8372:
4694:
2610:
3659:
7275:
8533:
8103:
7812:
3336:
7628:
4467:
3111:
6890:
6303:
This way a certain parallelism between the two integrals is observed. However an imperceptible rupture occurs when other properties are analysed, such as the absolute integrability and the integrability of the derivatives of integrable differentiable functions.
7413:
7086:
8929:
In Washek
Pfeffer it is stated through the development of the theory of McShane integral, including measure theory, in relationship with already known properties of Lebesgue integral. In Charles Swartz that same equivalence is proved in Appendix 4.
4785:
1209:
In order to illustrate the above definition we analyse the McShane integrability of the functions described in the following examples, which are already known as
Henstock-Kurzweil integrable (see the paragraph 3 of the site of this Knowledge
8038:
2395:
3509:
8936:
Another perspective of the McShane integral is that it can be looked as new formulation of the
Lebesgue integral without using Measure Theory, as alternative to the courses of Frigyes Riesz and Bela Sz. Nagy or Serge Lang (see also).
3913:
5745:
2386:
7096:
8629:
8378:
8367:{\displaystyle \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq }
1130:
8792:
is, this way, an example of a
Henstock-Kurzweil integrable function which is not McShane integrable. That is, the class of McShane integrable functions is a strict subclass of the Henstock-Kurzweil integrable
7637:
3248:
538:
6299:
With respect to the integrals mentioned above, the proofs of these properties are identical excepting slight variations inherent to the differences of the correspondent definitions (see Washek
Pfeffer ).
6169:
8923:
This fact enables to conclude that with the McShane integral one formulates a kind of unification of the integration theory around
Riemann sums, which, after all, constitute the origin of that theory.
6291:
5226:
7491:
4689:{\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})\leq 2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}
298:
1559:
6529:
2982:
6760:
3444:
5917:
7284:
6742:
8854:
6359:
5545:
3241:
221:
6968:
5627:
3794:
1756:
604:
6583:
2272:
8933:
Furtherly to the book by Russel Gordon , on this subject we call the attention of the reader also to the works by Robert McLeod and
Douglas Kurtz together with Charles W. Swartz.
4271:
3185:
5499:
2226:
1266:
1184:
934:
402:
5945:
4828:
3502:
1472:
960:
8896:
7899:
2812:
1912:
701:
1600:
888:
8096:
2972:
2174:
2130:
2036:
4902:
1316:
834:
7449:
4702:
4460:
3958:
2605:{\displaystyle |S(P,f)-(b-a)|=\textstyle \sum _{j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})+\textstyle \sum _{k=1}^{\mu }\displaystyle (x_{i_{k}}-x_{i_{k}-1}).}
1501:
3654:{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{if }}x=r_{n}{\text{ and }}n=1,2,...,\\1,&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}}
346:
9256:
9042:
4413:
4076:
2928:
2768:
1641:
1392:
8790:
8713:
7904:
6937:
6197:
3681:
2652:
1000:
980:
651:
8740:
8663:
6233:
4103:
3985:
6640:
1992:
1868:
1423:
6963:
6421:
6048:
1351:
5823:
4462:
Since each one of those intervals do not overlap the interior of the remaining, each one of these sequences gives rise in the
Riemann sum to subsums of the type
8915:
8876:
8760:
8683:
8556:
8058:
7484:
6911:
5988:
5968:
5768:
5408:
5356:
5301:
5249:
5117:
5033:
4978:
4926:
4005:
3358:
3133:
2632:
1443:
1204:
1020:
631:
422:
89:
7846:
6672:
6615:
6453:
6391:
6080:
6020:
5855:
5800:
5659:
5577:
5440:
5388:
5333:
5281:
5149:
5097:
5065:
5010:
4958:
4867:
3476:
1788:
1052:
123:
3801:
7270:{\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}
2281:
5664:
9235:
9210:
9018:
8528:{\displaystyle \geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}}
8561:
7807:{\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}
1060:
3331:{\displaystyle d(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational,}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational,}}\end{cases}}}
9185:
9160:
9110:
9070:
427:
6085:
7623:{\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}
6237:
8946:
8802:
The more surprising result of the McShane integral is stated in the following theorem, already announced in the introduction.
