3273:
2299:
3268:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n}}{z}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{j+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {(1+z)^{k}(1+w)^{k}}{z^{k}}}\;dw\;dz\\={}&{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n}}{z}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{j+1}}}\left(1-{\frac {(1+w)(1+z)}{z}}\right)^{n}\;dw\;dz\\={}&{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n}}{z^{n+1}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{j+1}}}(-1-w-wz)^{n}\;dw\;dz\\={}&{\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n}}{z^{n+1}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{j+1}}}(1+w+wz)^{n}\;dw\;dz.\end{aligned}}}
4875:
4344:
6161:
4011:
4870:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {1}{z^{n+1}}}{\frac {1}{(1-z)^{n+1}}}\sum _{k\geq 1}k{\frac {z^{k}}{(1-z)^{k}}}\;dz\\={}&{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {1}{z^{n+1}}}{\frac {1}{(1-z)^{n+1}}}{\frac {z/(1-z)}{(1-z/(1-z))^{2}}}\;dz\\={}&{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {1}{z^{n}}}{\frac {1}{(1-z)^{n}}}{\frac {1}{(1-2z)^{2}}}\;dz.\end{aligned}}}
5591:
1386:
3597:
7030:
1698:
6156:{\displaystyle {\begin{aligned}&4^{n-1}{n-1+1/2 \choose n-1}=4^{n-1}{n-1/2 \choose n-1}={\frac {4^{n-1}}{(n-1)!}}\prod _{q=0}^{n-2}(n-1/2-q)\\={}&{\frac {2^{n-1}}{(n-1)!}}\prod _{q=0}^{n-2}(2n-2q-1)={\frac {2^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!}}\\={}&{\frac {n^{2}}{2n}}{2n \choose n}={\frac {1}{2}}n{2n \choose n}.\end{aligned}}}
3560:
5576:
1111:
7839:
1058:
554:
4006:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n}}{z^{n+1}}}{n \choose j}(1+z)^{j}\;dz\\={}&{n \choose j}{\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n+j}}{z^{n+1}}}\;dz\\={}&(-1)^{n}{n \choose j}{n+j \choose n}\end{aligned}}}
275:
800:
56:(usually this is done by integrating over a small circular contour enclosing the origin). The sought-for identity can now be found using manipulations of integrals. Some of these manipulations are not clear from the generating function perspective. For instance, the integrand is usually a
6782:
1439:
3283:
4287:
5323:
2148:
5312:
1381:{\displaystyle \left={\frac {n!}{k!}}\;{\underset {z}{\mathrm {res} }}\;{\frac {1}{z^{n+1}}}\left(\log {\frac {1}{1-z}}\right)^{k}={\frac {n!}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\rho }{\frac {1}{z^{n+1}}}\left(\log {\frac {1}{1-z}}\right)^{k}\;dz}
2290:
7586:
853:
326:
7352:
7575:
8057:
1901:
77:
5147:
607:
7025:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {1}{z^{n}}}{\frac {1}{(1-z)^{n}}}{\frac {1}{(1-2z)^{2}}}\;dz={\underset {z}{\mathrm {res} }}{\frac {1}{z^{n}}}{\frac {1}{(1-z)^{n}}}{\frac {1}{(1-2z)^{2}}}}
1693:{\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {n!}{k!}}\;{\underset {z}{\mathrm {res} }}\;{\frac {(\exp(z)-1)^{k}}{z^{n+1}}}={\frac {n!}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\rho }{\frac {(\exp(z)-1)^{k}}{z^{n+1}}}\;dz}
2304:
4349:
3602:
5596:
3555:{\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n}}{z^{n+1}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{j+1}}}\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}w^{q}(1+z)^{q}\;dw\;dz.}
4111:
7960:
1995:
6549:
6500:
5571:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{n}}}{\frac {1}{1-4w}}(1-4w)^{-1/2}\;dw={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {1}{w^{n}}}{\frac {1}{(1-4w)^{3/2}}}\;dw.}
4101:
8077:
Marko Riedel, 2024, Computational examples of using the
Egorychev method to evaluate sums involving types of combinatorial numbers (parts 1 and 2, formal power series and residue operators
7099:
6358:
6461:
7152:
1738:
837:
312:
2002:
5158:
6392:
4987:
1423:
1095:
591:
6583:
6312:
