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is a local ring. Then the inequality is equivalent to the following inequality: for finite
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Serre gives the following proof of the inequality, based on the validity of
223:
Without the assumption on regularity, the inequality can fail; see
553:{\displaystyle \dim _{A}M=\dim(A/\operatorname {Ann} _{A}(M))}
1003:. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York:
917:{\displaystyle \dim _{A_{1}}M+\dim _{A_{1}}N<\dim A_{1}}
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1033:. Springer Monographs in Mathematics (in German).
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726:ring over a complete discrete valuation ring and
225:scheme-theoretic intersection#Proper intersection
1001:Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
472:{\displaystyle \dim _{A}M+\dim _{A}N\leq \dim A}
924:, which in turn gives the asserted inequality.
123:{\displaystyle {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}}
61:{\displaystyle {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}}
613:. To show the above inequality, we can assume
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16:In algebra, specifically in the theory of
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130:, the following inequality on
1:
24:states: given a (Noetherian)
1087:. You can help Knowledge by
780:. Now, an argument with the
68:in it, for each prime ideal
22:Serre's inequality on height
1029:Serre, Jean-Pierre (2000).
1155:
1066:
962:, Ch. V, § B.6, Theorem 3.
606:{\displaystyle \dim _{A}N}
1139:Commutative algebra stubs
1039:10.1007/978-3-662-04203-8
635:Cohen's structure theorem
995:Fulton, William (1998),
937:{\displaystyle \square }
753:is a nonzero element in
241:formal power series ring
273:by the localization at
248:discrete valuation ring
1083:-related article is a
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