5154:
840:
36:
9135:
3106:{\displaystyle |S(P,f)-(b-a)|<2\delta (a)+2\delta (b)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}
232:
1506:
6885:{\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}
6458:
7408:{\displaystyle h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}
355:. It's also the only difference between the definitions of the Henstock-Kurzweil integral and the McShane integral.
3366:
1211:
7081:{\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}
5860:
8813:
6318:
5504:
3200:
131:
3686:
1648:
550:
2230:
6542:
4869:, both Henstock-Kurzweil and McShane integrals satisfy the elementary properties enumerated below, where by
6677:
4108:
3140:
5582:
5448:
2179:
1225:
1143:
893:
361:
5922:
4792:
3481:
1451:
939:
8881:
2773:
1873:
7854:
659:
7693:
7522:
7308:
7125:
6784:
4780:{\textstyle 0\leq S(P,f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }
3533:
3272:
1564:
858:
6747:
In order to illustrate these theorems we analyse the following example based upon
Example 2.4.12.
2933:
2135:
2043:
1997:
9036:
8063:
8033:{\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}
1396:
As is well known, this function is
Riemann integrable and the correspondent integral is equal to
1271:
708:
351:
The fact that the tags are allowed to be outside the subintervals is why the partition is called
4872:
4418:
3921:
1477:
1206:
is also Henstock-Kurzweil integrable. Both integrals coincide in the regard of its uniqueness.
306:
9231:
9206:
9181:
9156:
9131:
9106:
9076:
9066:
9024:
9014:
8986:
4276:
4010:
3189:
The next example proves the existence of a distinction between Riemann and McShane integrals.
2977:
Since each one of those intervals do not overlap the interior of all the remaining, we obtain
2819:
2659:
40:
32:
6916:
6176:
3666:
2637:
1605:
1356:
985:
965:
636:
8978:
844:
9010:
Theories of integration: the integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and McShane
8718:
8641:
7420:
6202:
4081:
3963:
1919:
1795:
1399:
6942:
6396:
6027:
8770:
8693:
5805:
1321:
8900:
8861:
8745:
8668:
8541:
8043:
7454:
6896:
5973:
5953:
5753:
5393:
5341:
5286:
5234:
5102:
5018:
4963:
4911:
3990:
3343:
3118:
2617:
1428:
1189:
1005:
616:
407:
74:
7819:
6645:
6588:
6426:
6364:
6053:
5993:
5828:
5773:
5632:
5550:
5413:
5361:
5306:
5254:
5122:
5070:
5038:
4983:
4931:
4840:
3908:{\displaystyle S(P,f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}
3449:
1761:
1025:
96:
9250:
6620:
843:, this provides flexibility (especially near problematic points) not given by the
3987:
is irrational, we can exclude in the sequence of ordered pairs which constitute
20:
8634:
From this example we are able to conclude the following relevant consequences:
2381:{\displaystyle S(f,P)=\sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})}
839:
Intuitively, the gauge controls the widths of the subintervals. Like with the
9028:
8990:
9080:
4787:, which proves that the Dirichlet's function is McShane integrable and that
9008:
5740:{\textstyle \int _{a}^{b}(f\circ \phi )|\phi '|=\int _{\alpha }^{\beta }f}
9060:
1445:
is also McShane integrable and that its integral assumes the same value.
24:
8966:
8624:{\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }
9065:. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 157–163.
8982:
8638:
I) Theorem 1 is no longer true for Henstock-Kurzweil integral since
3360:
is integrable in the MacShane sense and that its integral is zero.
1125:{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f-S(f,P)\right|<\varepsilon .}
6311:
Theorem 1 (on the absolute integrability of the McShane integral)
4904:
we denote indistinctly the value of anyone of those inetegrals.
3340:
which one knows to be not Riemann integrable. We will show that
7486:
then by the properties 6 and 7, the same holds to the function
533:{\displaystyle S(f,P)=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(a_{i}-a_{i-1}).}
6535:
Theorem 2 (fundamental theorem of Henstock-Kurzweil integral)
6164:{\textstyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}
8690:
II) Theorem 2 does not hold for McShane integral. Otherwise
7800:
7616:
7401:
7263:
6878:
5501:
be a differentiable and strictly monotonous function. Then
3647:
3324:
9013:(2nd ed.). Singapore: World Scientific. p. 247.
