2021:
1466:
1203:
633:
1724:
788:
1033:
219:
901:
2067:, as the elements invariant under a wreath product of the two symmetric groups. The brackets of the symbolic method are really invariant linear forms on this tensor product, which give invariants of SS(
291:
474:
344:
1256:
1049:
63:. It is based on treating the form as if it were a power of a degree one form, which corresponds to embedding a symmetric power of a vector space into the symmetric elements of a
2171:
2016:{\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=\cdots .}
485:
644:
916:
101:
799:
75:
The symbolic method uses a compact, but rather confusing and mysterious notation for invariants, depending on the introduction of new symbols
2371:
2458:
2431:
2340:
2111:
230:
2047:, as the elements preserved by the action of the symmetric group. In fact this is done twice, because the invariants of degree
399:
17:
2100:
2401:
44:
302:
2423:
2355:
2103:
2529:
1461:{\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})^{n}=\cdots .}
1198:{\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{n}+{\binom {n}{1}}A_{1}x_{1}^{n-1}x_{2}+\cdots +A_{n}x_{2}^{n}}
2302:
56:
2031:
The rather mysterious formalism of the symbolic method corresponds to embedding a symmetric product S(
628:{\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}.}
2385:
2243:
2196:
87:, ... (from which the symbolic method gets its name) with apparently contradictory properties.
2215:
2147:
2495:
2454:
2427:
2397:
2367:
2336:
2328:
2289:
2235:
2188:
2107:
2166:
2524:
2485:
2359:
2311:
2293:
2227:
2180:
32:
2507:
2441:
2381:
2121:
2503:
2469:
2437:
2377:
2117:
2080:
783:{\displaystyle \displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{2}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{2}}
64:
60:
48:
2518:
2413:
2389:
2316:
2297:
2247:
2200:
2143:
40:
2490:
2473:
95:
These symbols can be explained by the following example from Gordan. Suppose that
1471:
What this means is that the following two vector spaces are naturally isomorphic:
1028:{\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=A_{2}A_{0}-2A_{1}A_{1}+A_{0}A_{2}=2\Delta .}
2417:
2094:
214:{\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{2}+2A_{1}x_{1}x_{2}+A_{2}x_{2}^{2}}
52:
24:
2499:
2363:
2239:
2192:
896:{\displaystyle \displaystyle A_{i}=a_{1}^{2-i}a_{2}^{i}=b_{1}^{2-i}b_{2}^{i}}
2184:
36:
2231:
2167:"Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen"
224:
is a binary quadratic form with an invariant given by the discriminant
1208:
is a binary form of higher degree, then one introduces new variables
365:) is a shorthand form for the determinant of a matrix whose rows are
2354:. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 296.
910:
is not a power of a linear form. Substituting these values gives
906:
and we ignore the fact that this does not seem to make sense if
286:{\displaystyle \displaystyle \Delta =A_{0}A_{2}-A_{1}^{2}.}
2453:. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1278. Springer.
1664:. This mapping does not preserve products of polynomials.
469:{\displaystyle \displaystyle (ab)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}
1727:
1259:
1053:
1052:
920:
919:
803:
802:
648:
647:
489:
488:
403:
402:
306:
305:
234:
233:
105:
104:
2216:"Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen"
2093:
Gordan, Paul (1987) . Kerschensteiner, Georg (ed.).
296:The symbolic representation of the discriminant is
91:
Example: the discriminant of a binary quadratic form
1593:), ... and are symmetric under permutations of the
2015:
1460:
1197:
1027:
895:
782:
627:
468:
338:
285:
213:
1113:
1100:
357:are the symbols. The meaning of the expression (
2059:), which gets embedded into a tensor product of
1475:The vector space of homogeneous polynomials in
2220:Journal fĂĽr die Reine und Angewandte Mathematik
2172:Journal fĂĽr die reine und angewandte Mathematik
339:{\displaystyle \displaystyle 2\Delta =(ab)^{2}}
2326:-ary forms: the symbolic method. Reprinted as
16:For the method in analytic combinatorics, see
2478:Bulletin of the American Mathematical Society
8:
2489:
2315:
2152:Cambridge and Dublin Mathematical Journal
1998:
1982:
1972:
1959:
1949:
1936:
1926:
1910:
1894:
1884:
1871:
1861:
1848:
1838:
1822:
1806:
1796:
1783:
1773:
1760:
1750:
1726:
1443:
1433:
1423:
1410:
1400:
1384:
1374:
1364:
1351:
1341:
1325:
1315:
1305:
1292:
1282:
1258:
1188:
1183:
1173:
1154:
1138:
1133:
1123:
1112:
1099:
1097:
1088:
1083:
1073:
1051:
1006:
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983:
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881:
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801:
773:
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730:
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704:
694:
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516:
503:
487:
456:
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433:
423:
401:
329:
304:
273:
268:
255:
245:
232:
204:
199:
189:
176:
166:
156:
140:
135:
125:
103:
1697:,... is similar: one introduces symbols
2135:
2474:"The invariant theory of binary forms"
2272:
2260:
2165:Aronhold, Siegfried Heinrich (1858).
