2557:
716:
231:
3765:
2319:
893:
2206:
514:
2940:
1881:
2350:
1104:
3949:
2122:
2688:
3611:
3167:
428:
597:
589:
347:
3296:
785:
111:
1657:
951:
1610:
1963:
1142:
2760:
2041:
2820:
1919:
1551:
1472:
1316:
1272:
3501:
3331:
3083:
3050:
977:
1782:
1748:
1693:
1360:
3649:
3527:
1168:
3850:
3823:
3425:
3398:
3216:
3115:
3017:
2990:
2849:
2618:
1503:
1417:
1387:
1318:
is said to be quasi-analytic when the only function in it having all its partial derivatives equal to zero at a point is the function identically equal to zero.
3796:
3467:
3445:
3371:
3351:
3189:
2963:
2780:
2710:
2588:
1713:
1231:
1211:
1191:
997:
916:
131:
2231:
796:
2129:
433:
2552:{\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}
3654:
2854:
1787:
4050:
1005:
48:
is identically zero on all of . Quasi-analytic classes are broader classes of functions for which this statement still holds true.
3855:
2046:
2623:
3532:
4088:
4070:
3978:
3129:
1321:
A function of several variables is said to be quasi-analytic when it belongs to a quasi-analytic Denjoy-Carleman class.
711:{\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}
390:
4083:
4065:
3973:
519:
286:
3222:
722:
4104:
59:
1615:
921:
2325:
1559:
1924:
1112:
4060:
2715:
2002:
2785:
3775:
both satisfy the
Weierstrass division property, the same is not true for other quasi-analytic classes.
4078:
1886:
1508:
1429:
1280:
1236:
4003:
3473:
3301:
3055:
3022:
956:
1755:
1721:
1666:
4046:
4038:
3995:
258:
29:
2562:
then the corresponding class is quasi-analytic. The first sequence gives analytic functions.
1332:
3987:
3961:
3619:
3506:
1147:
4015:
3828:
3801:
3403:
3376:
3194:
3088:
2995:
2968:
2827:
2596:
1481:
1395:
1365:
4011:
3781:
3452:
3430:
3356:
3336:
3174:
2948:
2765:
2695:
2573:
1990:() is a quasi-analytic class. It states that the following conditions are equivalent:
1698:
1216:
1196:
1176:
982:
901:
4098:
4022:
113:
be a sequence of positive real numbers. Then the Denjoy-Carleman class of functions
3772:
17:
3999:
226:{\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}}
2324:
The proof that the last two conditions are equivalent to the second uses
4007:
2590:
the following properties of the corresponding class of functions hold:
2314:{\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}
1325:
Quasi-analytic classes with respect to logarithmically convex sequences
2620:
contains the analytic functions, and it is equal to it if and only if
888:{\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}
3991:
4025:(1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle",
3852:
doesn't satisfy the
Weierstrass division property with respect to
2201:{\displaystyle \sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty }
509:{\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}
3760:{\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}
2935:{\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }
1876:{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}
1099:{\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}
3944:{\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}
3771:
While the ring of analytic functions and the ring of formal
1982:
gave some partial results, gives criteria on the sequence
1750:
is a ring. In particular it is closed under multiplication.