6286:{\textstyle \Rightarrow \int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g}
4105:
is irrational. The remainder are subsequences of the type
5221:{\textstyle \int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f=\int _{a}^{b}f}
8926:
So far is not known an immediate proof of such theorem.
1186:
is integrable according to the McShane definition, then
9062:
The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock
8098:, we should obtain taking into account the property 5:
8564:
8066:
7907:
7857:
7640:
7494:
7099:
6971:
6680:
6623:
6545:
6461:
6240:
6088:
5863:
5667:
5585:
5157:
4875:
4733:
4705:
4565:
4471:
4470:
3826:
2523:
2448:
1608:
1359:
1324:
9155:. U. S. A.: The Mathematical Association of America.
8903:
8884:
8864:
8816:
8773:
8748:
8721:
8696:
8671:
8644:
8544:
8381:
8106:
8046:
7901:
anyone of such integrals, we should have necessarily
7822:
7457:
7423:
7287:
6945:
6919:
6899:
6763:
6648:
6591:
6429:
6399:
6367:
6321:
6205:
6179:
6056:
6030:
5996:
5976:
5956:
5925:
5831:
5808:
5776:
5756:
5635:
5553:
5507:
5451:
5416:
5396:
5364:
5344:
5309:
5289:
5257:
5237:
5125:
5105:
5073:
5041:
5021:
4986:
4966:
4934:
4914:
4843:
4795:
4750:
4587:
4493:
4421:
4279:
4111:
4084:
4013:
3993:
3966:
3924:
3848:
3804:
3689:
3669:
3512:
3484:
3452:
3369:
3346:
3251:
3203:
3143:
3121:
2985:
2936:
2822:
2776:
2662:
2640:
2620:
2545:
2470:
2398:
2327:
2284:
2233:
2182:
2138:
2046:
2000:
1922:
1876:
1798:
1764:
1651:
1567:
1509:
1480:
1454:
1431:
1402:
1274:
1228:
1192:
1146:
1063:
1028:
1008:
988:
968:
942:
896:
861:
711:
662:
639:
619:
553:
430:
410:
364:
309:
293:{\displaystyle a=a_{0}<a_{1}<\dots <a_{n}=b}
235:
134:
99:
77:
1554:{\displaystyle \delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4}
6307:On this matter the following theorems hold (see ).
8909:
8890:
8870:
8848:
8784:
8754:
8734:
8707:
8677:
8657:
8623:
8550:
8527:
8366:
8090:
8052:
8032:
7893:
7840:
7806:
7622:
7478:
7443:
7417:is continuous and, by the Theorem 2, the function
7407:
7269:
7080:
6957:
6931:
6905:
6884:
6736:
6666:
6634:
6609:
6577:
6524:{\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}
6523:
6447:
6415:
6385:
6353:
6285:
6227:
6191:
6163:
6074:
6042:
6014:
5982:
5962:
5939:
5911:
5849:
5817:
5794:
5762:
5739:
5653:
5621:
5571:
5539:
5493:
5434:
5402:
5382:
5350:
5327:
5295:
5275:
5243:
5220:
5143:
5111:
5091:
5059:
5027:
5004:
4972:
4952:
4920:
4896:
4861:
4822:
4779:
4688:
4454:
4407:
4265:
4097:
4070:
3999:
3979:
3952:
3907:
3788:
3675:
3653:
3496:
3470:
3438:
3352:
3330:
3235:
3179:
3127:
3105:
2966:
2922:
2806:
2762:
2646:
2626:
2604:
2380:
2266:
2220:
2168:
2124:
2030:
1986:
1906:
1862:
1782:
1750:
1635:
1594:
1553:
1495:
1466:
1437:
1417:
1386:
1345:
1310:
1260:
1198:
1178:
1124:
1046:
1014:
994:
974:
954:
928:
882:
828:
695:
645:
625:
598:
532:
416:
396:
340:
292:
215:
117:
83:
9007:Kurtz, Douglas S. and Swartz, Charles W. (2012).
