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Transvectant

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25: 406: 240: 992: 875: 647: 401:{\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}} 880: 689: 529: 235: 542: 443: 987:{\displaystyle f\left({\overleftarrow {\partial _{x}}}\cdot {\overrightarrow {\partial _{y}}}-{\overleftarrow {\partial _{y}}}\cdot {\overrightarrow {\partial _{x}}}\right)^{k}g} 870:{\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{k}(f\otimes g)=\sum _{l=0}^{k}(-1)^{l}{\binom {k}{l}}\partial _{x}^{k-l}\partial _{y}^{l}f\partial _{y}^{k-l}\partial _{l}^{l}g} 172: 684: 54: 1017:
All polynomial covariants and invariants of any system of binary forms can be expressed as linear combinations of iterated transvectants.
1074: 642:{\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{1}(Q_{1}\otimes \cdots \otimes Q_{n})=\det {\begin{bmatrix}\partial _{k}Q_{l}\end{bmatrix}}} 76: 1066: 1141: 37: 47: 41: 33: 409: 106: 94: 1095: 58: 532: 1100: 524:{\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{0}(Q_{1}\otimes \cdots \otimes Q_{n})=\prod _{k}Q_{k}} 1113: 1070: 994:
where the arrows denote the function to be taken the derivative of. This notation is used in
1105: 1125: 1121: 663: 1083: 1058: 650: 421: 1086:; Sanders, Jan A. (2000), "Transvectants, modular forms, and the Heisenberg algebra", 1135: 995: 412:, and the tensor product means take a product of functions with different variables 649:
The second transvectant is a constant times the completely polarized form of the
230:{\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{r}(Q_{1}\otimes \cdots \otimes Q_{n})} 1117: 1109: 18: 608: 255: 883: 692: 666: 545: 446: 243: 175: 686:, the binary transvectants have an explicit formula: 986: 869: 678: 641: 523: 400: 229: 783: 770: 165:transvectant of these functions is a function of 600: 46:but its sources remain unclear because it lacks 436:The zeroth transvectant is the product of the 1008:First Fundamental Theorem of Invariant Theory 8: 1007: 1099: 975: 959: 953: 939: 933: 919: 913: 899: 893: 882: 858: 853: 837: 832: 819: 814: 798: 793: 782: 769: 767: 761: 742: 731: 703: 691: 665: 625: 615: 603: 588: 569: 556: 544: 515: 505: 489: 470: 457: 445: 378: 365: 346: 333: 300: 287: 271: 258: 250: 242: 218: 199: 186: 174: 77:Learn how and when to remove this message 1027: 877:which can be more succinctly written as 161: ≥ 0 is an integer then the 1046: 1034: 7: 89:In mathematical invariant theory, a 956: 936: 916: 896: 850: 829: 811: 790: 774: 700: 612: 553: 454: 371: 367: 339: 335: 293: 289: 264: 260: 244: 183: 14: 424:Tr means setting all the vectors 23: 1088:Advances in Applied Mathematics 758: 748: 721: 709: 594: 562: 531:The first transvectant is the 495: 463: 224: 192: 1: 1158: 1067:Cambridge University Press 1063:Classical invariant theory 32:This article includes a 16:Invariant in mathematics 61:more precise citations. 