117:
22:
1547:
2134:
1860:
479:
1389:
3147:
1992:
860:
3593:
2968:
1607:
1678:
1283:
1924:
2477:
310:
2284:
1714:
1424:
2430:
3195:
685:
2895:
2671:
1745:
2368:
2229:
1091:
808:
747:
3382:
3235:
2806:
2332:
1435:
946:
3657:
3445:
2697:
1057:
776:
714:
3262:
3049:
2844:
2167:
2019:
1173:
887:
619:
592:
510:
375:
348:
2506:
565:
257:
3709:
3683:
3619:
3504:
3476:
3410:
3342:
3316:
2997:
2780:
2732:
2627:
2581:
2532:
2255:
2193:
1199:
1024:
972:
913:
536:
262:
The theorem is about a circular 1-dimensional cake (a "pie"). Formally, it can be described as the interval in which the two endpoints are identified. There are
1133:
3524:
3285:
3017:
2752:
2601:
2555:
2388:
2307:
1627:
1239:
1219:
994:
639:
395:
127:
185:
79:
157:
51:
2030:
1756:
164:
58:
3794:
403:
171:
98:
65:
1294:
36:
312:; each measure represents the valuations of a different person over subsets of the cake. The theorem says that, for every weight
153:
47:
142:
3054:
813:
3529:
2900:
1558:
178:
72:
1632:
3736:
1684:
1929:
1247:
1871:
269:
3789:
2260:
1690:
1400:
134:
2435:
2393:
3152:
749:(recall that the value measures are normalized such that all partners value the entire cake as 1).
652:
2853:
1542:{\displaystyle U_{i}(Y)=V_{i}(f^{-1}(Y)\cap C_{w})\,\,\,\,\,\,\,\,\,Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
2635:
3721:
2337:
2198:
1062:
781:
719:
3347:
3200:
2785:
918:
3765:
3726:
3627:
3415:
2676:
1036:
755:
693:
3240:
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2815:
2145:
1997:
1151:
865:
597:
570:
488:
353:
315:
2482:
1719:
641:
intervals, in case one interval is adjacent to 0 and one other interval is adjacent to 1.
541:
233:
3688:
3662:
3598:
3481:
3453:
3387:
3321:
3293:
2976:
2757:
2711:
2606:
2560:
2511:
2234:
2172:
1178:
1003:
951:
892:
515:
2312:
1100:
3731:
3509:
3270:
3002:
2737:
2586:
2540:
2373:
2292:
1612:
1224:
1204:
979:
624:
380:
215:
3783:
3769:
211:
3756:
Stromquist, Walter; Woodall, D.R (1985). "Sets on which several measures agree".
1027:
594:. If the cake is not circular (that is, the endpoints are not identified), then
226:, there exists a subset of the cake that all people value at exactly a fraction
116:
997:
2129:{\displaystyle \forall i=1,\ldots ,n:\,\,\,\,\,V_{i}(M)=V_{i}(M')=w/2}
1855:{\displaystyle \forall i=1,\ldots ,n:\,\,\,\,\,U_{i}(H)=U_{i}(H')=w/2}
2390:
points. Hence, the total number of connected components (curves) in
687:
be the subset of all weights for which the theorem is true. Then:
474:{\displaystyle \forall i=1,\ldots ,n:\,\,\,\,\,V_{i}(C_{w})=w}
110:
15:
1384:{\displaystyle f(t)=(t,t^{2},\ldots ,t^{n})\,\,\,\,\,\,t\in }
1093:. This is the most interesting part of the proof; see below.