8566:
7021:
6973:
3446:the set of all rational numbers of the interval
3439:{\displaystyle \{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}}
3243:the well known Dirichlet's function given by
8:
9041:: CS1 maint: multiple names: authors list (
5912:{\textstyle \int _{a}^{b}kf=k\int _{a}^{b}f}
3783:
3696:
3433:
3370:
1745:
1658:
210:
135:
39:. The McShane integral is equivalent to the
9228:Real and Functional Analysis (3rd. Edition)
8849:{\displaystyle f:\rightarrow \mathbb {R} }
6354:{\displaystyle f:\rightarrow \mathbb {R} }
5540:{\displaystyle f:\rightarrow \mathbb {R} }
4837:For real functions defined on an interval
3236:{\displaystyle d:\rightarrow \mathbb {R} }
216:{\displaystyle \{(t_{i},):1\leq i\leq n\}}
8902:
8883:
8863:
8842:
8841:
8815:
8772:
8747:
8726:
8720:
8695:
8670:
8649:
8643:
8602:
8596:
8585:
8569:
8563:
8543:
8515:
8509:
8498:
8484:
8470:
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8441:
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8300:
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8170:
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8111:
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7912:
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7862:
7856:
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7680:
7665:
7656:
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7556:
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7525:
7517:
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7493:
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6818:
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6685:
6679:
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6570:
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5677:
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5666:
5634:
5614:
5601:
5584:
5552:
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5532:
5506:
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5288:
5256:
5236:
5209:
5204:
5188:
5183:
5167:
5162:
5156:
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5020:
4985:
4965:
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4913:
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4880:
4874:
4842:
4805:
4800:
4794:
4763:
4754:
4738:
4704:
4674:
4665:
4653:
4620:
4615:
4600:
4595:
4581:
4570:
4545:
4540:
4525:
4520:
4504:
4487:
4476:
4469:
4420:
4393:
4374:
4358:
4339:
4318:
4313:
4292:
4287:
4278:
4249:
4244:
4223:
4218:
4202:
4166:
4161:
4140:
4135:
4119:
4110:
4089:
4083:
4056:
4037:
4021:
4012:
3992:
3971:
3965:
3935:
3923:
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3875:
3859:
3842:
3831:
3803:
3741:
3722:
3706:
3688:
3668:
3639:
3631:
3584:
3578:
3563:
3543:
3528:
3511:
3483:
3451:
3415:
3390:
3377:
3368:
3345:
3316:
3308:
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3283:
3267:
3250:
3229:
3228:
3202:
3153:
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3142:
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3071:
3027:
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2984:
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2861:
2856:
2835:
2830:
2821:
2775:
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2696:
2675:
2670:
2661:
2639:
2619:
2578:
2573:
2558:
2553:
2539:
2528:
2503:
2498:
2483:
2478:
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2453:
2440:
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2397:
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2355:
2340:
2335:
2321:
2310:
2283:
2232:
2192:
2187:
2181:
2137:
2108:
2103:
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2077:
2059:
2054:
2045:
1999:
1970:
1965:
1944:
1939:
1921:
1875:
1846:
1841:
1820:
1815:
1797:
1763:
1703:
1684:
1668:
1650:
1607:
1566:
1543:
1508:
1479:
1453:
1430:
1401:
1358:
1323:
1273:
1254:
1253:
1227:
1191:
1172:
1171:
1145:
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1073:
1062:
1027:
1007:
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967:
941:
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921:
895:
871:
866:
860:
811:
792:
776:
757:
738:
719:
710:
661:
638:
618:
552:
512:
499:
483:
467:
456:
429:
409:
390:
389:
363:
314:
308:
278:
259:
246:
234:
180:
161:
145:
133:
98:
76:
9105:. New York: Cambridge University Press.
8715:should be McShane integrable as well as
3789:{\displaystyle P=\{(t_{i},):i=1,...,n\}}
1751:{\displaystyle P=\{(t_{i},):i=1,...,n\}}
599:{\displaystyle \delta :\to (0,+\infty )}
9257:Definitions of mathematical integration
9230:. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.