36:
is an analytic function on an interval ⊂
3976:(1968), "A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem",
2117:{\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}
4043:
The
Analysis of Linear Partial Differential Operators I
2683:{\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }
1329:
In the definitions above it is possible to assume that
3606:{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}
3858:
3831:
3825:
is not equal to the class of analytic function, then
3804:
3784:
3657:
3622:
3535:
3509:
3476:
3455:
3433:
3406:
3379:
3359:
3339:
3304:
3225:
3197:
3177:
3132:
3091:
3058:
3025:
2998:
2971:
2951:
2857:
2830:
2788:
2768:
2718:
2698:
2626:
2599:
2576:
2353:
2234:
2132:
2049:
2005:
1927:
1889:
1790:
1758:
1724:
1701:
1669:
1618:
1562:
1511:
1484:
1432:
1398:
1368:
1335:
1283:
1239:
1219:
1199:
1179:
1150:
1115:
1008:
985:
959:
924:
904:
799:
725:
600:
522:
436:
393:
289:
134:
62:
2217:
is the largest log convex sequence bounded above by
3943:
3844:
3817:
3790:
3759:
3643:
3605:
3521:
3495:
3461:
3439:
3419:
3392:
3365:
3345:
3325:
3290:
3210:
3183:
3162:{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
3161:
3109:
3077:
3044:
3011:
2984:
2957:
2934:
2843:
2814:
2774:
2754:
2704:
2682:
2612:
2582:
2551:
2313:
2200:
2116:
2035:
1957:
1913:
1875:
1776:
1742:
1707:
1695:with respect to a logarithmically convex sequence
1687:
1651:
1604:
1545:
1497:
1466:
1411:
1381:
1354:
1310:
1266:
1225:
1205:
1185:
1162:
1136:
1098:
991:
971:
945:
910:
887:
779:
710:
583:
508:
423:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
422:
341:
225:
105:
3986:(1), Mathematical Association of America: 26–31,
2712:is another logarithmically convex sequence, with
257: = 1 this is exactly the class of real
2859:
2628:
2064:
2851:is stable under differentiation if and only if
1784:is closed under composition. Specifically, if
584:{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}
383:Quasi-analytic functions of several variables
342:{\displaystyle {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0}
8:
3291:{\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}
780:{\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}
83:
69:
2945:For any infinitely differentiable function
106:{\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}
1173:The Denjoy-Carleman class of functions of
44:and all of its derivatives are zero, then
3935:
3930:
3917:
3901:
3882:
3869:
3857:
3836:
3830:
3809:
3803:
3783:
3751:
3746:
3722:
3706:
3695:
3679:
3656:
3621:
3591:
3572:
3553:
3540:
3534:
3508:
3487:
3475:
3454:
3432:
3411:
3405:
3384:
3378:
3358:
3338:
3303:
3282:
3277:
3264:
3242:
3224:
3202:
3196:
3176:
3155:
3154:
3145:
3141:
3140:
3131:
3090:
3069:
3057:
3036:
3024:
3003:
2997:
2976:
2970:
2950:
2916:
2912:
2902:
2893:
2881:
2862:
2856:
2835:
2829:
2806:
2793:
2787:
2767:
2746:
2736:
2723:
2717:
2697:
2664:
2660:
2650:
2631:
2625:
2604:
2598:
2575:
2534:
2505:
2503:
2497:
2474:
2472:
2466:
2449:
2447:
2438:
2415:
2413:
2407:
2390:
2388:
2379:
2362:
2360:
2352:
2293:
2288:
2262:
2251:
2245:
2239:
2233:
2182:
2175:
2165:
2160:
2143:
2137:
2131:
2101:
2097:
2092:
2067:
2054:
2048:
2021:
2012:
2004:
1949:
1944:
1926:
1905:
1900:
1888:
1867:
1857:
1852:
1833:
1817:
1804:
1789:
1768:
1763:
1757:
1734:
1729:
1723:
1700:
1679:
1674:
1668:
1652:{\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}
1643:
1639:
1638:
1617:
1590:
1577:
1567:
1561:
1533:
1529:
1519:
1510:
1489:
1483:
1458:
1449:
1437:
1431:
1403:
1397:
1373:
1367:
1340:
1334:
1293:
1288:
1282:
1249:
1244:
1238:
1218:
1198:
1178:
1149:
1128:
1124:
1123:
1114:
1089:
1081:
1080:
1057:
1049:
1048:
1018:
1007:
984:
958:
946:{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
937:
933:
932:
923:
918:is called quasi-analytic on the open set
903:
874:
869:
864:
849:
844:
839:
827:
822:
817:
804:
798:
768:
752:
739:
724:
697:
692:
687:
669:
664:
659:
644:
639:
634:
620:
614:
605:
599:
575:
556:
543:
531:
523:
521:
500:
496:
495:
482:
463:
450:
435:
416:
415:
406:
402:
401:
392:
315:
297:
290:
288:
217:
195:
165:
147:
140:
133:
97:
86:
76:
61:
28:is a generalization of the class of real
1975:
1974:The Denjoy–Carleman theorem, proved by
1193:variables with respect to the sequence
2570:For a logarithmically convex sequence
2332:
1979:
1605:{\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}
3449:Weierstrass division with respect to
1958:{\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}
1137:{\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}
7:
2755:{\displaystyle M_{j}\leq C^{j}N_{j}}
2036:{\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty }
1274:, although other notations abound.