7834:{\displaystyle {\underset {w}{\mathrm {res} }}{\frac {1}{w^{n+1}}}\left.\left\right|_{z=g(w)}={\underset {w}{\mathrm {res} }}{\frac {1}{w^{n}}}\left.\left\right|_{z=g(w).}}
6729:
6695:
6659:
6428:
1053:{\displaystyle ]={\underset {z}{\mathrm {res} }}\;{\frac {z^{k}}{z^{n+1}}}{\frac {1}{1-z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\rho }{\frac {z^{k}}{z^{n+1}}}{\frac {1}{1-z}}\;dz}
6763:
5007:
2155:
7202:
6619:
5043:
4951:
549:{\displaystyle {n \choose k}={\underset {z}{\mathrm {res} }}\;{\frac {1}{(1-z)^{k+1}z^{n-k+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\rho }{\frac {1}{(1-z)^{k+1}z^{n-k+1}}}\;dz}
6236:
4919:
6256:
7210:
4316:
7406:
6216:
6190:
3589:
7968:
7395:
7375:
4336:
270:{\displaystyle {n \choose k}={\underset {z}{\mathrm {res} }}\;{\frac {(1+z)^{n}}{z^{k+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\rho }{\frac {(1+z)^{n}}{z^{k+1}}}\;dz}
1753:
8082:
Marko Riedel, 2024, Computational examples of using the
Egorychev method to evaluate sums involving types of combinatorial numbers (part 3, complex variables
5051:
795:{\displaystyle n^{k}=k!\;{\underset {z}{\mathrm {res} }}\;{\frac {\exp(nz)}{z^{k+1}}}={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{|z|=\rho }{\frac {\exp(nz)}{z^{k+1}}}\;dz:}
8150:
6768:
This example also yields to simpler methods but was included here to demonstrate the effect of substituting into the variable of integration.
48:
and other combinatorial numbers. The method relies on two observations. First, many identities can be proved by extracting coefficients of
1428:
8155:
8108:
1100:
4282:{\displaystyle {2n \choose n+k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {1}{z^{n-k+1}}}{\frac {1}{(1-z)^{n+k+1}}}\;dz.}
5009:
small is another closed circle-like contour which makes one turn and which we may certainly deform to obtain another circle
7847:
1909:
6505:
6466:
4027:
8094:
60:, and the sum of the residues of a rational function is zero, yielding a new expression for the original sum. The
52:. Second, many generating functions are convergent power series, and coefficient extraction can be done using the
8071:
7038:
6317:
64:
is particularly important in these considerations. Some of the integrals employed by the
Egorychev method are:
8076:
6433:
2143:{\displaystyle {n+k \choose k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n+k}}{z^{k+1}}}\;dz}
8081:
7104:
5307:{\displaystyle dz=-{\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}\times (-4)\times (1-4w)^{-1/2}\;dw=(1-4w)^{-1/2}\;dw}
1708:
810:
285:
53:
25:
6363:
4956:
2285:{\displaystyle {k \choose j}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma }{\frac {(1+w)^{k}}{w^{j+1}}}\;dw.}
1396:
1068:
596:
564:
29:
6554:
6261:
6700:
6664:
6624:
6397:
61:
49:
6776:
We may use the change of variables rule 1.8 (5) from the
Egorychev text (page 16) on the integral
6734:
4992:
7157:
6588:
5012:
4924:
7347:{\displaystyle {\underset {w}{\mathrm {res} }}{\frac {1}{w^{n+1}}}\left.\left\right|_{z=g(w).}}
6221:
8104:
7570:{\displaystyle {\underset {w}{\mathrm {res} }}{\frac {1}{w^{n+1}}}\left.\left\right|_{z=g(w)}}
4883:
57:
37:
6241:
8127:
4295:
41:
33:
21:
8052:{\displaystyle {\underset {w}{\mathrm {res} }}{\frac {1}{w^{n}}}{\frac {1}{(1-4w)^{3/2}}}}
5582:
842:
45:
6195:
6169:
3568:
1896:{\displaystyle S_{j}(n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{n+k \choose k}{k \choose j}}
7380:
7360:
4321:
5142:{\displaystyle z={\frac {1-{\sqrt {1-4w}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad (1-2z)^{2}=1-4w}
8144:
8098:
8132:
8119:
8100:
Integral representation and the
Computation of Combinatorial sums
8072:
Hosam
Mahmoud, 2022, History and examples of Egorychev method
6218:
determines the choice of square root. For the conditions on
7759:
7633:
7453:
7257:
6258:
we have that for the series to converge we require
8062:
and the rest of the computation continues as before.
