85:
1098:
734:
1093:{\displaystyle {\begin{array}{l}(\forall L\subseteq \Sigma ^{*})\\\quad ({\mbox{context free}}(L)\Rightarrow \\\quad ((\exists p\geq 1)((\forall s\in L)((|s|\geq p)\Rightarrow \\\quad ((\exists u,v,w,x,y\in \Sigma ^{*})(s=uvwxy\land |vx|\geq 1\land |vwx|\leq p\land (\forall n\geq 0)(uv^{n}wx^{n}y\in L)))))))\end{array}}}
2722:
While the pumping lemma is often a useful tool to prove that a given language is not context-free, it does not give a complete characterization of the context-free languages. If a language does not satisfy the condition given by the pumping lemma, we have established that it is not context-free. On
2894:
2717:
1745:
2729:
1107:
The pumping lemma for context-free languages (called just "the pumping lemma" for the rest of this article) describes a property that all context-free languages are guaranteed to have.
3223:
1606:
2001:
1661:
697:
1814:
2633:
2357:
2200:
2586:
2514:
253:
2073:
1949:
642:
1907:
597:
2438:
2397:
2280:
2240:
2123:
449:
2540:
2464:
2306:
2149:
2027:
1860:
1256:
723:
534:
490:
349:
1305:
279:
207:
1279:
1551:
1531:
1505:
1485:
1465:
1445:
1425:
1405:
1385:
1365:
1345:
1325:
1218:
1195:
1175:
1148:
1128:
554:
413:
389:
369:
323:
299:
181:
161:
137:
106:
3543:
3216:
3430:
3209:
3038:
3004:
3355:
3445:
50:
2723:
the other hand, there are languages that are not context-free, but still satisfy the condition given by the pumping lemma, for example
3370:
3191:
3111:
3538:
3523:
3399:
3159:
3030:
3416:
3341:
3513:
57:
2889:{\displaystyle L=\{b^{j}c^{k}d^{l}|j,k,l\in \mathbb {N} \}\cup \{a^{i}b^{j}c^{j}d^{j}|i,j\in \mathbb {N} ,i\geq 1\}}
3409:
2649:
1677:
3585:
3334:
3486:
3481:
84:
3567:
Any language in each category is generated by a grammar and by an automaton in the category in the same line.
3198:
Section 1.4: Nonregular
Languages, pp. 77–83. Section 2.3: Non-context-free Languages, pp. 115–119.
1583:
3497:
3435:
3360:
1748:
1609:
24:
1407:
produces a string that is still in the language. It is often useful to repeat zero times, which removes
3440:
3388:
3201:
1954:
1615:
650:
46:
1766:
3533:
3508:
3365:
3326:
2591:
117:
2313:
2156:
3127:
2991:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 73. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 270–283.
2545:
2473:
212:
113:
42:
36:
2981:
Kreowski, Hans-Jörg (1979). "A pumping lemma for context-free graph languages". In Claus, Volker;
3518:
3460:
3404:
2036:
1912:
605:
1873:
563:
2404:
2370:
2246:
2213:
2089:
418:
3253:
3187:
3165:
3155:
3107:
3034:
3000:
2079:
can contain no more than two distinct symbols. That is, we have one of five possibilities for
73:
2519:
2443:
2285:
2128:
2006:
1827:
1223:
702:
501:
457:
328:
3502:
3455:
3422:
3268:
3079:
3044:
2992:
69:
20:
3021:
3590:
3465:
3380:
3347:
3263:
3236:
3232:
3048:
1510:
109:
64:
context-free. Conversely, the pumping lemma does not suffice to guarantee that a language
2986:
1284:
258:
186:
1261:
3476:
3258:
3240:
3177:
1536:
1516:
1490:
1470:
1450:
1430:
1410:
1390:
1370:
1350:
1330:
1310:
1203:
1180:
1160:
1133:
1113:
539:
398:
374:
354:
308:
284:
166:
146:
122:
91:
3084:
1513:(which are regular and hence context-free) obey the pumping lemma trivially by having
1110:
The property is a property of all strings in the language that are of length at least
3579:
3561:
3181:
3101:
2982:
1668:
392:
29:
1553:
plus one. As there are no strings of this length the pumping lemma is not violated.
3131:
1664:
3528:
3450:
3375:
3020:
Berstel, Jean; Lauve, Aaron; Reutenauer, Christophe; Saliola, Franco V. (2009).
3064:
3135:
3169:
496:
140:
3152:
Language and
Information: Selected Essays on their Theory and Application
3140:
Zeitschrift für
Phonetik, Sprachwissenschaft, und Kommunikationsforschung
739:
2996:
3154:. Addison-Wesley series in logic. Addison-Wesley. pp. 116–150.
