913:
536:
3046:
908:{\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\sum _{k=i}^{r}{\binom {k}{i}}p_{k},&b&=\max _{i=0,\dots ,r}(\deg(q_{i})-i),\\\alpha (n)&=\sum _{i=0,\dots ,r \atop \deg(q_{i})-i=b}{\text{lc}}(q_{i})n^{\underline {i}},&d_{\alpha }&=\max\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha (n)=0\}\cup \{-\infty \}\end{aligned}}}
2870:
2865:
1793:
1421:
1880:
3041:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&1&1\\2&0&2\\-2&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
1147:
2448:
1571:
1028:
2875:
541:
1658:
1960:
239:
2650:
2655:
2181:
2032:
2589:
103:
3120:
390:
2067:
307:
2261:
459:
344:
500:
1662:
531:
2508:
3168:
2470:
2105:
1486:
1225:
1054:
951:
144:
3189:
Abramov, Sergei A. (1989). "Problems in computer algebra that are connected with a search for polynomial solutions of linear differential and difference equations".
422:
2291:
2210:
1267:
2317:
1445:
1245:
1203:
1167:
263:
1797:
1227:
is made and plugged into the recurrence equation. Then the different powers are compared and a system of linear equations for the coefficients of
2339:
3330:
3282:
1059:
116:
solutions of a linear recurrence equation with polynomial coefficients also use algorithms which compute polynomial solutions.
1493:
1031:
956:
3255:
Abramov, Sergei A.; Bronstein, Manuel; Petkovšek, Marko (1995). "On polynomial solutions of linear operator equations".
1578:
53:
In 1995 Abramov, Bronstein and Petkovšek showed that the polynomial case can be solved more efficiently by considering
1884:
153:
3306:
113:
2594:
47:
2110:
1964:
2513:
60:
3260:
3051:
349:
109:
2037:
268:
2860:{\displaystyle 2n=(n^{2}-2)\,y(n)+(-n^{2}+2n)\,y(n+1)=(y_{1}+y_{2})\,n^{2}+(2y_{0}+2y_{2})\,n-2y_{0}.}
1788:{\textstyle \alpha (n)=\sum _{i=0,\dots ,r \atop \deg(q_{i})-i=b}{\text{lc}}(q_{i})n^{\underline {i}}}
3359:
242:
18:
2215:
3265:
427:
312:
147:
54:
464:
3288:
3257:
Proceedings of the 1995 international symposium on
Symbolic and algebraic computation - ISSAC '95
505:
27:
2475:
38:
solutions of those recurrence equations with polynomial coefficients. The algorithm computes a
3336:
3326:
3278:
3234:
3125:
2453:
2072:
1453:
1208:
1037:
918:
127:
3270:
3224:
1416:{\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n),p_{k},f\in \mathbb {K} ,p_{0},p_{r}\neq 0}
57:
solution of the recurrence equation in a specific power basis (i.e. not the ordinary basis
35:
395:
2269:
46:
for a polynomial of this degree is used and the unknown coefficients are computed by a
2186:
3353:
3229:
3212:
3292:
1875:{\textstyle d_{\alpha }=\max\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha (n)=0\}\cup \{-\infty \}}
2302:
1430:
1230:
1188:
1152:
248:
1251:. The algorithm returns the general polynomial solution of a recurrence equation.
3320:
3238:
3213:"Hypergeometric solutions of linear recurrences with polynomial coefficients"
3340:
31:
3274:
2652:. Plugging this ansatz into the original recurrence equation leads to
43:
2336:
Applying the formula for the degree bound on the recurrence equation
533:
denotes the leading coefficient of the polynomial. Moreover let
3319:
Petkovšek, Marko; Wilf, Herbert S.; Zeilberger, Doron (1996).
