585:
961:
306:
793:
2395:
1070:
1303:
1725:
1164:
311:
1769:
1584:
1350:
2138:
1420:
2388:
832:
1682:
1963:
1520:
1474:
2035:
1633:
1392:
1218:
580:{\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}
209:
175:
75:
1861:
2170:
2381:
1903:
1795:
262:
2196:
2061:
2087:
239:
1835:
1863:, which is by definition convex. However, being logarithmically convex is a strictly stronger property than being convex. For example, the squaring function
2585:
2485:
2577:
2337:
684:
2590:
2287:
2222:
2610:
2304:
1690:
133:
1730:
1525:
2299:
2595:
2625:
2205:
596:
is strictly logarithmically convex if and only if, in the above two expressions, strict inequality holds for all
2615:
2600:
2442:
999:
956:{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}
1311:
2094:
1397:
2685:
2662:
2556:
2480:
2294:
1229:
1638:
2837:
2803:
2764:
2680:
2605:
2532:
2517:
2470:
1096:
35:
1908:
1479:
1433:
2537:
2241:
Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
2208:, this property can be used to characterize Euler's gamma function among the possible extensions of the
1976:
1592:
2821:
1355:
1169:
2542:
2408:
1810:
78:
186:
152:
52:
2475:
2465:
2460:
1814:
2204:
is strictly logarithmically convex when restricted to the positive real numbers. In fact, by the
1840:
2704:
2422:
2143:
1866:
2522:
2343:
2333:
2313:
2283:
1774:
244:
2175:
2040:
2675:
2620:
2511:
2506:
2325:
2066:
218:
2373:
1820:
2695:
2666:
2640:
2635:
2630:
2561:
2546:
2455:
2427:
2404:
2321:
90:
1081:
is strictly logarithmically convex. However, the converse is false: It is possible that
972:
is strictly logarithmically convex if and only if these inequalities are always strict.
2782:
2690:
2551:
2450:
2201:
17:
2831:
2749:
2741:
2737:
2733:
2729:
2725:
2566:
2787:
981:
is twice differentiable, then it is logarithmically convex if and only if, for all
115:
112:
2777:
2772:
2656:
2357:
31:
660:
is logarithmically convex if and only if the following condition holds for all
2817:
2700:
2670:
2432:
108:
2347:
2209:
82:
2816:
This article incorporates material from logarithmically convex function on
2329:
2709:
1965:
is not. Therefore the squaring function is not logarithmically convex.
2490:
2360:(1928), "Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques",
788:{\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}
2318:
Convex
Functions and their Applications - A Contemporary Approach
2377:
1635:
is any family of logarithmically convex functions, then
27:
Function whose composition with the logarithm is convex
1087:
is strictly logarithmically convex and that, for some
2178:
2146:
2097:
2069:
2043:
1979:
1911:
1869:
1843:
1823:
1777:
1733:
1693:
1641:
1595:
1528:
1482:
1436:
1400:
1358:
1314:
1232:
1172:
1099:
1002:
835:
687:
309:
247:
221:
189:
155:
55:
1720:{\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }
644:
is a differentiable function defined on an interval
2796:
2763:
2718:
2649:
2575:
2499:
2441:
2415:
1771:is logarithmically convex and non-decreasing, then
798:This is equivalent to the condition that, whenever
618:is logarithmically convex and vanishes anywhere in
2190:
2164:
2132:
2081:
2055:
2029:
1957:
1897:
1855:
1829:
1789:
1764:{\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}
1763:
1719:
1676:
1627:
1578:
1514:
1468:
1414:
1386:
1344:
1297:
1212:
1158:
1064:
955:
787:
579:
273:is logarithmically convex if and only if, for all
256:
233:
203:
169:
69:
1579:{\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}
624:, then it vanishes everywhere in the interior of
2822:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
2262:
1649:
300:, the two following equivalent conditions hold:
2389:
8:
2362:Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
1610:
1596:
2396:
2382:
2374:
2282:, second edition. Springer-Verlag, 1995.