1497:The vector space of polynomials in 2
7:
1609:The isomorphism is given by mapping
2096:Vorlesungen ĂĽber Invariantentheorie
55:in the 19th century for computing
1104:
1018:
310:
235:
14:
2055:are the invariant elements of SS(
2449:Koh, Sebastian S., ed. (2009) .
361:) is as follows. First of all, (
2491:10.1090/S0273-0979-1984-15188-7
2298:"Invariant theory, old and new"
2099:(2nd ed.). New York York:
1718:and so on with the properties
18:Symbolic method (combinatorics)
2419:Theory of algebraic invariants
2322:pp. 32–7, "Invariants of
1995:
1919:
1907:
1831:
1819:
1743:
1737:
1731:
1440:
1393:
1381:
1334:
1322:
1275:
1269:
1263:
1063:
1057:
931:
921:
770:
723:
711:
664:
658:
652:
500:
490:
413:
404:
326:
316:
115:
109:
1:
2333:Invariant theory, old and new
2408:, Cambridge University Press
2352:Lectures on invariant theory
2331:; Carrell, James B. (1971).
2317:10.1016/0001-8708(70)90015-0
2148:"On linear transformations"
1676:in more than two variables
45:Siegfried Heinrich Aronhold
2546:
2424:Cambridge University Press
2356:Cambridge University Press
15:
2406:The Algebra of invariants
2039:into a tensor product of
2364:10.1017/CBO9780511615436
2350:Dolgachev, Igor (2003).
1672:The extension to a form
2303:Advances in Mathematics
2185:10.1515/crll.1858.55.97
2051:of a quantic of degree
1543:, ... that have degree
2232:10.1515/crll.1861.59.1
2017:
1462:
1250:, with the properties
1199:
1029:
897:
784:
629:
470:
340:
287:
215:
2018:
1463:
1200:
1030:
898:
785:
638:Next we pretend that
630:
479:Squaring this we get
471:
341:
288:
216:
2468:Kung, Joseph P. S.;
2214:Clebsch, A. (1861).
2035:) of a vector space
1725:
1551:pairs of variables (
1257:
1050:
917:
800:
645:
486:
400:
303:
231:
102:
1193:
1149:
1093:
1043:More generally if
891:
876:
852:
837:
620:
605:
541:
526:
278:
209:
145:
2398:Grace, John Hilton
2335:. Academic Press.
2104:Chelsea Publishing
2071:) by restriction.
2027:Symmetric products
2013:
1458:
1195:
1194:
1179:
1129:
1079:
1025:
1024:
893:
892:
877:
856:
838:
817:
780:
779:
625:
624:
606:
591:
527:
512:
466:
465:
336:
335:
283:
282:
264:
211:
210:
195:
131:
2373:978-0-521-52548-0
2294:Carrell, James B.
2275:, v. 2, p.g. 1-3.
1111:
71:Symbolic notation
67:of copies of it.
2537:
2530:Invariant theory
2511:
2493:
2470:Rota, Gian-Carlo
2464:
2451:Invariant Theory
2445:
2409:
2393:
2346:
2321:
2319:
2276:
2270:
2264:
2258:
2252:
2251:
2211:
2205:
2204:
2162:
2156:
2155:
2140:
2125:
2022:
2020:
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2003:
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1987:
1986:
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1941:
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1899:
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1889:
1888:
1876:
1875:
1866:
1865:
1853:
1852:
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1788:
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170:
161:
160:
144:
139:
130:
129:
33:invariant theory
2545:
2544:
2540:
2539:
2538:
2536:
2535:
2534:
2515:
2514:
2467:
2461:
2448:
2434:
2412:
2396:
2374:
2349:
2343:
2329:Dieudonné, Jean
2327:
2290:Dieudonné, Jean
2288:
2285:
2283:Further reading
2280:
2279:
2271:
2267:
2259:
2255:
2213:
2212:
2208:
2164:
2163:
2159:
2142:
2141:
2137:
2114:
2092:
2089:
2081:Umbral calculus
2077:
2029:
1994:
1978:
1968:
1955:
1945:
1932:
1922:
1906:
1890:
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1867:
1857:
1844:
1834:
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1717:
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1547:in each of the
1542:
1535:
1528:
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1490:
1481:
1439:
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1419:
1406:
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1321:
1311:
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