7971:
7955:{\displaystyle (1-2z)^{2}=1-4z+4z^{2}=1-4z(1-z)=1-4w}
7850:
7589:
7409:
7383:
7363:
7213:
7160:
7107:
7041:
6785:
6737:
6703:
6667:
6627:
6591:
6557:
6508:
6469:
6436:
6400:
6366:
6320:
6264:
6244:
6224:
6198:
6172:
5594:
5326:
5161:
5054:
5015:
4995:
4959:
4927:
4886:
4347:
4324:
4298:
4114:
4030:
3600:
3571:
3286:
2302:
2158:
2005:
1990:{\displaystyle (-1)^{n}{n \choose j}{n+j \choose j}.}
1912:
1756:
1711:
1442:
1399:
1114:
1071:
856:
813:
610:
567:
329:
288:
80:
6544:{\displaystyle \gamma =\epsilon ^{2}-\epsilon ^{3}.}
8051:
7954:
7833:
7569:
7389:
7369:
7346:
7196:
7146:
7093:
7024:
6757:
6723:
6689:
6653:
6613:
6577:
6543:
6495:{\displaystyle \gamma <\epsilon -\epsilon ^{2}}
6494:
6455:
6422:
6386:
6352:
6306:
6250:
6230:
6210:
6184:
6155:
5570:
5306:
5141:
5037:
5001:
4981:
4945:
4913:
4869:
4330:
4310:
4281:
4095:
4005:
3583:
3554:
3267:
2284:
2142:
1989:
1895:
1732:
1692:
1417:
1380:
1089:
1052:
831:
794:
585:
548:
306:
269:
6140:
6122:
6097:
6079:
5727:
5690:
5662:
5619:
4144:
4118:
4096:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{2n \choose n+k}.}
4084:
4058:
3993:
3972:
3963:
3950:
3790:
3777:
3728:
3715:
3497:
3484:
2506:
2493:
2175:
2162:
2030:
2009:
1978:
1957:
1948:
1935:
1887:
1874:
1865:
1844:
1835:
1822:
346:
333:
97:
84:
8:
7094:{\displaystyle A(z)={\frac {z}{(1-2z)^{2}}}}
6353:{\displaystyle \epsilon /(1-\epsilon )<1}
20:is a collection of techniques introduced by
6912:
6394:The closest that the image contour of
5558:
5445:
5297:
5251:
4853:
4709:
4514:
4269:
3908:
3756:
3542:
3535:
3251:
3244:
3022:
3015:
2808:
2801:
2579:
2572:
2272:
2133:
1683:
1503:
1484:
1371:
1175:
1156:
1043:
899:
782:
649:
630:
539:
373:
260:
124:
8131:
8036:
8032:
8007:
7999:
7990:
7974:
7972:
7970:
7901:
7870:
7849:
7807:
7790:
7765:
7749:
7740:
7724:
7722:
7698:
7681:
7639:
7617:
7608:
7592:
7590:
7588:
7546:
7515:
7489:
7465:
7459:
7437:
7428:
7412:
7410:
7408:
7382:
7362:
7320:
7263:
7241:
7232:
7216:
7214:
7212:
7159:
7123:
7106:
7082:
7057:
7040:
7013:
6988:
6979:
6957:
6949:
6940:
6924:
6922:
6903:
6878:
6869:
6847:
6839:
6830:
6817:
6809:
6808:
6786:
6784:
6747:
6736:
6713:
6702:
6676:
6668:
6666:
6634:
6626:
6600:
6592:
6590:
6567:
6556:
6532:
6519:
6507:
6486:
6468:
6447:
6435:
6409:
6401:
6399:
6376:
6365:
6324:
6319:
6293:
6273:
6265:
6263:
6243:
6223:
6197:
6171:
6139:
6121:
6119:
6106:
6096:
6078:
6076:
6060:
6054:
6050:
6010:
5980:
5946:
5940:
5898:
5887:
5849:
5843:
5839:
5815:
5791:
5780:
5742:
5736:
5726:
5705:
5689:
5687:
5675:
5661:
5640:
5618:
5616:
5604:
5595:
5593:
5581:This evaluates by inspection to (use the
5545:
5541:
5516:
5508:
5499:
5486:
5478:
5477:
5455:
5435:
5428:
5388:
5380:
5371:
5358:
5350:
5349:
5327:
5325:
5287:
5280:
5241:
5234:
5187:
5174:
5160:
5118:
5093:
5070:
5061:
5053:
5024:
5016:
5014:
4994:
4968:
4960:
4958:
4926:
4885:
4844:
4819:
4810:
4788:
4780:
4771:
4758:
4750:
4749:
4727:
4723:
4700:
4676:
4642:
4636:
4621:
4599:
4585:
4576:
4563:
4555:
4554:
4532:
4528:
4505:
4482:
4476:
4461:
4442:
4420:
4406:
4397:
4384:
4376:
4375:
4353:
4348:
4346:
4323:
4297:
4248:
4226:
4206:
4197:
4184:
4176:
4175:
4153:
4143:
4117:
4115:
4113:
4083:
4057:
4055:
4046:
4035:
4029:
3992:
3971:
3969:
3962:
3949:
3947:
3941:
3922:
3894:
3877:
3858:
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3837:
3836:
3812:
3796:
3789:
3776:
3774:
3770:
3750:
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3712:
3698:
3687:
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3655:
3647:
3646:
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3606:
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3238:
3199:
3190:
3177:
3169:
3168:
3146:
3132:
3121:
3102:
3089:
3081:
3080:
3056:
3040:
3036:
3009:
2967:
2958:
2945:
2937:
2936:
2914:
2900:
2889:
2870:
2857:
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2848:
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2822:
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2161:
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2102:
2083:
2070:
2062:
2061:
2039:
2029:
2008:
2006:
2004:
1977:
1956:
1954:
1947:
1934:
1932:
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1871:
1864:
1843:
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1563:
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1485:
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330:
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194:
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144:
125:
108:
106:
96:
83:
81:
79:
6661:(and is contained in the image of
6456:{\displaystyle \epsilon -\epsilon ^{2}}
7147:{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}.}
1733:{\displaystyle 0<\rho <\infty .}
8120:"Egorychev Method: A Hidden Treasure"
6772:Computation using formal power series
6621:does not intersect the branch cut
832:{\displaystyle 0<\rho <\infty }
307:{\displaystyle 0<\rho <\infty }
7:
317:Second binomial coefficient integral
68:First binomial coefficient integral
7981:
7978:
7975:
7731:
7728:
7725:
7599:
7596:
7593:
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7416:
7413:
7223:
7220:
7217:
6931:
6928:
6925:
6645:
6126:
6083:
5694:
5623:
4338:to infinity to obtain for the sum
4122:
4062:
3976:
3954:
3781:
3719:
3488:
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2166:
2013:
1961:
1939:
1878:
1848:
1826:
1724:
1494:
1491:
1488:
1448:
1429:Stirling number of the second kind
1166:
1163:
1160:
1120:
890:
887:
884:
826:
640:
637:
634:
364:
361:
358:
337:
301:
115:
112:
109:
88:
14:
8103:. American Mathematical Society.
6387:{\displaystyle \epsilon <1/2.}
1101:Stirling number of the first kind
4982:{\displaystyle |z|=\varepsilon }
2294:This yields for the sum :
8118:Riedel, Marko; Mahmoud, Hosam.
5098:
5092:
4292:Observe that this is zero when
1418:{\displaystyle 0<\rho <1}
1090:{\displaystyle 0<\rho <1}
586:{\displaystyle 0<\rho <1}
8029:
8013:
7934:
7922:
7867:
7851:
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7079:
7063:
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7045:
7010:
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6976:
6963:
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6866:
6853:
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6810:
6677:
6669:
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6628:
6601:
6593:
6578:{\displaystyle \gamma <1/4}
6410:
6402:
6341:
6329:
6307:{\displaystyle |z/(1-z)|<1}
6294:
6290:
6278:
6266:
6034:
6022:
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4751:
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4681:
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4659:
4647:
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4556:
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4177:
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3648:
3619:
3609:
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3513:
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3417:
3365:
3352:
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3235:
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3170:
3118:
3105:
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3043:
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2766:
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2657:
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2332:
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1522:
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1507:
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975:
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872:
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857:
760:
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730:
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668:
659:
499:
486:
468:
460:
393:
380:
232:
219:
204:
196:
141:
128:
1:
8151:Factorial and binomial topics
6724:{\displaystyle \epsilon =1/3}
6690:{\displaystyle |z|=\epsilon }
6654:{\displaystyle [1/4,\infty )}
6430:comes to the origin is
6423:{\displaystyle |z|=\epsilon }
1906:which is claimed to be :
6758:{\displaystyle \gamma =2/27}
5002:{\displaystyle \varepsilon }
4024:Suppose we seek to evaluate
1747:Suppose we seek to evaluate
7197:{\displaystyle h(z)=z(1-z)}
6614:{\displaystyle |w|=\gamma }
5038:{\displaystyle |w|=\gamma }
4946:{\displaystyle w=z+\cdots }
4921:so that (observe that with
8172:
8133:10.1007/s44007-023-00065-y
3565:Extracting the residue at
6551:This also ensures that
6231:{\displaystyle \epsilon }
8156:Hypergeometric functions
5317:to get for the integral
4914:{\displaystyle z(1-z)=w}
4016:thus proving the claim.