3138:(1961). "On formal properties of simple phrase-structure grammars".
2988:
Graph-Grammars and Their
Application to Computer Science and Biology
1747:
can be shown to be non-context-free by using the pumping lemma in a
3491:
3023:
Combinatorics on words. Christoffel words and repetitions in words
3053:(Also see [www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/ Aaron Berstel's website)
3205:
1755:
is context free. By the pumping lemma, there exists an integer
1561:
The pumping lemma is often used to prove that a given language
1565:
is non-context-free, by showing that arbitrarily long strings
3560:
Each category of languages, except those marked by a , is a
2719:
is not context-free using a precursor of the pumping lemma.
68:
context-free; there are other necessary conditions, such as
3103:
Introduction to
Automata Theory, Languages, and Computation
3065:"Note on the Boolean Properties of Context Free Languages"
1573:
that cannot be "pumped" without producing strings outside
3029:. CRM Monograph Series. Vol. 27. Providence, RI:
2516:
does not contain equal numbers of each letter for any
776:
2732:
2652:
2594:
2548:
2522:
2476:
2446:
2407:
2373:
2316:
2288:
2249:
2216:
2159:
2131:
2092:
2039:
2009:
1957:
1915:
1876:
1830:
1769:
1680:
1618:
1586:
1539:
1519:
1493:
1473:
1453:
1433:
1413:
1393:
1373:
1353:
1333:
1313:
1287:
1264:
1226:
1206:
1183:
1163:
1136:
1116:
737:
705:
653:
608:
566:
542:
504:
460:
421:
401:
377:
357:
331:
311:
287:
261:
215:
189:
169:
149:
125:
94:
729:Below is a formal expression of the Pumping Lemma.
351:(called a "pumping length") such that every string
2888:
2711:
2627:
2580:
2534:
2508:
2458:
2432:
2391:
2351:
2300:
2274:
2234:
2194:
2143:
2117:
2067:
2021:
1995:
1943:
1901:
1854:
1808:
1739:
1655:
1600:
1545:
1525:
1499:
1479:
1459:
1439:
1419:
1399:
1379:
1359:
1339:
1319:
1299:
1273:
1250:
1212:
1189:
1169:
1142:
1122:
1092:
717:
691:
636:
591:
548:
528:
484:
443:
407:
383:
363:
343:
317:
293:
273:
247:
201:
175:
155:
131:
100:
2960:s; in both cases all pumped strings are still in
1663:is not context-free. In particular, neither the
325:is context-free, then there exists some integer
1608:is infinite but does not contain an (infinite)
1447:from the string. This process of "pumping up"
3217:
1154:—that varies between context-free languages.
56:The pumping lemma can be used to construct a
8:
3100:John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman (1979).
2883:
2806:
2800:
2739:
2712:{\displaystyle L=\{a^{n}b^{n}a^{n}|n>0\}}
2706:
2659:
1740:{\displaystyle L=\{a^{n}b^{n}c^{n}|n>0\}}
1734:
1687:
1650:
1625:
3539:Counter-free (with aperiodic finite monoid)
3249:
3224:
3210:
3202:
2470:For each case, it is easily verified that
1507:is what gives the pumping lemma its name.
3183:Introduction to the Theory of Computation
3083:
2867:
2866:
2849:
2843:
2833:
2823:
2813:
2796:
2795:
2772:
2766:
2756:
2746:
2731:
2692:
2686:
2676:
2666:
2651:
2639:. Therefore, our initial assumption that
2619:
2609:
2599:
2593:
2569:
2556:
2547:
2521:
2497:
2484:
2475:
2445:
2424:
2406:
2372:
2343:
2333:
2315:
2287:
2266:
2248:
2215:
2186:
2176:
2158:
2130:
2109:
2091:
2054:
2040:
2038:
2008:
1978:
1965:
1956:
1930:
1916:
1914:
1888:
1877:
1875:
1829:
1800:
1790:
1780:
1768:
1720:
1714:
1704:
1694:
1679:
1632:
1617:
1594:
1593:
1585:
1538:
1518:
1492:
1472:
1452:
1432:
1412:
1392:
1372:
1352:
1332:
1312:
1286:
1263:
1225:
1205:
1182:
1162:
1135:
1115:
1050:
1037:
995:
981:
967:
956:
920:
855:
847:
775:
758:
738:
736:
704:
674:
661:
652:
623:
609:
607:
578:
567:
565:
541:
503:
459:
430:
422:
420:
400:
376:
356:
330:
310:
286:
260:
236:
223:
214:
188:
168:
148:
124:
93:
3090:Here: Lemma 3, and its use on p.374-375.