2177:
2145:
2122:
2113:
2096:
2068:
2063:and strictly logarithmically convex when
2042:
2018:
2013:
2004:
1978:
1950:
1942:
1910:
1889:
1868:
1842:
1822:
1776:
1752:
1747:
1732:
1712:
1692:
1668:
1652:
1640:
1613:
1603:
1594:
1568:
1563:
1558:
1543:
1538:
1533:
1527:
1506:
1487:
1481:
1460:
1441:
1435:
1408:
1407:
1399:
1363:
1357:
1352:is logarithmically convex if and only if
1313:
1289:
1231:
1201:
1171:
1150:
1098:
1075:If the inequality is always strict, then
1065:{\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}
1053:
1001:
909:
877:
841:
834:
730:
686:
558:
548:
532:
522:
496:
468:
439:
396:
361:
333:
310:
308:
246:
220:
190:
188:
156:
154:
56:
54:
1345:{\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}
1226:is strictly logarithmically convex, but
2486:Locally convex topological vector space
2234:
2133:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}
1415:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
2250:
2140:is strictly logarithmically convex on
1298:{\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}
1809:is a convex function since it is the
1677:{\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}
7:
1522:are non-negative real numbers, then
1159:{\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}
2280:Functions of One Complex Variable I
1958:{\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}
1515:{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
1476:are logarithmically convex, and if
1469:{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}
2156:
2030:{\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}
1805:A logarithmically convex function
1628:{\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}
1336:
251:
25:
2223:Logarithmically concave function
1748:
1713:
1387:{\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}
1213:{\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}
2591:Ekeland's variational principle
2037:is logarithmically convex when
181:Strictly logarithmically convex
2820:, which is licensed under the
2159:
2147:
2107:
2101:
2024:
2014:
2005:
2001:
1989:
1983:
1951:
1943:
1927:
1921:
1879:
1873:
1743:
1703:
1381:
1375:
1339:
1327:
1324:
1286:
1279:
1259:
1253:
1247:
1241:
1207:
1194:
1182:
1176:
1147:
1140:
1126:
1120:
1114:
1108:
1050:
1043:
1029:
1023:
1017:
1011:
940:
934:
926:
920:
867:
861:
853:
847:
779:
767:
761:
755:
747:
741:
724:
718:
703:
697:
555:
541:
529:
515:
502:
489:
477:
458:
445:
432:
420:
408:
402:
389:
367:
354:
342:
323:
204:{\displaystyle {\log }\circ f}
170:{\displaystyle {\log }\circ f}
70:{\displaystyle {\log }\circ f}
1:
1905:is convex, but its logarithm
606:The above definition permits
1856:{\displaystyle \log \circ f}
2611:HermiteâHadamard inequality
2300:Encyclopedia of Mathematics
2212:function to real arguments.
2165:{\displaystyle (0,\infty )}
1797:is logarithmically convex.
1684:is logarithmically convex.
1586:is logarithmically convex.