3307:
Solutions of difference equations with polynomial coefficients
2867:
This is equivalent to the following system of linear equations
1149:. This is called a degree bound for the polynomial solution
3191:
Moscow
University Computational Mathematics and Cybernetics
1142:{\textstyle \deg(y)\leq \max\{\deg(f)-b,-b-1,d_{\alpha }\}}
2510:. Hence one can use an ansatz with a quadratic polynomial
1177:
The algorithm consists of two steps. In a first step the
2443:{\displaystyle (n^{2}-2)\,y(n)+(-n^{2}+2n)\,y(n+1)=2n,}
3128:
3054:
3006:
2949:
2883:
2597:
2516:
2478:
2456:
2305:
2272:
2218:
2189:
2113:
2075:
2040:
1967:
1887:
1800:
1665:
1581:
1566:{\textstyle q_{i}=\sum _{k=i}^{r}{\binom {k}{i}}p_{k}}
1496:
1456:
1433:
1270:
1233:
1211:
1191:
1155:
1062:
1040:
959:
921:
508:
467:
430:
398:
315:
271:
251:
156:
130:
63:
42:
for the solution in a first step. In a second step an
2873:
2658:
2342:
539:
352:
1023:{\textstyle n^{\underline {i}}=n(n-1)\cdots (n-i+1)}
3309:. Diploma Thesis, Johannes Kepler UniversitÀt Linz
3162:
3114:
3040:
2859:
2644:
2583:
2502:
2464:
2442:
2311:
2285:
2255:
2204:
2175:
2099:
2061:
2026:
1954:
1874:
1787:
1653:{\textstyle b=\max _{i=0,\dots ,r}(\deg(q_{i})-i)}
1652:
1565:
1480:
1439:
1415:
1239:
1219:
1197:
1161:
1141:
1048:
1022:
945:
907:
525:
494:
453:
416:
384:
338:
301:
257:
233:
138:
97:
1955:{\textstyle d=\max\{\deg(f)-b,-b-1,d_{\alpha }\}}
1447:if there are any solutions, otherwise false.
1169:. This bound was shown by Abramov and Petkovšek.
598:
585:
234:{\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}
3206:
3204:
1894:
1814:
1589:
1081:
843:
630:
3250:
3248:
3184:
3182:
2645:{\textstyle y_{0},y_{1},y_{2}\in \mathbb {Q} }
1205:of that degree with arbitrary coefficients in
1547:
1534:
8:
3122:. Therefore the only polynomial solution is
2176:{\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)}
1949:
1897:
1869:
1860:
1854:
1817:
1136:
1084:
898:
889:
883:
846:
2027:{\textstyle y(n)=\sum _{j=0}^{d}y_{j}n^{j}}
3264:
3228:
3148:
3127:
3100:
3078:
3059:
3053:
3001:
2984:
2970:
2956:
2944:
2878:
2874:
2872:
2848:
2834:
2825:
2809:
2790:
2785:
2776:
2763:
2734:
2716:
2690:
2675:
2657:
2638:
2637:
2628:
2615:
2602:
2596:
2584:{\textstyle y(n)=y_{2}n^{2}+y_{1}n+y_{0}}
2575:
2559:
2546:
2536:
2515:
2477:
2458:
2457:
2455:
2409:
2391:
2365:
2350:
2341:
2304:
2277:
2271:
2223:
2217:
2188:
2154:
2139:
2129:
2118:
2112:
2074:
2055:
2054:
2045:
2039:
2018:
2008:
1998:
1987:
1966:
1943:
1886:
1835:
1831:
1827:
1826:
1805:
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1774:
1761:
1749:
1724:
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1664:
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1580:
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1531:
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1501:
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1432:
1401:
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1368:
1367:
1352:
1311:
1296:
1286:
1275:
1269:
1247:is set up and solved. This is called the
1232:
1213:
1212:
1210:
1190:
1154:
1130:
1061:
1042:
1041:
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368:
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285:
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250:
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182:
172:
161:
155:
132:
131:
129:
89:
88:
81:
71:
62:
50:. This article describes this algorithm.
98:{\textstyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}
3178:
1056:the set of nonnegative integers. Then
3115:{\textstyle y_{0}=0,y_{1}=-1,y_{2}=1}
7:
2107:Compare coefficients of polynomials
385:{\displaystyle y(n)\in \mathbb {K} }
424:denotes the degree of a polynomial
2062:{\textstyle y_{j}\in \mathbb {K} }
1866:
1686:
1538:
895:
722:
589:
489:
302:{\textstyle p_{k}\in \mathbb {K} }
14:
1181:is computed. In a second step an
1427:The general polynomial solution
1249:method undetermined coefficients
346:and unknown polynomial sequence
26:. Sergei A. Abramov in 1989 and
3305:Weixlbaumer, Christian (2001).
