584:
589:
1804:
The circular law result was extended in 1985 by Girko to an elliptical law for ensembles of matrices with a fixed amount of correlation between the entries above and below the diagonal. The elliptic and circular laws were further generalized by
Aceituno, Rogers and Schomerus to the hypotrochoid law
341:
1513:
945:
1790:. In the 1980s, Vyacheslav Girko introduced an approach which allowed to establish the circular law for more general distributions. Further progress was made by Zhidong Bai, who established the circular law under certain smoothness assumptions on the distribution.
1290:
1389:
1384:
172:
579:{\displaystyle \rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}
1000:
714:
808:
800:
759:
233:
1143:
1730:
1772:
1636:
1683:
74:
46:
1218:
650:
272:
1223:
1801:, Guangming Pan and Wang Zhou, and Friedrich Götze and Alexander Tikhomirov. Finally, in 2010 Tao and Vu proved the circular law under the minimal assumptions stated above.
1566:
1074:
308:
1540:
1180:
1038:
336:
1297:
592:
Plot of the real and imaginary parts (scaled by sqrt(1000)) of the eigenvalues of a 1000x1000 matrix with independent, standard normal entries.
107:
1508:{\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}
1079:
1685:
almost surely falls uniformly on the unit disc. and the edge statistics theorem states that the radius of the almost-unit-disk is about
957:
940:{\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).}
655:
93:
2235:
Aceituno, P.V.; Rogers, T.; Schomerus, H. (2019). "Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations".
764:
723:
1814:
177:
1688:
1735:
1571:
1002:
1649:
2302:
1185:
604:
238:
2254:
1911:
1868:
1549:
1043:
2278:
2244:
2198:
2172:
2138:
2112:
2085:
2067:
2040:
2014:
1856:
1835:
17:
2270:
1884:
280:
2262:
2182:
2122:
2077:
2024:
1977:
1919:
1876:
2194:
2134:
2036:
1991:
1931:
1518:
1285:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}
1158:
1016:
2190:
2130:
2032:
1987:
1927:
60:
21:
1902:
Ginibre, Jean (1965). "Statistical ensembles of complex, quaternion, and real matrices".
2258:
2058:
Pan, G.; Zhou, W. (2010). "Circular law, extreme singular values and potential theory".
1915:
1872:
321:
78:
1880:
2296:
2282:
951:
42:
2202:
2044:
2142:
2089:
1787:
2266:
2156:
1794:
717:
29:
2081:
1379:{\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}
2028:
1543:
1982:
1965:
1888:
1798:
2274:
235:, with all their entries sampled IID from the standard normal distribution
2103:
Götze, F.; Tikhomirov, A. (2010). "The circular law for random matrices".
167:{\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}}
82:
1857:"A limit theorem at the edge of a non-Hermitian random matrix ensemble"
2186:
2126:
1923:
1834:
Meckes, Elizabeth (2021-01-08). "The
Eigenvalues of Random Matrices".
588:
2163:(2010). "Random matrices: Universality of ESD and the Circular Law".
2160:
2249:
1840:
2177:
2117:
2072:
2019:
587:
995:{\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}}
2005:
Tao, T.; Vu, V.H. (2008). "Random matrices: the circular law".
1782:
For random matrices with
Gaussian distribution of entries (the
709:{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n}
652:
be a sequence sampled from the complex
Ginibre ensemble. Let
918:
244:
795:{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}
754:{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}
75:
independent and identically distributed random variables
1646:. In words, the circular law says that the spectrum of
228:{\displaystyle Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
1145:
We have the following theorem for the edge statistics:
1040:
be sampled from the real or complex ensemble, and let
954:(i.e. with probability one), the sequence of measures
1793:
The assumptions were further relaxed in the works of
1738:
1691:
1652:
1574:
1552:
1521:
1392:
1300:
1226:
1188:
1161:
1138:{\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}
1082:
1046:
1019:
961:
960:
811:
768:
767:
727:
726:
658:
607:
344:
324:
283:
241:
180:
110:
1786:), the circular law was established in the 1960s by
1725:{\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}
2171:(5). appendix by Manjunath Krishnapur: 2023–2065.