1759:which is the pumping length of language
83:
2973:
2075:, it is easily seen that the substring
3431:Linear context-free rewriting language
1533:equal to the maximum string length in
3356:Linear context-free rewriting systems
2635:. This contradicts the definition of
1601:{\displaystyle S\subset \mathbb {N} }
7:
45:that gives a property shared by all
1220:can be split into five substrings,
51:pumping lemma for regular languages
3564:of the category directly above it.
1996:{\displaystyle uv^{i}wx^{i}y\in L}
1820:. The pumping lemma tells us that
1656:{\displaystyle L=\{a^{n}:n\in S\}}
1103:Informal statement and explanation
1012:
917:
883:
826:
805:
755:
745:
692:{\displaystyle uv^{n}wx^{n}y\in L}
255:(lower left and right picture for
14:
1809:{\displaystyle s=a^{p}b^{p}c^{p}}
2646:In 1960, Scheinberg proved that
2643:is context free must be false.
2628:{\displaystyle a^{i}b^{i}c^{i}}
1281:is non-empty and the length of
1177:is a string of length at least
876:
798:
771:
2985:; Rozenberg, Grzegorz (eds.).
2850:
2773:
2693:
2352:{\displaystyle vwx=b^{j}c^{k}}
2195:{\displaystyle vwx=a^{j}b^{k}}
2055:
2041:
1931:
1917:
1889:
1878:
1721:
1200:The pumping lemma states that
1083:
1080:
1077:
1074:
1071:
1068:
1065:
1027:
1024:
1009:
996:
982:
968:
957:
929:
926:
880:
877:
869:
866:
856:
848:
844:
841:
838:
823:
820:
817:
802:
799:
791:
788:
782:
772:
764:
742:
624:
610:
579:
568:
431:
423:
1:
3085:10.1016/s0019-9958(60)90965-7
3031:American Mathematical Society
2581:{\displaystyle uv^{2}wx^{2}y}
2509:{\displaystyle uv^{i}wx^{i}y}
248:{\displaystyle uv^{n}wx^{n}y}
60:that a specific language is
3063:Stephen Scheinberg (1960).
2068:{\displaystyle |vwx|\leq p}
1944:{\displaystyle |vwx|\leq p}
1824:can be written in the form
637:{\displaystyle |vwx|\leq p}
415:or more symbols (i.e. with
143:(upper picture). Repeating
58:refutation by contradiction
3607:
3446:Deterministic context-free
3371:Deterministic context-free
1902:{\displaystyle |vx|\geq 1}
1870:are substrings, such that
1674:For example, the language
1467:with additional copies of
1367:the same number of times (
592:{\displaystyle |vx|\geq 1}
163:times the derivation part
116:grammar must contain some
108:is sufficiently long, its
32:for context-free languages
3557:
3519:Nondeterministic pushdown
3247:
2433:{\displaystyle vwx=c^{j}}
2392:{\displaystyle j+k\leq p}
2275:{\displaystyle vwx=b^{j}}
2235:{\displaystyle j+k\leq p}
2118:{\displaystyle vwx=a^{j}}
1197:that is in the language.
1150:is a constant—called the
444:{\displaystyle |s|\geq p}
209:obtains a derivation for
3072:Information and Control
2588:does not have the form
2535:{\displaystyle i\neq 1}
2459:{\displaystyle j\leq p}
2301:{\displaystyle j\leq p}
2144:{\displaystyle j\leq p}
2022:{\displaystyle i\geq 0}
1855:{\displaystyle s=uvwxy}
1251:{\displaystyle s=uvwxy}
718:{\displaystyle n\geq 0}
529:{\displaystyle u,v,w,x}
485:{\displaystyle s=uvwxy}
344:{\displaystyle p\geq 1}
3524:Deterministic pushdown
3400:Recursively enumerable
3150:Y. Bar-Hillel (1964).
3148:— Reprinted in:
2890:
2713:
2629:
2582:
2536:
2510:
2460:
2434:
2393:
2353:
2302:
2276:
2236:
2196:
2145:
2119:
2069:
2023:
1997:
1945:
1903:
1856:
1810:
1763:. Consider the string
1749:proof by contradiction
1741:
1657:
1610:arithmetic progression
1602:
1547:
1527:
1501:
1481:
1461:
1441:
1421:
1401:
1381:
1361:
1341:
1327:, such that repeating
1321:
1301:
1275:
1252:
1214:
1191:
1171:
1144:
1124:
1094:
719:
693:
638:
593:
550:
530:
486:
445:
409:
385:
365:
345:
319:
302:
295:
275:
249:
203:
177:
157:
133:
102:
47:context-free languages
25:formal language theory
3118:Here: sect.6.1, p.129
2891:
2714:
2630:
2583:
2537:
2511:
2461:
2435:
2394:
2354:
2303:
2277:
2237:
2197:
2146:
2120:
2070:
2024:
1998:
1946:
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1857:
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