
1188:
873:
771:
260:
2974:
2470:{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),}
1373:
3353:
843:
125:
3734:
3716:
3706:
1576:
156:
1857:
and treat this degree of freedom as the time variable. A reparameterization invariance under
1400:
1310:
3676:
1673:
1296:
2937:{\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}d\sigma ,\;\;\;{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}{\bigg }.}
2218:
2191:
2069:
1350:
811:
630:
597:
570:
98:
71:
3696:
660:
1490:
1178:{\displaystyle x^{+}\to x^{+}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{-}}
1009:{\displaystyle x^{-}\to x^{-}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{+}}
3672:
2772:
2483:
2125:
1800:
1556:
1330:
45:
3751:
1397:. Associating each point on the string in a D-dimensional spacetime with coordinates
65:
3681:
3656:
29:
3720:
3700:
17:
68:
and all the other coordinates are spatial. The former can be denoted
404:{\displaystyle ds^{2}=-2dx^{+}dx^{-}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}
64:
In a light-cone coordinate system, two of the coordinates are
3605:
3602:
3599:
3596:
3593:
3590:
3468:
3394:
3261:
3182:
3016:
2956:
2829:
2810:
2734:
2525:
2420:
2303:
2258:
2138:
2103:
1942:
1902:
1817:
understood). There is some gauge freedom. First, we can set
3616:{\displaystyle x_{i}(\sigma )=p_{i}\sigma +{\it {const.}}.}
1660:{\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)}
2761:
This result agrees with a result cited in the literature.
1885:{\displaystyle \sigma \rightarrow \sigma +\delta \sigma }
152:
Assume we are working with a (d,1) Lorentzian signature.
2188:. Then with the use of the Euler-Lagrange equations for
246:{\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}
1079:. Another set of parabolic transformations show up as
40:
A spacetime plane may be associated with the plane of
3549:
3391:
3356:
3160:
3013:
2977:
2953:
2798:
2775:
2509:
2486:
2413:
2251:
2221:
2194:
2134:
2099:
2093:
is not an independent degree of freedom anymore. Now
2072:
1938:
1898:
1863:
1823:
1803:
1709:
1676:
1609:
1579:
1559:
1519:
1493:
1436:
1403:
1376:
1353:
1333:
1313:
1231:
1191:
1085:
1022:
916:
876:
846:
814:
774:
721:
668:
633:
600:
573:
520:
470:
420:
310:
263:
168:
128:
101:
74:
3615:
3540:and the nonrelativistic Hamilton equations imply:
3529:
3374:
3339:
3140:
2996:
2963:
2936:
2781:
2750:
2492:
2469:
2393:
2234:
2207:
2180:
2116:
2085:
2055:
1921:
1884:
1849:
1809:
1786:
1692:
1659:
1592:
1565:
1545:
1505:
1479:
1422:
1389:
1362:
1339:
1319:
1280:
1217:
1177:
1071:
1008:
902:
859:
832:
800:
760:
707:
651:
613:
586:
556:
506:
456:
403:
293:
245:
141:
114:
87:
3104:
3069:
2926:
2852:
2383:
2289:
1787:{\displaystyle ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}}
1487:, these coordinates play the role of fields in a
1370:. Time is appropriately described by a parameter
155:Instead of the standard coordinate system (using
2181:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}(x_{-},x_{i})}
1281:{\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{-}}
1072:{\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{+}}
2765:Free particle motion in light-cone coordinates
557:{\displaystyle x^{-}={\frac {t-x}{\sqrt {2}}}}
507:{\displaystyle x^{+}={\frac {t+x}{\sqrt {2}}}}
56:which corresponds to light-cone coordinates.
8:
60:Light-cone coordinates in special relativity
3626:One can now extend this to a free string.
3239:
3238:
3237:
2826:
2825:
2824:
3680:
3589:
3588:
3576:
3554:
3548:
3518:
3504:
3495:
3490:
3476:
3467:
3466:
3457:
3447:
3436:
3435:
3425:
3415:
3404:
3403:
3393:
3392:
3390:
3355:
3317:
3307:
3287:
3281:
3260:
3259:
3253:
3244:
3208:
3202:
3181:
3180:
3174:
3165:
3159:
3124:
3118:
3109:
3103:
3102:
3084:
3074:
3068:
3067:
3057:
3037:
3027:
3015:
3014:
3012:
2988:
2976:
2955:
2954:
2952:
2925:
2924:
2918:
2894:
2884:
2867:
2857:
2851:
2850:
2840:
2828:
2827:
2809:
2808:
2797:
2774:
2739:
2733:
2732:
2711:
2701:
2681:
2671:
2662:
2647:
2637:
2614:
2604:
2584:
2574:
2557:
2551:
2530:
2524:
2523:
2516:
2508:
2485:
2434:
2425:
2419:
2418:
2412:
2382:
2381:
2375:
2359:
2335:
2329:
2308:
2302:
2301:
2294:
2288:
2287:
2272:
2263:
2257:
2256:
2250:
2226:
2220:
2199:
2193:
2169:
2156:
2143:
2137:
2136:
2133:
2108:
2102:
2101:
2098:
2077:
2071:
2038:
2023:
2013:
1996:
1986:
1966:
1956:
1947:
1941:
1940:
1937:
1907:
1901:
1900:
1897:
1862:
1841:
1828:
1822:
1802:
1778:
1768:
1749:
1736:
1717:
1708:
1684:
1675:
1642:
1623:
1614:
1608:
1584:
1578:
1558:
1537:
1524:
1518:
1492:
1441:
1435:
1408:
1402:
1381:
1375:
1352:
1332:
1312:
1272:
1262:
1249:
1236:
1230:
1209:
1196:
1190:
1169:
1154:
1148:
1139:
1129:
1116:
1103:
1090:
1084:
1063:
1053:
1040:
1027:
1021:
1000:
985:
979:
970:
960:
947:
934:
921:
915:
894:
881:
875:
870:The parabolic transformations show up as
851:
845:
813:
792:
779:
773:
761:{\displaystyle x^{-}\to e^{-\beta }x^{-}}
752:
739:
726:
720:
708:{\displaystyle x^{+}\to e^{+\beta }x^{+}}
699:
686:
673:
667:
632:
605:
599:
578:
572:
534:
525:
519:
484:
475:
469:
419:
395:
382:
366:
353:
340:
318:
309:
262:
237:
224:
208:
195:
176:
167:
133:
127:
106:
100:
79:
73:
3705:. New York: Cambridge University Press.