1767:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}
1766:
1724:
1677:
1630:
1560:
1534:
1507:
1378:
1284:
1212:
1174:
1137:
1068:
1032:
994:
939:
794:
753:
708:
644:
578:
330:
302:
266:
227:
166:
1631:{\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}
1228:
1106:
1076:be the absolute value of its maximal eigenvalue:
47:independent and identically distributed entries
1861:Journal of Physics A: Mathematical and General
8:
900:
869:
92:, the limiting spectral distribution is the
1678:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}
1149:
761:. Define the empirical spectral measure of
104:The complex Ginibre ensemble is defined as
1805:which includes higher order correlations.
2248:
2176:
2116:
2071:
2018:
1981:
1839:
1755:
1739:
1737:
1705:
1698:
1690:
1669:
1653:
1651:
1617:
1609:
1580:
1579:
1573:
1554:
1553:
1551:
1526:
1520:
1480:
1473:
1454:
1431:
1418:
1406:
1397:
1391:
1324:
1305:
1299:
1266:
1243:
1231:
1225:
1200:
1187:
1166:
1160:
1130:
1124:
1115:
1109:
1093:
1081:
1057:
1045:
1024:
1018:
1005:to the uniform measure on the unit disk.
983:
967:
966:
959:
927:
926:
917:
916:
888:
857:
833:
817:
816:
810:
785:
769:
766:
744:
728:
725:
682:
663:
657:
636:
625:
615:
606:
570:
559:
546:
512:
497:
487:
472:
461:
428:
417:
407:
397:
383:
364:
349:
343:
323:
294:
282:
243:
242:
240:
213:
209:
208:
198:
185:
179:
158:
142:
133:
117:
109:
2216:Girko, V.L. (1985). "The elliptic law".
1945:Girko, V.L. (1984). "The circular law".
277:The real Ginibre ensemble is defined as
1826:
1213:{\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}
1150:Edge statistics of the Ginibre ensemble
645:{\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}
2218:Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya
1947:Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya
1568:with cumulative distribution function
7:
1644:circular law of the Ginibre ensemble
59:It asserts that for any sequence of
1546:, i.e., the probability measure on
267:{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}
1587:
1584:
1581:
1238:
866:
637:
14:
1542:converges in distribution to the
20:, more specifically the study of
1220:as above, with probability one,
1774:, according to the Gumbel law.
1732:, and fluctuates on a scale of
909:
1815:Wigner semicircle distribution
1599:
1593:
1373:
1370:
1364:
1355:
1235:
1131:
1116:
1099:
1086:
1063:
1050:
931:
923:
847:
841:
622:
608:
261:
249:
1:
28:concerns the distribution of
1561:{\displaystyle \mathbb {R} }
1069:{\displaystyle \rho (G_{n})}
338:are distributed according to
2267:10.1103/PhysRevE.100.010302
1881:10.1088/0305-4470/36/12/331
2319:
2082:10.1016/j.jmva.2009.08.005
2029:10.1142/s0219199708002788
1642:This theorem refines the
1003:converges in distribution
1855:Rider, B (2003-03-28).
303:{\displaystyle X=Z_{1}}
1983:10.1214/aop/1024404298
1768:
1726:
1679:
1632:
1562:
1536:
1509:
1380:
1286:
1214:
1176:
1139:
1070:
1034:
996:
941:
796:
755:
710:
646:
593:
580:
477:
433:
332:
304:
268:
229:
168:
2165:Annals of Probability
2105:Annals of Probability
2007:Commun. Contemp. Math
1970:Annals of Probability
1769:
1727:
1680:
1633:
1563:
1537:
1535:{\displaystyle Y_{n}}
1510:
1381:
1287:
1215:
1177:
1175:{\displaystyle G_{n}}
1140:
1071:
1035:
1033:{\displaystyle G_{n}}
997:
942:
797:
756:
711:
647:
591:
581:
457:
413:
333:
305:
269:
230:
169:
2060:J. Multivariate Anal
1736:
1689:
1650:
1572:
1550:
1519:
1390:
1298:
1224:
1186:
1159:
1080:
1044:
1017:
958:
809:
765:
724:
656:
605:
342:
322:
281:
239:
178:
108:
96:over the unit disc.