1110:10.1006/aama.2000.0700 988: 871: 747: 680: 643: 525: 402: 231: 989: 872: 727: 681: 644: 526: 403: 232: 881: 690: 664: 543: 533:Jacobian determinant 444: 241: 173: 1015: —  863: 848: 824: 809: 679:{\displaystyle n=2} 1009: 984: 867: 849: 828: 810: 789: 676: 639: 633: 521: 510: 410:Cayley's Ω process 398: 392: 227: 169:variables given by 107:Cayley's Ω process 34:list of references 1076:978-0-521-55821-1 968: 948: 928: 908: 781: 501: 388: 356: 310: 278: 133:are functions of 87: 86: 79: 1149: 1142:Invariant theory 1128: 1103: 1079: 1050: 1044: 1038: 1032: 1016: 1013: 993: 991: 990: 985: 980: 979: 974: 970: 969: 964: 963: 954: 949: 944: 943: 934: 929: 924: 923: 914: 909: 904: 903: 894: 876: 874: 873: 868: 862: 857: 847: 836: 823: 818: 808: 797: 788: 787: 786: 773: 766: 765: 746: 741: 708: 707: 685: 683: 682: 677: 648: 646: 645: 640: 638: 637: 630: 629: 620: 619: 593: 592: 574: 573: 561: 560: 530: 528: 527: 522: 520: 519: 509: 494: 493: 475: 474: 462: 461: 407: 405: 404: 399: 397: 396: 389: 387: 386: 385: 366: 357: 355: 354: 353: 334: 311: 309: 308: 307: 288: 279: 277: 276: 275: 259: 236: 234: 233: 228: 223: 222: 204: 203: 191: 190: 105:variables using 82: 75: 71: 68: 62: 57:this article by 48:inline citations 27: 26: 19: 1157: 1156: 1152: 1151: 1150: 1148: 1147: 1146: 1132: 1131: 1084:Olver, Peter J. 1082: 1077: 1059:Olver, Peter J. 1057: 1054: 1053: 1045: 1041: 1033: 1029: 1024: 1019: 1014: 1011: 1004: 955: 935: 915: 895: 892: 888: 887: 879: 878: 768: 757: 699: 688: 687: 662: 661: 632: 631: 621: 611: 604: 584: 565: 552: 541: 540: 511: 485: 466: 453: 442: 441: 434: 391: 390: 374: 370: 363: 358: 342: 338: 330: 329: 324: 319: 313: 312: 296: 292: 285: 280: 267: 263: 251: 239: 238: 214: 195: 182: 171: 170: 156: 147: 132: 123: 115: 83: 72: 66: 63: 52: 38:related reading 28: 24: 17: 12: 11: 5: 1155: 1153: 1145: 1144: 1134: 1133: 1130: 1129: 1094:(3): 252–283, 1080: 1075: 1052: 1051: 1039: 1026: 1025: 1023: 1020: 1005: 1003: 1000: 983: 978: 973: 967: 962: 958: 952: 947: 942: 938: 932: 927: 922: 918: 912: 907: 902: 898: 891: 886: 866: 861: 856: 852: 846: 843: 840: 835: 831: 827: 822: 817: 813: 807: 804: 801: 796: 792: 785: 780: 777: 772: 764: 760: 756: 753: 750: 745: 740: 737: 734: 730: 726: 723: 720: 717: 714: 711: 706: 702: 698: 695: 675: 672: 669: 636: 628: 624: 618: 614: 610: 609: 607: 602: 599: 596: 591: 587: 583: 580: 577: 572: 568: 564: 559: 555: 551: 548: 518: 514: 508: 504: 500: 497: 492: 488: 484: 481: 478: 473: 469: 465: 460: 456: 452: 449: 433: 430: 422:trace operator 395: 384: 381: 377: 373: 369: 364: 362: 359: 352: 349: 345: 341: 337: 332: 331: 328: 325: 323: 320: 318: 315: 314: 306: 303: 299: 295: 291: 286: 284: 281: 274: 270: 266: 262: 257: 256: 254: 249: 246: 226: 221: 217: 213: 210: 207: 202: 198: 194: 189: 185: 181: 178: 152: 145: 141: = ( 128: 121: 114: 111: 101:invariants in 85: 84: 42:external links 31: 29: 22: 15: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1154: 1143: 1140: 1139: 1137: 1127: 1123: 1119: 1115: 1111: 1107: 1102: 1101:10.1.1.46.803 1097: 1093: 1089: 1085: 1081: 1078: 1072: 1068: 1064: 1060: 1056: 1055: 1049:, p. 90. 