3647:
3357:
2124:can be identified as the corresponding
1303:Light-cone coordinates in string theory
44:which is acted upon by elements of the
1929:which we obtain from the metric, i.e.
7:
1922:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=0}
3268:
3256:
3189:
3177:
2562:
2544:
2538:
2519:
2500:is the Noether charge, we obtain:
2440:
2436:
2340:
2322:
2316:
2297:
2278:
2274:
2117:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}
14:
1892:can be imposed with a constraint
1850:{\displaystyle x_{+}=\sigma _{0}}
1546:{\displaystyle x_{0}=\sigma _{0}}
3657:"Forms of Relativistic Dynamics"
457:{\displaystyle i,j=1,\dots ,d-1}
3702:A first course in string theory
3655:Dirac, P. A. M. (1 July 1949).
1480:{\displaystyle x_{i},i=2,...,D}
621:can act as "time" coordinates.
3566:
3560:
3298:
3271:
3219:
3192:
2964:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
2568:
2541:
2461:
2449:
2346:
2319:
2175:
2149:
1867:
1775:
1758:
1654:
1635:
1242:
1218:{\displaystyle x^{-}\to x^{-}}
1202:
1096:
1033:
927:
903:{\displaystyle x^{+}\to x^{+}}
887:
827:
815:
801:{\displaystyle x^{i}\to x^{i}}
785:
732:
679:
646:
634:
294:{\displaystyle i,j=1,\dots ,d}
1:
2997:{\displaystyle \sigma =x_{+}}
2769:For a free particle of mass
1430:and transverse coordinates
1390:{\displaystyle \sigma _{0}}
3774:
3375:{\displaystyle \hbar =c=1}
3151:The canonical momenta are
2947:In light-cone coordinates
860:{\displaystyle x_{\perp }}
142:{\displaystyle x_{\perp }}
3682:10.1103/RevModPhys.21.392
3661:Reviews of Modern Physics
1573:, light-cone coordinates
3636:Newman–Penrose formalism
1593:{\displaystyle x_{\pm }}
1293:Newman–Penrose formalism
1423:{\displaystyle x_{0},x}
1320:{\displaystyle \sigma }
3617:
3531:
3376:
3341:
3142:
2998:
2965:
2938:
2783:
2752:
2494:
2471:
2395:
2236:
2209:
2182:
2118:
2087:
2057:
1923:
1886:
1851:
1811:
1788:
1694:
1693:{\displaystyle ds^{2}}
1661:
1594:
1567:
1547:
1507:
1481:
1424:
1391:
1364:
1341:
1321:
1282:
1219:
1179:
1073:
1010:
904:
861:
834:
802:
762:
709:
659:plane shows up as the
653:
615:
588:
558:
508:
458:
405:
295:
247:
143:
116:
89:
26:light-cone coordinates
3618:
3532:
3377:
3342:
3143:
2999:
2966:
2939:
2784:
2753:
2495:
2472:
2396:
2237:
2235:{\displaystyle x_{-}}
2210:
2208:{\displaystyle x_{i}}
2183:
2119:
2088:
2086:{\displaystyle x_{-}}
2058:
1924:
1887:
1852:
1812:
1789:
1695:
1662:
1595:
1568:
1548:
1508:
1482:
1425:
1392:
1365:
1363:{\displaystyle 2\pi }
1342:
1322:
1283:
1220:
1180:
1074:
1011:
905:
862:
835:
833:{\displaystyle (i,j)}
803:
763:
710:
654:
652:{\displaystyle (t,x)}
616:
614:{\displaystyle x^{-}}
589:
587:{\displaystyle x^{+}}
559:
509:
459:
406:
296:
248:
144:
117:
115:{\displaystyle x^{-}}
90:
88:{\displaystyle x^{+}}
42:split-complex numbers
3758:Theory of relativity
3547:
3389:
3354:
3350:The Hamiltonian is (
3158:
3011:
2975:
2951:
2796:
2773:
2507:
2484:
2411:
2249:
2219:
2192:
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