1955:
1349:
2501:
1950:{\displaystyle {\begin{aligned}V_{j}(r_{i})&=\epsilon _{jki}r_{k}\\0&={\mathcal {L}}_{V}E_{i}dr_{i}+E_{i}{\mathcal {L}}_{V}dr_{i}\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}V_{j}(dr_{i})\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}d(V_{j}(r_{i}))\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}\epsilon _{jki}dr_{k}\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+\epsilon _{jki}E_{k}dr_{i}\\V_{j}(E_{i})&=-\epsilon _{jki}E_{k}\\\end{aligned}}}
195:
512:
1317:
356:
625:
725:
76:
1079:
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936:
1156:
208:
525:
634:
190:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu \varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}
949:
2368:
Thus, we find that the magnetic field is static. Similarly, using the second rotational invariance equation, we can find that the electric field is static. Therefore, the solution must be static.
507:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times E(r,t)\mathbf {\hat {r}} =0,\\\nabla \times \mathbf {B} &=\nabla \times B(r,t)\mathbf {\hat {r}} =0.\end{aligned}}}
1354:
1161:
954:
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370:
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1312:{\displaystyle {\begin{aligned}V_{i}&=\epsilon _{ijk}r_{j}{\frac {\partial }{\partial {r_{k}}}}\\{\mathcal {L}}_{V}(E)&=0\\{\mathcal {L}}_{V}(B)&=0.\end{aligned}}}
807:
2326:
2220:
2363:
203:. The field is purely radial as non-radial components cannot be invariant under rotation, which would be necessary for symmetry. Therefore, we can rewrite the fields as
351:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=E(r,t)\mathbf {\hat {r}} ,\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=B(r,t)\mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}
620:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=0,\\-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&=0.\end{aligned}}}
2542:
2278:
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2168:
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720:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=0,\\{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&=0.\end{aligned}}}
2566:
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2447:
1074:{\displaystyle {\begin{aligned}dB&=0\\d{\star E}&=0\\\star d{\star E}&={\dot {E}}\\dE&=-{\dot {B}}\end{aligned}}}
2571:
2528:
200:
931:{\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{i}dr_{i}\\B&=\epsilon _{ijk}B_{i}dr_{j}\wedge dr_{k}\end{aligned}}}
2561:
2024:
629:
Simply dividing by the constant coefficients, we find that both the magnetic and electric field are static
2284:
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1963:
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740:
199:
Since the fields are spherically symmetric, they depend only on the radial distance in
44:
2555:
56:
52:
1129:
2386:
2422:
39:
is necessarily static. Pappas (1984) gives two proofs of this theorem, using
2457:
2437:
2095:
Because the product of the components of the vector are just its length
35:. It states that any spherically symmetric solution of the source-free
2150:
And substituting back into our equation and rewriting for a function
758:
735:
2414:
2439:
Differential Forms with
Applications to the Physical Sciences
1483:
1433:
1275:
1238:
944:, we can rewrite Maxwell's Equations with these forms as
2516:
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1966:
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766:
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368:
211:
79:
1084:The spherical symmetry condition requires that the
24:concerns spherically symmetric static solutions of
2357:
2320:
2272:
2241:
2214:
2162:
2139:
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2000:under rotation and we can write for some function
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1972:
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506:
350:
189:
516:Moreover, we can substitute into the source-free
488:
421:
335:
269:
2536:
8:
2442:. New York: Academic Press. pp. 46–47.
360:We find that the curls must be zero, since,
2543:
2529:
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1151:that represents their rotations are zero
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2377:
2085:{\displaystyle E=g(r^{2},t)r_{i}dr_{i}}
2463:
7:
2497:
2495:
1325:as the directional derivative along
63:Derivation from Maxwell's equations
2515:. You can help Knowledge (XXG) by
1213:
1209:
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655:
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108:
84:
14:
2385:Pappas, Richard C. (March 1984).
2499:
2140:{\displaystyle r_{i}r_{i}=r^{2}}
802:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
730:Derivation using Lie derivatives
688:
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2484:Birkhoff's theorem (relativity)
49:Birkhoff's theorem (relativity)
2321:{\displaystyle dE=-{\dot {B}}}
2249:, we find by definition that,
2209:
2190:
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2037:
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260:
248:
235:
221:
16:In physics, in the context of
1:
2567:Eponymous theorems of physics
2470:: CS1 maint: date and year (
2215:{\displaystyle E=df(r^{2},t)}
2358:{\displaystyle {\dot {B}}=0}
2395:American Journal of Physics
47:. It is a limiting case of
2588:
2494:
2481:
2436:Flanders, Harley (1963).
1321:By the definition of the
62:
26:Maxwell's field equations
2572:Electromagnetism stubs
2511:-related article is a
2359:
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31:The theorem is due to
2488:George David Birkhoff
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201:spherical coordinates
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1128:with respect to the
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2407:1984AmJPh..52..255P
2391:in electrodynamics"
2227:exterior derivative
942:Hodge star operator
69:Maxwell's equations
41:Maxwell's equations
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33:George D. Birkhoff
22:Birkhoff's theorem
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2163:{\displaystyle f}
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1993:{\displaystyle r}
1980:is equivalent to
1973:{\displaystyle E}
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773:{\displaystyle B}
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518:Maxwell equations
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