2811:
2754:
is either irrational, or rational with a reduced fraction
3526:-th measure). The number of "gaps" between the points is
3450:
On the other hand, every subset whose consensus value is
3019:
is concentrated in small neighbourhoods of the following
230:
of the total cake value, and it can be cut using at most
3318:, must touch at least two points for each of the first
138:
3142:{\displaystyle P_{i},P_{i+(n-1)},\ldots ,P_{i+n(n-1)}}
1000:. This is easy to prove, since the space of unions of
3691:
3665:
3630:
3601:
3532:
3512:
3484:
3456:
3418:
3390:
3350:
3324:
3296:
3273:
3243:
3203:
3155:
3057:
3025:
3005:
2979:
2903:
2856:
2818:
2788:
2760:
2740:
2714:
2679:
2638:
2609:
2589:
2563:
2543:
2514:
2485:
2438:
2396:
2376:
2340:
2315:
2295:
2263:
2237:
2201:
2175:
2148:
2033:
2000:
1932:
1874:
1759:
1722:
1693:
1635:
1615:
1561:
1438:
1403:
1297:
1250:
1227:
1207:
1181:
1154:
1103:
1065:
1039:
1006:
982:
954:
921:
895:
868:
816:
784:
758:
722:
696:
655:
627:
600:
573:
544:
518:
491:
406:
383:
356:
318:
272:
236:
3344:
measures (since the value near each single point is
2195:connected components (intervals). Hence, its image
222:people with different tastes, and for any fraction
3703:
3677:
3651:
3613:
3587:
3518:
3498:
3470:
3439:
3404:
3376:
3336:
3310:
3287:-th measure as proportional to the length measure.
3279:
3256:
3229:
3189:
3141:
3043:
3011:
2991:
2962:
2897:equally-spaced points along the circle; call them
2889:
2838:
2800:
2774:
2746:
2726:
2691:
2665:
2621:
2595:
2575:
2549:
2526:
2500:
2471:
2424:
2382:
2362:
2326:
2301:
2278:
2249:
2223:
2187:
2161:
2128:
2013:
1986:
1918:
1854:
1739:
1708:
1672:
1621:
1601:
1541:
1418:
1383:
1277:
1233:
1213:
1193:
1167:
1127:
1085:
1051:
1018:
988:
966:
940:
907:
881:
854:
802:
770:
741:
708:
679:
633:
613:
586:
559:
530:
504:
473:
389:
369:
342:
304:
251:
218:. Informally, it says that, for any cake, for any
3758:Journal of Mathematical Analysis and Applications
2289:The hyperplane that forms the boundary between
2257:connected components (1-dimensional curves in
855:{\displaystyle C_{1-w}:=C\smallsetminus C_{w}}
3580:
3543:
2708:Stromquist and Woodall prove that the number
8:
3588:{\displaystyle 1/{\big (}(n+1)(n-1){\big )}}
2963:{\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{(n-1)(n+1)}}
143:introducing citations to additional sources
1244:Define the following function on the cake,
1135:. In other words, the theorem is valid for
567:cuts are sufficient for cutting the subset
35:Please help improve this article by adding
1602:{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {R} ^{n})=C}
3690:
3664:
3629:
3600:
3579:
3578:
3542:
3541:
3536:
3531:
3511:
3488:
3483:
3460:
3455:
3417:
3394:
3389:
3384:which is slightly less than the required
3354:
3349:
3323:
3300:
3295:
3272:
3248:
3242:
3207:
3202:
3160:
3154:
3112:
3075:
3062:
3056:
3024:
3004:
2978:
2927:
2908:
2902:
2855:
2828:
2817:
2787:
2764:
2759:
2739:
2713:
2678:
2647:
2643:
2637:
2608:
2588:
2562:
2542:
2513:
2484:
2460:
2437:
2413:
2395:
2375:
2351:
2339:
2314:
2294:
2270:
2266:
2265:
2262:
2236:
2212:
2200:
2174:
2153:
2147:
2118:
2092:
2070:
2065:
2064:
2063:
2062:
2061:
2032:
2005:
1999:
1978:
1948:
1931:
1910:
1885:
1873:
1844:
1818:
1796:
1791:
1790:
1789:
1788:
1787:
1758:
1721:
1700:
1696:
1695:
1692:
1673:{\displaystyle U_{i}(\mathbb {R} ^{n})=w}
1655:
1651:
1650:
1640:
1634:
1614:
1584:
1580:
1579:
1566:
1560:
1533:
1529:
1528:
1520:
1519:
1518:
1517:
1516:
1515:
1514:
1513:
1512:
1503:
1478:
1465:
1443:
1437:
1410:
1406:
1405:
1402:
1359:
1358:
1357:
1356:
1355:
1354:
1345:
1326:
1296:
1269:
1265:
1264:
1249:
1226:
1206:
1180:
1159:
1153:
1102:
1069:
1064:
1038:
1005:
981:
953:
926:
920:
894:
873:
867:
846:
821:
815:
783:
757:
727:
721:
695:
654:
626:
605:
599:
578:
572:
543:
517:
496:
490:
456:
443:
438:
437:
436:
435:
434:
405:
382:
361:
355:
317:
296:
277:
271:
235:
99:Learn how and when to remove this message
2508:. Hence, one of these must have at most
133:Relevant discussion may be found on the
3748:
3595:; hence the subset can contain at most
2999:measures in the following way. Measure
1987:{\displaystyle M'=f^{-1}(H')\cap C_{w}}
1278:{\displaystyle f:C\to \mathbb {R} ^{n}}
3290:Every subset whose consensus value is
3685:gaps; hence it must contain at least
1919:{\displaystyle M=f^{-1}(H)\cap C_{w}}
7:
377:, which all people value at exactly
1687:, there is a hyper-plane that cuts
305:{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
266:continuous measures over the cake:
2034:
1760:
407:
14:
3412:). Hence, it must touch at least
1994:. Then, by the definition of the
1397:Define the following measures on
3624:The consensus subset must touch
2279:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1709:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1419:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
126:relies largely or entirely on a
115:
20:
2472:{\displaystyle H'\cap f(C_{w})}
31:only references primary sources
3646:
3634:
3575:
3563:
3560:
3548:
3434:
3422:
3371:
3359:
3224:
3212:
3182:
3170:
3134:
3122:
3094:
3082:
3038:
3026:
2955:
2943:
2940:
2928:
2884:
2872:
2869:
2857:
2466:
2453:
2425:{\displaystyle H\cap f(C_{w})}
2419:
2406:
2357:
2344:
2218:
2205:
2109:
2098:
2082:
2076:
1968:
1957:
1900:
1894:
1835:
1824:
1808:
1802:
1661:
1646:
1590:
1575:
1509:
1493:
1487:
1471:
1455:
1449:
1378:
1366:
1351:
1313:
1307:
1301:
1260:
1122:
1110:
674:
662:
462:
449:
337:
325:
1:
1221:partners value it as exactly
37:secondary or tertiary sources
3770:10.1016/0022-247x(85)90021-6
3190:{\displaystyle P_{i+k(n-1)}}
2583:components (curves). Hence,
915:intervals in a circle, then
154:"Stromquist–Woodall theorem"
48:"Stromquist–Woodall theorem"
3659:points but contain at most
1609:. Hence, for every partner
680:{\displaystyle W\subseteq }
538:intervals. This means that
3811:
3795:Theorems in measure theory
2890:{\displaystyle (n-1)(n+1)}
1097:From 1-4, it follows that
1030:under a suitable topology.
621:may be the union of up to
208:Stromquist–Woodall theorem
3478:, must have total length
2666:{\displaystyle C_{w/2}=M}
2363:{\displaystyle f(C_{w})}
2224:{\displaystyle f(C_{w})}
1086:{\displaystyle w/2\in W}
803:{\displaystyle 1-w\in W}
742:{\displaystyle C_{1}:=C}
3377:{\displaystyle 1/(n+1)}
3230:{\displaystyle 1/(n+1)}
2801:{\displaystyle s\geq n}
2734:is tight if the weight
2629:components (intervals).
1201:intervals and that all
1143:Proof sketch for part 4
941:{\displaystyle C_{1-w}}
3705:
3679:
3653:
3652:{\displaystyle 2(n-1)}
3615:
3589:
3520:
3500:
3472:
3441:
3440:{\displaystyle 2(n-1)}
3406:
3378:
3338:
3312:
3281:
3258:
3231:
3197:, there is a fraction
3191:
3149:. So, near each point
3143:
3045:
3013:
2993:
2964:
2891:
2840:
2802:
2776:
2748:
2728:
2693:
2692:{\displaystyle w\in W}
2667:
2623:
2597:
2577:
2551:
2528:
2502:
2473:
2426:
2384:
2364:
2328:
2303:
2280:
2251:
2225:
2189:
2163:
2130:
2015:
1988:
1920:
1856:
1741:
1710:
1674:
1623:
1603:
1543:
1420:
1385:
1279:
1235:
1215:
1195:
1169:
1129:
1087:
1053:
1052:{\displaystyle w\in W}
1020:
990:
968:
942:
909:
883:
856:
804:
772:
771:{\displaystyle w\in W}
743:
710:
709:{\displaystyle 1\in W}
681:
635:
615:
588:
561:
532:
512:is a union of at most
506:
475:
391:
371:
344:
306:
253:
3706:
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