94:uniform distribution
2259:2019PhRvE.100a0302A
1916:1965JMP.....6..440G
1873:2003JPhA...36.3401R
1153: —
641:
318:The eigenvalues of
1964:Bai, Z.D. (1997).
1764:
1722:
1675:
1628:
1558:
1532:
1505:
1376:
1282:
1242:
1210:
1172:
1151:
1135:
1114:
1066:
1030:
992:
991:
937:
792:
791:
751:
750:
706:
642:
621:
594:
576:
535:
328:
300:
264:
225:
164:
73:whose entries are
18:probability theory
2237:Physical Review E
2187:10.1214/10-AOP534
2127:10.1214/09-aop522
1924:10.1063/1.1704292
1867:(12): 3401–3409.
1784:Ginibre ensembles
1762:
1761:
1720:
1719:
1663:
1662:
1495:
1494:
1441:
1440:
1424:
1337:
1253:
1252:
1227:
1105:
977:
976:
905:
827:
826:
779:
778:
738:
737:
508:
441:
331:{\displaystyle X}
152:
151:
127:
126:
100:Ginibre ensembles
2310:
2287:
2286:
2252:
2232:
2226:
2225:
2213:
2207:
2206:
2180:
2153:
2147:
2146:
2120:
2111:(4): 1444–1491.
2100:
2094:
2093:
2075:
2055:
2049:
2048:
2022:
2002:
1996:
1995:
1985:
1961:
1955:
1954:
1942:
1936:
1935:
1899:
1893:
1892:
1852:
1846:
1845:
1843:
1831:
1773:
1771:
1770:
1765:
1763:
1760:
1759:
1744:
1740:
1731:
1729:
1728:
1723:
1721:
1718:
1710:
1709:
1700:
1699:
1684:
1682:
1681:
1676:
1674:
1673:
1664:
1658:
1654:
1637:
1635:
1634:
1629:
1627:
1626:
1625:
1624:
1592:
1591:
1590:
1567:
1565:
1564:
1559:
1557:
1541:
1539:
1538:
1533:
1531:
1530:
1514:
1512:
1511:
1506:
1501:
1497:
1496:
1493:
1485:
1484:
1475:
1474:
1463:
1459:
1458:
1442:
1436:
1432:
1425:
1423:
1422:
1407:
1402:
1401:
1385:
1383:
1382:
1377:
1342:
1338:
1336:
1325:
1310:
1309:
1291:
1289:
1288:
1283:
1275:
1271:
1270:
1254:
1248:
1244:
1241:
1219:
1217:
1216:
1211:
1209:
1205:
1204:
1181:
1179:
1178:
1173:
1171:
1170:
1154:
1144:
1142:
1141:
1136:
1134:
1129:
1128:
1119:
1113:
1098:
1097:
1075:
1073:
1072:
1067:
1062:
1061:
1039:
1037:
1036:
1031:
1029:
1028:
1001:
999:
998:
993:
990:
989:
988:
987:
978:
972:
968:
946:
944:
943:
938:
930:
922:
921:
903:
893:
892:
865:
864:
840:
839:
838:
837:
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822:
818:
801:
799:
798:
793:
790:
789:
780:
774:
770:
760:
758:
757:
752:
749:
748:
739:
733:
729:
715:
713:
712:
707:
687:
686:
668:
667:
651:
649:
648:
643:
640:
635:
620:
619:
585:
583:
582:
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575:
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565:
564:
563:
551:
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534:
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503:
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