9176:Riesz, Frigys e Sz.-Nagy, BĂ©la (1990).
8957:
6578:{\textstyle F:\rightarrow \mathbb {R} }
2267:{\displaystyle (\lambda +\mu +\nu =n).}
9034:
8920:The correspondent integrals coincide.
8060:. Then through the change of variable
6737:{\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}
1790:can be decomposed into sequences like
8558:is an arbitrary positive integer and
7848:for none of the mentioned integrals.
4980:is integrable on each subinterval of
4266:{\displaystyle (r_{k},),...,(r_{k},)}
7:
9096:
9094:
9092:
9090:
9054:
9052:
9002:
9000:
8665:is Henstock-Kurzweil integrable and
3504:let's formulate the following gauge
613:We say that a free tagged partition
9103:The Riemann Approach to Integration
8798:Relationship with Lebesgue Integral
7451:is Henstock-Kurzweil integrable on
6913:is obviously differentiable at any
6642:is Henstock-Kurzweil integrable on
5622:{\textstyle (f\circ \phi )|\phi '|}
3180:{\displaystyle \int _{a}^{b}f=b-a.}
8618:
8576:
5494:{\displaystyle \phi :\rightarrow }
2276:This way, we have the Riemann sum
2221:{\displaystyle t_{i_{r}}\in ]a,b[}
1261:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} }
1179:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} }
929:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} }
590:
397:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} }
14:
8971:The American Mathematical Monthly
8967:"A Unified Theory of Integration"
6939:and differentiable, as well, at
5940:{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
4823:{\displaystyle \int _{a}^{b}d=0.}
3497:{\displaystyle \varepsilon >0}
1467:{\displaystyle \varepsilon >0}
955:{\displaystyle \varepsilon >0}
9153:The Generalized Riemann Integral
8891:{\displaystyle \Leftrightarrow }
7894:{\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}
7851:In fact, otherwise, denoting by
2807:{\displaystyle j=1,...,\lambda }
1907:{\displaystyle j=1,...,\lambda }
9128:Introduction to Gauge Integrals
696:{\displaystyle i=1,2,\dots ,n,}
8885:
8838:
8835:
8823:
8573:
8471:
8467:
8458:
8448:
8351:
8347:
8338:
8328:
8252:
8248:
8239:
8229:
8180:
8176:
8155:
8145:
8017:
8013:
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7982:
7932:
7926:
7882:
7876:
7835:
7823:
7742:
7738:
7717:
7707:
7681:
7677:
7671:
7657:
7650:
7644:
7562:
7541:
7511:
7505:
7470:
7458:
7438:
7432:
7344:
7323:
7297:
7291:
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7188:
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7140:
7114:
7108:
7028:
7004:
6998:
6980:
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6803:
6773:
6767:
6731:
6725:
6716:
6710:
6661:
6649:
6604:
6592:
6567:
6564:
6552:
6517:
6509:
6486:
6463:
6442:
6430:
6423:is also McShane integrable on
6409:
6401:
6380:
6368:
6343:
6340:
6328:
6241:
6116:
6104:
6069:
6057:
6009:
5997:
5844:
5832:
5789:
5777:
5712:
5699:
5695:
5683:
5648:
5636:
5615:
5602:
5598:
5586:
5566:
5554:
5529:
5526:
5514:
5488:
5476:
5473:
5470:
5458:
5429:
5417:
5377:
5365:
5322:
5310:
5270:
5258:
5138:
5126:
5086:
5074:
5054:
5042:
4999:
4987:
4947:
4935:
4856:
4844:
4727:
4715:
4659:
4646:
4634:
4588:
4559:
4513:
4510:
4497:
4402:
4399:
4386:
4364:
4351:
4332:
4326:
4280:
4260:
4257:
4211:
4195:
4177:
4174:
4128:
4112:
4065:
4062:
4030:
4014:
3941:
3928:
3900:
3868:
3865:
3852:
3820:
3808:
3750:
3747:
3715:
3699:
3522:
3516:
3465:
3453:
3261:
3255:
3225:
3222:
3210:
3065:
3059:
3047:
3041:
3028:
3024:
3012:
3006:
2994:
2987:
2917:
2914:
2908:
2893:
2887:
2875:
2869:
2823:
2757:
2754:
2748:
2733:
2727:
2715:
2709:
2663:
2592:
2546:
2517:
2471:
2441:
2437:
2425:
2419:
2407:
2400:
2374:
2328:
2300:
2288:
2258:
2234:
2215:
2203:
2119:
2116:
2070:
2047:
1981:
1978:
1932:
1923:
1857:
1854:
1808:
1799:
1777:
1765:
1712:
1709:
1677:
1661:
1627:
1615:
1595:{\displaystyle \delta (t)=b-a}
1577:
1571:
1534:
1528:
1519:
1513:
1490:
1484:
1448:For that purpose, for a given
1378:
1366:
1334:
1328:
1299:
1293:
1284:
1278:
1250:
1247:
1235:
1168:
1165:
1153:
1140:It's clear that if a function
1105:
1093:
1041:
1029:
918:
915:
903:
883:{\displaystyle \int _{a}^{b}f}
820:
817:
804:
782:
769:
750:
744:
712:
593:
578:
575:
572:
560:
524:
492:
489:
476:
446:
434:
386:
383:
371:
335:
323:
189:
186:
154:
138:
112:
100:
16:Integral in integration theory
1:
9205:. New York: Springer-Verlag.
8631:, we obtain a contradiction.
6755:Let's consider the function:
4833:Relationship with Derivatives
1002:-fine free tagged partitions
8091:{\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}
3683:-fine free tagged partition
2967:{\displaystyle k=1,...,\mu }
2169:{\displaystyle r=1,...,\nu }
2125:{\displaystyle (t_{i_{r}},)}
2031:{\displaystyle k=1,...,\mu }
404:and a free tagged partition
9101:Pfeffer, Washek F. (1993).
9059:Gordon, Russell A. (1994).
4897:{\textstyle \int _{a}^{b}f}
1311:{\displaystyle f(a)=f(b)=0}
890:is the McShane integral of
829:{\displaystyle \subseteq .}
35:, is a modification of the
9273:
9151:McLeod, Robert M. (1980).
8947:Henstock-Kurzweil integral
4455:{\displaystyle j=1,...,k.}
3953:{\displaystyle f(t_{i})=0}
3135:is McShane integrable and
1645:Any free tagged partition
1496:{\displaystyle \delta (t)}
1212:Henstock-Kurzweil integral
841:Henstock-Kurzweil integral
37:Henstock-Kurzweil integral
8040:for any positive integer
6361:is McShane integrable on
3918:Taking into account that
3796:consider its Riemann sum
1474:, let's choose the gauge
341:{\displaystyle t_{i}\in }
9126:Swartz, Charles (2001).
8917:is Lebesgue integrable.
4408:{\displaystyle \subset }
4071:{\displaystyle (t_{i},)}
2923:{\displaystyle \subset }
2763:{\displaystyle \subset }
2654:-fine partition we have
1636:{\textstyle t\in ]a,b[.}
1387:{\textstyle x\in ]a,b[.}
56:Given a closed interval
8965:McShane, E. J. (1973).
6932:{\displaystyle x\neq 0}
6192:{\displaystyle f\leq g}
3676:{\displaystyle \delta }
2647:{\displaystyle \delta }
1425:We will show that this
995:{\displaystyle \delta }
975:{\displaystyle \delta }
646:{\displaystyle \delta }
9203:Undergraduate Analysis
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8742:and by Theorem 1, as
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8660:
8658:{\displaystyle g_{0}}
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70:free tagged partition
52:Free tagged partition
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8868:
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5770:is integrable on
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5410:is integrable on
5403:{\displaystyle f}
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3079:
2634:is a free tagged
2627:{\displaystyle P}
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1199:{\displaystyle f}
1015:{\displaystyle P}
626:{\displaystyle P}
610:in this context.
417:{\displaystyle P}
84:{\displaystyle P}
41:Lebesgue integral
33:Edward J. McShane
19:In the branch of
9264:
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9217:
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