240: ∈ , some constant
2929:
2815:{\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}
2677:
2305:
2195:
2030:
680:
652:
627:
617:
98:
32:based upon the following fact: If
14:
3979:The American Mathematical Monthly
3447:variables is said to satisfy the
2344:is given by one of the sequences
379:is in some quasi-analytic class.
3427:of real or complex functions of
1505:is logarithmically convex, then
244:, and all non-negative integers
3966:Les fonctions quasi-analytiques
2965:there are quasi-analytic rings
3907:
3862:
3798:is logarithmically convex and
3739:
3728:
3685:
3661:
3314:
3308:
3270:
3257:
3248:
3229:
3151:
2909:
2874:
2657:
2643:
2530:
2506:
2493:
2475:
2462:
2450:
2434:
2416:
2403:
2391:
2375:
2363:
2281:
2269:
2172:
2153:
2111:
2079:
1914:{\displaystyle g\in C_{p}^{M}}
1864:
1845:
1839:
1797:
1631:
1619:
1526:
1512:
1305:
1299:
1261:
1255:
1090:
1082:
1058:
1050:
1033:
1027:
532:
524:
488:
443:
412:
364:is identically equal to zero.
330:
324:
180:
174:
1:
1546:{\displaystyle (M_{k})^{1/k}}
1467:{\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}
1311:{\displaystyle C_{n}^{M}(U)}
1267:{\displaystyle C_{n}^{M}(U)}
356: ∈ and all
4084:Encyclopedia of Mathematics
4077:Solomentsev, E.D. (2001) ,
4066:Encyclopedia of Mathematics
1970:The Denjoy–Carleman theorem
4121:
3496:{\displaystyle f\in A_{n}}
3326:{\displaystyle h(0)\neq 0}
3078:{\displaystyle h\in C^{N}}
3045:{\displaystyle g\in C^{M}}
1277:The Denjoy-Carleman class
972:{\displaystyle K\subset U}
117:() is defined to be those
1777:{\displaystyle C_{n}^{M}}
1743:{\displaystyle C_{n}^{M}}
1688:{\displaystyle C_{n}^{M}}
1663:The quasi-analytic class
4059:Leont'ev, A.F. (2001) ,
1355:{\displaystyle M_{1}=1}
373:quasi-analytic function
4061:"Quasi-analytic class"
4027:C. R. Acad. Sci. Paris
3945:
3846:
3819:
3792:
3761:
3717:
3645:
3644:{\displaystyle f=gq+h}
3607:
3523:
3522:{\displaystyle q\in A}
3497:
3463:
3441:
3421:
3394:
3367:
3347:
3327:
3292:
3212:
3185:
3163:
3111:
3079:
3046:
3013:
2986:
2959:
2936:
2845:
2816:
2776:
2756:
2706:
2684:
2614:
2584:
2553:
2315:
2202:
2118:
2037:
1959:
1915:
1877:
1778:
1744:
1709:
1689:
1653:
1606:
1547:
1499:
1468:
1421:logarithmically convex
1413:
1383:
1362:and that the sequence
1356:
1312:
1268:
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