2854:
1898:{\displaystyle f(x)=x^{2}}
2797:Applications and related
2601:Fenchel-Young inequality
2295:"Convexity, logarithmic"
1790:{\displaystyle g\circ f}
257:{\displaystyle -\infty }
2557:Legendre transformation
2481:Legendre transformation
2312:Niculescu, Constantin;
2191:{\displaystyle p>0.}
2056:{\displaystyle p\geq 1}
2804:Convexity in economics
2738:(lower) ideally convex
2596:FenchelâMoreau theorem
2586:Carathéodory's theorem
2192:
2166:
2134:
2083:
2082:{\displaystyle p>1}
2057:
2031:
1959:
1899:
1857:
1831:
1791:
1765:
1721:
1678:
1629:
1580:
1516:
1470:
1416:
1388:
1346:
1299:
1214:
1160:
1066:
957:
789:
581:
258:
235:
234:{\displaystyle \log 0}
205:
171:
147:Logarithmically convex
71:
43:logarithmically convex
18:Logarithmically convex
2726:Convex series related
2626:ShapleyâFolkman lemma
2330:10.1007/0-387-31077-0
2263:NiculescuPersson 2006
2206:BohrâMollerup theorem
2193:
2167:
2135:
2084:
2058:
2032:
1960:
1900:
1858:
1832:
1830:{\displaystyle \exp }
1792:
1766:
1722:
1679:
1630:
1581:
1517:
1471:
1426:Sufficient conditions
1417:
1389:
1347:
1300:
1215:
1161:
1067:
958:
790:
634:Equivalent conditions
582:
259:
236:
206:
172:
132:be a function taking
72:
2616:KreinâMilman theorem
2409:variational analysis
2176:
2144:
2095:
2067:
2041:
1977:
1909:
1867:
1841:
1821:
1775:
1731:
1691:
1639:
1593:
1526:
1480:
1434:
1398:
1356:
1312:
1230:
1170:
1097:
1000:
833:
685:
307:
245:
219:
187:
153:
53:
2606:Jensen's inequality
2476:Lagrange multiplier
2466:Convex optimization
2461:Convex metric space
1575:
1550:
1166:. For example, if
612:to be zero, but if
211:is strictly convex.
2734:(cs, bcs)-complete
2705:Algebraic interior
2423:Convex combination
2314:Persson, Lars-Erik
2188:
2162:
2130:
2079:
2053:
2027:
1955:
1895:
1853:
1827:
1787:
1761:
1717:
1674:
1663:
1625:
1576:
1554:
1529:
1512:
1466:
1412:
1394:is convex for all
1384:
1342:
1295:
1210:
1156:
1062:
953:
785:
577:
575:
254:
231:
215:Here we interpret
201:
167:
67:
2812:
2811:
2339:978-0-387-24300-9
2128:
1837:and the function
1648:
944:
893:
871:
765:
16:(Redirected from
2845:
2730:(cs, lcs)-closed
2676:Effective domain
2631:RobinsonâUrsescu
2507:Convex conjugate
2398:
2391:
2384:
2375:
2369:
2350:
2320:(1st ed.),
2308:
2278:John B. Conway.
2266:
2260:
2254:
2248:
2242:
2239:
2197:
2195:
2194:
2189:
2171:
2169:
2168:
2163:
2139:
2137:
2136:
2131:
2129:
2127:
2126:
2114:
2088:
2086:
2085:
2080:
2062:
2060:
2059:
2054:
2036:
2034:
2033:
2028:
2023:
2022:
2017:
2008:
1964:
1962:
1961:
1956:
1954:
1946:
1904:
1902:
1901:
1896:
1894:
1893:
1862:
1860:
1859:
1854:
1836:
1834:
1833:
1828:
1817:convex function
1796:
1794:
1793:
1788:
1770:
1768:
1767:
1762:
1760:
1759:
1751:
1726:
1724:
1723:
1718:
1716:
1683:
1681:
1680:
1675:
1673:
1672:
1662:
1634:
1632:
1631:
1626:
1624:
1623:
1608:
1607:
1585:
1583:
1582:
1577:
1574:
1573:
1572:
1562:
1549:
1548:
1547:
1537:
1521:
1519:
1518:
1513:
1511:
1510:
1492:
1491:
1475:
1473:
1472:
1467:
1465:
1464:
1446:
1445:
1421:
1419:
1418:
1413:
1411:
1393:
1391:
1390:
1385:
1371:
1370:
1351:
1349:
1348:
1343:
1304:
1302:
1301:
1296:
1294:
1293:
1278:
1240:
1225:
1219:
1217:
1216:
1211:
1206:
1205:
1165:
1163:
1162:
1157:
1155:
1154:
1139:
1107:
1092:
1086:
1080:
1071:
1069:
1068:
1063:
1058:
1057:
1042:
1010:
992:
986:
980:
971:
962:
960:
959:
954:
949:
945:
943:
929:
919:
910:
895:
894:
892:
878:
876:
872:
870:
856:
842:
825:
815:
809:
803:
794:
792:
791:
786:
766:
764:
750:
740:
731:
677:
671:
665:
659:
653:
643:
629:
623:
617:
611:
602:
595:
586:
584:
583:
578:
576:
569:
568:
553:
552:
537:
536:
527:
526:
501:
500:
473:
472:
444:
443:
401:
400:
366:
365:
338:
337:
299:
292:
272:
263:
261:
260:
255:
240:
238:
237:
232:
210:
208:
207:
202:
194:
176:
174:
173:
168:
160:
141:
131:
106:
76:
74:
73:
68:
60:
21:
2853:
2852:
2848:
2847:
2846:
2844:
2843:
2842:
2828:
2827:
2813:
2808:
2792:
2759:
2714:
2645:
2571:
2562:Semi-continuity
2547:Convex function
2528:Logarithmically
2495:
2456:Convex geometry
2437:
2428:Convex function
2411:
2405:Convex analysis
2402:
2356:
2340:
2311:
2293:
2275:
2270:
2269:
2261:
2257:
2249:
2245:
2240:
2236:
2231:
2219:
2174:
2173:
2142:
2141:
2118:
2093:
2092:
2065:
2064:
2039:
2038:
2012:
1975:
1974:
1971:
1907:
1906:
1885:
1865:
1864:
1839:
1838:
1819:
1818:
1803:
1773:
1772:
1746:
1729:
1728:
1689:
1688:
1664:
1637:
1636:
1609:
1599:
1591:
1590:
1564:
1539:
1524:
1523:
1502:
1483:
1478:
1477:
1456:
1437:
1432:
1431:
1428:
1396:
1395:
1359:
1354:
1353:
1310:
1309:
1285:
1271:
1233:
1228:
1227:
1221:
1197:
1168:
1167:
1146:
1132:
1100:
1095:
1094:
1088:
1082:
1076:
1049:
1035:
1003:
998:
997:
988:
982:
976:
967:
930:
912:
911:
905:
882:
857:
843:
837:
836:
831:
830:
817:
811:
805:
799:
751:
733:
732:
683:
682:
673:
667:
661:
655:
645:
639:
636:
625:
619:
613:
607:
597:
591:
574:
573:
554:
544:
528:
518:
505:
492:
464:
452:
451:
435:
392:
370:
357:
329:
305:
304:
294:
287:
280:
274:
268:
243:
242:
217:
216:
185:
184:
151:
150:
137:
119:
102:
99:
91:convex function
51:
50:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
2851:
2849:
2841:
2840:
2830:
2829:
2810:
2809:
2807:
2806:
2800:
2798:
2794:
2793:
2791:
2790:
2785:
2783:Strong duality
2780:
2775:
2769:
2767:
2761:
2760:
2758:
2757:
2722:
2720:
2716:
2715:
2713:
2712:
2707:
2698:
2693:
2691:John ellipsoid
2688:
2683:
2678:
2673:
2659:
2653:
2651:
2647:
2646:
2644:
2643:
2638:
2633:
2628:
2623:
2618:
2613:
2608:
2603:
2598:
2593:
2588:
2582:
2580:
2578:results (list)
2573:
2572:
2570:
2569:
2564:
2559:
2554:
2552:Invex function
2549:
2540:
2535:
2530:
2525:
2520:
2514:
2509:
2503:
2501:
2497:
2496:
2494:
2493:
2488:
2483:
2478:
2473:
2468:
2463:
2458:
2453:
2451:Choquet theory
2447:
2445:
2439:
2438:
2436:
2435:
2430:
2425:
2419:
2417:
2416:Basic concepts
2413:
2412:
2403:
2401:
2400:
2393:
2386:
2378:
2372:
2371:
2353:
2352:
2338:
2309:
2291:
2274:
2271:
2268:
2267:
2255:
2243:
2233:
2232:
2230:
2227:
2226:
2225:
2218:
2215:
2214:
2213:
2202:gamma function
2198:
2187:
2184:
2181:
2161:
2158:
2155:
2152:
2149:
2125:
2121:
2117:
2112:
2109:
2106:
2103:
2100:
2090:
2078:
2075:
2072:
2052:
2049:
2046:
2026:
2021:
2016:
2011:
2007:
2003:
2000:
1997:
1994:
1991:
1988:
1985:
1982:
1970:
1967:
1953:
1949:
1945:
1941:
1938:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1920:
1917:
1914:
1892:
1888:
1884:
1881:
1878:
1875:
1872:
1852:
1849:
1846:
1826:
1802:
1799:
1786:
1783:
1780:
1758:
1755:
1750:
1745:
1742:
1739:
1736:
1727:is convex and
1715:
1711:
1708:
1705:
1702:
1699:
1696:
1671:
1667:
1661:
1658:
1655:
1651:
1647:
1644:
1622:
1619:
1616:
1612:
1606:
1602:
1598:
1571:
1567:
1561:
1557:
1553:
1546:
1542:
1536:
1532:
1509:
1505:
1501:
1498:
1495:
1490:
1486:
1463:
1459:
1455:
1452:
1449:
1444:
1440:
1427:
1424:
1410:
1406:
1403:
1383:
1380:
1377:
1374:
1369:
1366:
1362:
1341:
1338:
1335:
1332:
1329:
1326:
1323:
1320:
1317:
1292:
1288:
1284:
1281:
1277:
1274:
1270:
1267:
1264:
1261:
1258:
1255:
1252:
1249:
1246:
1243:
1239:
1236:
1209:
1204:
1200:
1196:
1193:
1190:
1187:
1184:
1181:
1178:
1175:
1153:
1149:
1145:
1142:
1138:
1135:
1131:
1128:
1125:
1122:
1119:
1116:
1113:
1110:
1106:
1103:
1073:
1072:
1061:
1056:
1052:
1048:
1045:
1041:
1038:
1034:
1031:
1028:
1025:
1022:
1019:
1016:
1013:
1009:
1006:
964:
963:
952:
948:
942:
939:
936:
933:
928:
925:
922:
918:
915:
908:
904:
901:
898:
891:
888:
885:
881:
875:
869:
866:
863:
860:
855:
852:
849:
846:
840:
796:
795:
784:
781:
778:
775:
772:
769:
763:
760:
757:
754:
749:
746:
743:
739:
736:
729:
726:
723:
720:
717:
714:
711:
708:
705:
702:
699:
696:
693:
690:
635:
632:
588:
587:
572:
567:
564:
561:
557:
551:
547:
543:
540:
535:
531:
525:
521:
517:
514:
511:
508:
506:
504:
499:
495:
491:
488:
485:
482:
479:
476:
471:
467:
463:
460:
457:
454:
453:
450:
447:
442:
438:
434:
431:
428:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
404:
399:
395:
391:
388:
385:
382:
379:
376:
373:
371:
369:
364:
360:
356:
353:
350:
347:
344:
341:
336:
332:
328:
325:
322:
319:
316:
313:
312:
285:
278:
253:
250:
230:
227:
224:
213:
212:
200:
197:
193:
178:
177:is convex, and
166:
163:
159:
136:values. Then
98:
95:
89:, is itself a
66:
63:
59:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2850:
2839:
2838:Real analysis
2836:
2835:
2833:
2826:
2825:
2823:
2819:
2805:
2802:
2801:
2799:
2795:
2789:
2786:
2784:
2781:
2779:
2776:
2774:
2771:
2770:
2768:
2766:
2762:
2755:
2753:
2747:
2745:
2739:
2735:
2731:
2727:
2724:
2723:
2721:
2717:
2711:
2708:
2706:
2702:
2699:
2697:
2694:
2692:
2689:
2687:
2684:
2682:
2679:
2677:
2674:
2672:
2668:
2664:
2660:
2658:
2655:
2654:
2652:
2648:
2642:
2639:
2637:
2634:
2632:
2629:
2627:
2624:
2622:
2621:Mazur's lemma
2619:
2617:
2614:
2612:
2609:
2607:
2604:
2602:
2599:
2597:
2594:
2592:
2589:
2587:
2584:
2583:
2581:
2579:
2574:
2568:
2567:Subderivative
2565:
2563:
2560:
2558:
2555:
2553:
2550:
2548:
2544:
2541:
2539:
2536:
2534:
2531:
2529:
2526:
2524:
2521:
2519:
2515:
2513:
2510:
2508:
2505:
2504:
2502:
2498:
2492:
2489:
2487:
2484:
2482:
2479:
2477:
2474:
2472:
2469:
2467:
2464:
2462:
2459:
2457:
2454:
2452:
2449:
2448:
2446:
2444:
2443:Topics (list)
2440:
2434:
2431:
2429:
2426:
2424:
2421:
2420:
2418:
2414:
2410:
2406:
2399:
2394:
2392:
2387:
2385:
2380:
2379:
2376:
2367:
2364:(in French),
2363:
2359:
2355:
2354:
2349:
2345:
2341:
2335:
2331:
2327:
2323:
2319:
2315:
2310:
2306:
2302:
2301:
2296:
2292:
2289:
2288:0-387-90328-3
2285:
2281:
2277:
2276:
2272:
2265:, p. 70.
2264:
2259:
2256:
2252:
2247:
2244:
2238:
2235:
2228:
2224:
2221:
2220:
2216:
2211:
2207:
2203:
2199:
2185:
2182:
2179:
2153:
2150:
2123:
2119:
2115:
2110:
2104:
2098:
2091:
2076:
2073:
2070:
2050:
2047:
2044:
2019:
2009:
1998:
1995:
1992:
1986:
1980:
1973:
1972:
1968:
1966:
1947:
1939:
1936:
1933:
1930:
1924:
1918:
1915:
1912:
1890:
1886:
1882:
1876:
1870:
1850:
1847:
1844:
1824:
1816:
1812:
1808:
1800:
1798:
1784:
1781:
1778:
1756:
1753:
1740:
1737:
1734:
1709:
1706:
1700:
1697:
1694:
1685:
1669:
1665:
1659:
1656:
1653:
1645:
1642:
1620:
1617:
1614:
1604:
1600:
1587:
1569:
1565:
1559:
1555:
1551:
1544:
1540:
1534:
1530:
1507:
1503:
1499:
1496:
1493:
1488:
1484:
1461:
1457:
1453:
1450:
1447:
1442:
1438:
1425:
1423:
1404:
1401:
1378:
1372:
1367:
1364:
1360:
1333:
1330:
1321:
1318:
1315:
1308:Furthermore,
1306:
1290:
1282:
1275:
1272:
1268:
1265:
1262:
1256:
1250:
1244:
1237:
1234:
1224:
1202:
1198:
1191:
1188:
1185:
1179:
1173:
1151:
1143:
1136:
1133:
1129:
1123:
1117:
1111:
1104:
1101:
1091:
1085:
1079:
1059:
1054:
1046:
1039:
1036:
1032:
1026:
1020:
1014:
1007:
1004:
996:
995:
994:
991:
985:
979:
973:
970:
950:
946:
937:
931:
923:
916:
913:
906:
902:
899:
896:
889:
886:
883:
879:
873:
864:
858:
850:
844:
838:
829:
828:
827:
824:
820:
814:
808:
802:
782:
776:
773:
770:
758:
752:
744:
737:
734:
727:
721:
715:
712:
709:
706:
700:
694:
691:
688:
681:
680:
679:
676:
670:
664:
658:
652:
648:
642:
633:
631:
628:
622:
616:
610:
604:
600:
594:
570:
565:
562:
559:
549:
545:
538:
533:
523:
519:
512:
509:
507:
497:
493:
486:
483:
480:
474:
469:
465:
461:
455:
448:
440:
436:
429:
426:
423:
417:
414:
411:
405:
397:
393:
386:
383:
380:
377:
374:
372:
362:
358:
351:
348:
345:
339:
334:
330:
326:
320:
317:
314:
303:
302:
301:
297:
291:
284:
277:
271:
265:
248:
228:
225:
222:
198:
195:
191:
182:
179:
164:
161:
157:
148:
145:
144:
143:
140:
135:
130:
126:
122:
117:
114:
110:
109:convex subset
105:
96:
94:
92:
88:
84:
80:
64:
61:
57:
48:
44:
40:
37:
33:
19:
2815:
2814:
2788:Weak duality
2751:
2743:
2663:Orthogonally
2527:
2365:
2361:
2358:Montel, Paul
2317:
2298:
2279:
2258:
2246:
2237:
1806:
1804:
1686:
1588:
1429:
1307:
1222:
1089:
1083:
1077:
1074:
989:
983:
977:
974:
968:
965:
822:
818:
812:
806:
800:
797:
674:
668:
662:
656:
650:
646:
640:
637:
626:
620:
614:
608:
605:
598:
592:
589:
295:
289:
282:
275:
269:
267:Explicitly,
266:
214:
180:
146:
138:
134:non-negative
128:
124:
120:
116:vector space
103:
100:
86:
46:
42:
38:
29:
2778:Duality gap
2773:Dual system
2657:Convex hull
2251:Montel 1928
590:Similarly,
79:composition
47:superconvex
32:mathematics
2818:PlanetMath
2701:Radial set
2671:Convex set
2433:Convex set
2273:References
1815:increasing
1801:Properties
1093:, we have
966:Moreover,
118:, and let
97:Definition
2686:Hypograph
2348:1613-5237
2305:EMS Press
2210:factorial
2157:∞
2048:≥
1999:
1940:
1916:
1848:∘
1811:composite
1782:∘
1754:≥
1744:→
1738::
1710:⊆
1704:→
1698::
1657:∈
1618:∈
1552:⋯
1497:…
1451:…
1405:∈
1402:α
1365:α
1337:∞
1325:→
1319::
1192:
1033:≥
903:
897:≥
887:−
774:−
713:
707:≥
692:
563:−
510:≤
484:−
427:
415:−
384:
375:≤
349:−
318:
252:∞
249:−
226:
196:∘
162:∘
83:logarithm
62:∘
2832:Category
2710:Zonotope
2681:Epigraph
2322:Springer
2316:(2006),
2217:See also
2200:Euler's
2172:for all
1969:Examples
1276:′
1238:″
1137:′
1105:″
1040:′
1008:″
917:′
738:′
601:â (0, 1)
293:and all
123: :
36:function
2765:Duality
2667:Pseudo-
2641:Ursescu
2538:Pseudo-
2512:Concave
2491:Simplex
2471:Duality
2368:: 29â60
2307:, 2001
1813:of the
1220:, then
810:are in
654:, then
81:of the
2748:, and
2719:Series
2636:Simons
2543:Quasi-
2533:Proper
2518:Closed
2346:
2336:
2286:
77:, the
2576:Main
2229:Notes
821:>
111:of a
107:be a
85:with
2696:Lens
2650:Sets
2500:Maps
2407:and
2344:ISSN
2334:ISBN
2284:ISBN
2183:>
2074:>
816:and
804:and
666:and
142:is:
113:real
101:Let
34:, a
2750:(Hw
2326:doi
1996:exp
1937:log
1913:log
1845:log
1825:exp
1687:If
1650:sup
1589:If
1430:If
1189:exp
987:in
975:If
900:exp
710:log
689:log
672:in
638:If
424:log
381:log
315:log
241:as
223:log
192:log
183:if
158:log
149:if
58:log
49:if
45:or
41:is
30:In
2834::
2742:(H
2740:,
2736:,
2732:,
2669:)
2665:,
2545:)
2523:K-
2342:,
2332:,
2324:,
2303:,
2297:,
2186:0.