3217:Journal of Symbolic Computation
2256:{\textstyle y_{j},j=0,\dots ,d}
108:Other algorithms which compute
3138:
3132:
2831:
2799:
2782:
2756:
2750:
2738:
2731:
2706:
2700:
2694:
2687:
2668:
2526:
2520:
2491:
2485:
2425:
2413:
2406:
2381:
2375:
2369:
2362:
2343:
2266:there are possible values for
2199:
2193:
2170:
2158:
2151:
2145:
1977:
1971:
1912:
1906:
1845:
1839:
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1754:
1730:
1717:
1675:
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1647:
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1625:
1616:
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1093:
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1069:
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993:
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790:
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753:
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657:
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514:
480:
474:
454:{\textstyle p\in \mathbb {K} }
448:
442:
411:
405:
379:
373:
362:
356:
339:{\textstyle f\in \mathbb {K} }
333:
327:
296:
290:
228:
222:
213:
201:
194:
188:
78:
64:
1:
502:for the zero polynomial) and
495:{\textstyle \deg(0)=-\infty }
309:, polynomial right-hand side
265:with polynomial coefficients
3230:10.1016/0747-7171(92)90038-6
150:of characteristic zero and
2212:to get possible values for
1264:Linear recurrence equation
526:{\textstyle {\text{lc}}(p)}
3376:
2503:{\textstyle \deg(y)\leq 2}
2034:with unknown coefficients
48:system of linear equations
3259:. ACM. pp. 290â296.
3211:Petkovšek, Marko (1992).
3163:{\textstyle y(n)=n^{2}-n}
2465:{\textstyle \mathbb {Q} }
2100:{\textstyle j=0,\dots ,d}
1481:{\textstyle i=0,\dots ,r}
1220:{\textstyle \mathbb {K} }
1049:{\textstyle \mathbb {N} }
946:{\textstyle i=0,\dots ,r}
139:{\textstyle \mathbb {K} }
3164:
3116:
3042:
2861:
2646:
2585:
2504:
2466:
2444:
2313:
2287:
2257:
2206:
2177:
2134:
2101:
2063:
2028:
2003:
1956:
1876:
1789:
1654:
1567:
1530:
1482:
1441:
1417:
1291:
1241:
1221:
1199:
1163:
1143:
1050:
1024:
947:
909:
581:
527:
496:
455:
418:
386:
340:
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259:
235:
177:
140:
99:
3275:10.1145/220346.220384
3165:
3117:
3043:
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2647:
2586:
2505:
2467:
2445:
2314:
2288:
2258:
2207:
2178:
2114:
2102:
2064:
2029:
1983:
1957:
1877:
1790:
1655:
1568:
1510:
1483:
1442:
1418:
1271:
1257:polynomial_solutions
1242:
1222:
1200:
1164:
1144:
1051:
1025:
948:
910:
561:
528:
497:
456:
419:
387:
341:
304:
260:
236:
157:
141:
100:
30:in 1992 described an
3126:
3052:
2871:
2656:
2595:
2514:
2476:
2454:
2340:
2303:
2270:
2216:
2187:
2111:
2073:
2038:
1965:
1885:
1798:
1663:
1579:
1494:
1454:
1431:
1268:
1231:
1209:
1189:
1153:
1060:
1038:
957:
919:
537:
506:
465:
428:
417:{\textstyle \deg(p)}
396:
350:
313:
269:
249:
154:
128:
61:
24:polynomial solutions
19:P-recursive equation
243:recurrence equation
3160:
3112:
3048:with the solution
3038:
3036:
3028:
2992:
2938:
2857:
2642:
2581:
2500:
2462:
2440:
2309:
2286:{\textstyle y_{j}}
2283:
2253:
2202:
2173:
2097:
2059:
2024:
1952:
1872:
1785:
1782:
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1413:
1237:
1217:
1195:
1185:with a polynomial
1159:
1139:
1046:
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903:
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492:
451:
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336:
299:
255:
231:
136:
95:
22:can be solved for
2299:general solution
2205:{\textstyle f(n)}
1775:
1752:
1746:
1681:
1588:
1545:
1032:falling factorial
965:
811:
788:
782:
717:
629:
596:
512:
16:In mathematics a
3367:
3345:
3344:
3316:
3310:
3303:
3297:
3296:
3268:
3252:
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