6251:{\displaystyle \gamma }
6166:Here the mapping from
597:Exponentiation integral
8053:
7956:
7835:
7571:
7391:
7371:
7348:
7198:
7148:
7095:
7026:
6759:
6725:
6691:
6655:
6615:
6579:
6545:
6496:
6457:
6424:
6388:
6354:
6308:
6252:
6232:
6212:
6186:
6157:
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5802:
5572:
5308:
5143:
5039:
5003:
4983:
4947:
4915:
4871:
4332:
4312:
4311:{\displaystyle k>n}
4283:
4097:
4051:
4007:
3585:
3556:
3480:
3269:
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2286:
2144:
1991:
1897:
1799:
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1694:
1419:
1382:
1091:
1054:
833:
796:
587:
550:
308:
271:
54:Cauchy residue theorem
8054:
7957:
7836:
7572:
7392:
7372:
7349:
7199:
7149:
7096:
7027:
6760:
6726:
6692:
6656:
6616:
6580:
6546:
6502:for example
6497:
6458:
6425:
6389:
6355:
6309:
6253:
6233:
6213:
6187:
6158:
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5776:
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5309:
5144:
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5004:
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4948:
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4313:
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4031:
4008:
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3557:
3460:
3270:
2450:
2287:
2145:
1992:
1898:
1779:
1735:
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1383:
1092:
1055:
834:
797:
588:
551:
309:
272:
30:binomial coefficients
7969:
7848:
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7407:
7381:
7361:
7211:
7158:
7105:
7039:
6783:
6735:
6701:
6665:
6625:
6589:
6555:
6506:
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6364:
6318:
6262:
6242:
6222:
6196:
6170:
5592:
5324:
5159:
5052:
5013:
4993:
4957:
4925:
4884:
4345:
4322:
4296:
4112:
4028:
3598:
3569:
3284:
2300:
2156:
2003:
1910:
1754:
1709:
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1397:
1112:
1069:
854:
811:
608:
565:
327:
286:
78:
50:generating functions
6463:so we choose
6211:{\displaystyle w=0}
6185:{\displaystyle z=0}
3584:{\displaystyle w=0}
62:residue at infinity
8049:
7988:
7952:
7831:
7738:
7606:
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7426:
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7194:
7144:
7091:
7022:
6938:
6755:
6721:
6687:
6651:
6611:
6575:
6541:
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6384:
6350:
6304:
6248:
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6208:
6182:
6153:
6151:
5568:
5304:
5139:
5035:
4999:
4979:
4943:
4911:
4867:
4865:
4472:
4328:
4308:
4279:
4093:
4003:
4001:
3581:
3552:
3265:
3263:
2282:
2140:
1987:
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1730:
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1501:
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1173:
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1050:
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7973:
7797:
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7723:
7688:
7629:
7591:
7580:or alternatively
7536:
7449:
7411:
7390:{\displaystyle h}
7370:{\displaystyle g}
7310:
7253:
7215:
7139:
7089:
7020:
6986:
6955:
6923:
6910:
6876:
6845:
6802:
6697:). For example
6138:
6114:
6095:
6074:
6041:
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5774:
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4331:{\displaystyle k}
4318:so we may extend
4267:
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3961:
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3074:
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2912:
2842:
2788:
2737:
2688:
2670:
2613:
2570:
2504:
2448:
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2324:
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1863:
1833:
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1581:
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1486:
1482:
1455:
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