1048: 1043: 1040: 1037:, p. 88. 1036: 1031: 1028: 1021: 1018: 1001: 999: 997: 996:Moyal product 981: 976: 971: 965: 960: 950: 945: 940: 930: 925: 920: 910: 905: 900: 889: 884: 864: 859: 854: 844: 841: 838: 833: 825: 820: 815: 805: 802: 799: 794: 778: 775: 762: 754: 751: 743: 738: 735: 732: 728: 724: 718: 715: 712: 704: 696: 693: 673: 670: 667: 658: 656: 652: 634: 626: 622: 616: 605: 597: 589: 585: 581: 578: 575: 570: 566: 557: 549: 546: 538: 534: 516: 512: 506: 502: 498: 490: 486: 482: 479: 476: 471: 467: 458: 450: 447: 439: 431: 429: 427: 423: 419: 415: 411: 393: 382: 379: 375: 360: 350: 347: 343: 326: 321: 316: 304: 301: 297: 282: 272: 268: 252: 247: 219: 215: 211: 208: 205: 200: 196: 187: 179: 176: 168: 164: 160: 155: 151: 144: 140: 136: 131: 127: 120: 112: 110: 108: 104: 100: 96: 92: 81: 78: 70: 60: 56: 50: 49: 43: 39: 35: 30: 21: 20: 1091: 1087: 1062: 1042: 1030: 1006: 1002:Applications 659: 654: 536: 437: 435: 425: 417: 413: 166: 162: 158: 153: 149: 142: 138: 134: 129: 125: 118: 116: 102: 98: 97:formed from 91:transvectant 90: 88: 73: 64: 53:Please help 45: 657:functions. 59:introducing 1047:Olver 1999 1035:Olver 1999 1022:References 539:functions. 440:functions. 420:, and the 137:variables 113:Definition 1118:0196-8858 1096:CiteSeerX 966:→ 957:∂ 951:⋅ 946:← 937:∂ 931:− 926:→ 917:∂ 911:⋅ 906:← 897:∂ 851:∂ 842:− 830:∂ 812:∂ 803:− 791:∂ 752:− 729:∑ 716:⊗ 701:Ω 697:⁡ 613:∂ 582:⊗ 579:⋯ 576:⊗ 554:Ω 550:⁡ 503:∏ 483:⊗ 480:⋯ 477:⊗ 455:Ω 451:⁡ 372:∂ 368:∂ 361:⋯ 340:∂ 336:∂ 327:⋮ 322:⋱ 317:⋮ 294:∂ 290:∂ 283:⋯ 265:∂ 261:∂ 245:Ω 212:⊗ 209:⋯ 206:⊗ 184:Ω 180:⁡ 95:invariant 1136:Category 1061:(1999), 432:Examples 67:May 2017 1126:1783553 653:of the 651:Hessian 535:of the 428:equal. 55:improve 1124:  1116:  1098:  1073:  1010:  416:,..., 157:) and 93:is an 660:When 237:where 148:,..., 124:,..., 40:, or 1114:ISSN 1071:ISBN 1106:doi 601:det 408:is 117:If 1138:: 1122:MR 1120:, 1112:, 1104:, 1092:25 1090:, 1069:, 1065:, 1012:() 998:. 694:Tr 547:Tr 448:Tr 273:11 177:Tr 109:. 44:, 36:, 1108:: 982:g 977:k 972:) 961:x 941:y 921:y 901:x 890:( 885:f 865:g 860:l 855:l 845:l 839:k 834:y 826:f 821:l 816:y 806:l 800:k 795:x 784:) 779:l 776:k 771:( 763:l 759:) 755:1 749:( 744:k 739:0 736:= 733:l 725:= 722:) 719:g 713:f 710:( 705:k 674:2 671:= 668:n 655:n 635:] 627:l 623:Q 617:k 606:[ 598:= 595:) 590:n 586:Q 571:1 567:Q 563:( 558:1 537:n 517:k 513:Q 507:k 499:= 496:) 491:n 487:Q 472:1 468:Q 464:( 459:0 438:n 426:x 418:x 414:x 394:| 383:n 380:n 376:x 351:1 348:n 344:x 305:n 302:1 298:x 269:x 253:| 248:= 225:) 220:n 216:Q 201:1 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invariant
Cayley's Ω process
Cayley's Ω process
trace operator
Jacobian determinant
Hessian
Moyal product
Olver 1999
Olver 1999
Olver, Peter J.
Cambridge University Press
ISBN
978-0-521-55821-1
Olver, Peter J.
CiteSeerX
10.1.1.46.803
doi
10.1006/aama.2000.0700
ISSN
0196-8858
MR
1783553
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