1422:.
1305:.
993:,
826:,
678::
649:â
630:.
603:.
298:â
288:â
281:,
264:.
127:â
93:.
2824:.
2756:)
2754:)
2752:x
2746:)
2744:x
2728:(
2703:/
2661:(
2516:(
2397:e
2390:t
2383:v
2370:.
2366:7
2351:.
2328::
2290:.
2253:.
2180:p
2160:)
2154:,
2151:0
2148:(
2124:p
2120:x
2116:1
2111:=
2108:)
2105:x
2102:(
2099:f
2089:.
2077:1
2071:p
2051:1
2045:p
2025:)
2020:p
2015:|
2010:x
2006:|
2002:(
1993:=
1990:)
1987:x
1984:(
1981:f
1952:|
1948:x
1944:|
1934:2
1931:=
1928:)
1925:x
1922:(
1919:f
1891:2
1887:x
1883:=
1880:)
1877:x
1874:(
1871:f
1851:f
1807:f
1785:f
1779:g
1757:0
1749:R
1741:I
1735:g
1714:R
1707:I
1701:X
1695:f
1670:i
1666:f
1660:I
1654:i
1646:=
1643:g
1621:I
1615:i
1611:}
1605:i
1601:f
1597:{
1570:n
1566:w
1560:n
1556:f
1545:1
1541:w
1535:1
1531:f
1508:n
1504:w
1500:,
1494:,
1489:1
1485:w
1462:n
1458:f
1454:,
1448:,
1443:1
1439:f
1409:R
1382:)
1379:x
1376:(
1373:f
1368:x
1361:e
1340:)
1334:,
1331:0
1328:(
1322:I
1316:f
1291:2
1287:)
1283:0
1280:(
1273:f
1269:=
1266:0
1263:=
1260:)
1257:0
1254:(
1251:f
1248:)
1245:0
1242:(
1235:f
1223:f
1208:)
1203:4
1199:x
1195:(
1186:=
1183:)
1180:x
1177:(
1174:f
1152:2
1148:)
1144:x
1141:(
1134:f
1130:=
1127:)
1124:x
1121:(
1118:f
1115:)
1112:x
1109:(
1102:f
1090:x
1084:f
1078:f
1060:.
1055:2
1051:)
1047:x
1044:(
1037:f
1030:)
1027:x
1024:(
1021:f
1018:)
1015:x
1012:(
1005:f
990:I
984:x
978:f
969:f
951:.
947:)
941:)
938:y
935:(
932:f
927:)
924:y
921:(
914:f
907:(
890:y
884:x
880:1
874:)
868:)
865:y
862:(
859:f
854:)
851:x
848:(
845:f
839:(
823:y
819:x
813:I
807:y
801:x
783:.
780:)
777:y
771:x
768:(
762:)
759:y
756:(
753:f
748:)
745:y
742:(
735:f
728:+
725:)
722:y
719:(
716:f
704:)
701:x
698:(
695:f
675:I
669:y
663:x
657:f
651:R
647:I
641:f
627:X
621:X
615:f
609:f
599:t
593:f
571:.
566:t
560:1
556:)
550:2
546:x
542:(
539:f
534:t
530:)
524:1
520:x
516:(
513:f
503:)
498:2
494:x
490:)
487:t
481:1
478:(
475:+
470:1
466:x
462:t
459:(
456:f
449:,
446:)
441:2
437:x
433:(
430:f
421:)
418:t
412:1
409:(
406:+
403:)
398:1
394:x
390:(
387:f
378:t
368:)
363:2
359:x
355:)
352:t
346:1
343:(
340:+
335:1
331:x
327:t
324:(
321:f
296:t
290:X
286:2
283:x
279:1
276:x
270:f
229:0
199:f
165:f
139:f
129:R
125:X
121:f
104:X
87:f
65:f
39:f
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.