1826:
3374:
2123:
1514:
3203:
1834:
1821:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\;\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\;\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx}
2588:
2433:
2949:
3369:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left&\leq 2^{\frac {(1-\delta )}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1-\delta }{2}}\right)}{\sigma ^{\delta }{\sqrt {2\pi }}}}{\text{ irrespective of the value of }}\mu \in \mathbb {R} .\end{aligned}}}
2295:
273:
2118:{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{f}(r)}(x)\;\chi _{E_{g}(s)}(x)\,dx\,dr\,ds=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{f}(r)\cap E_{g}(s)}(x)\,dx\,dr\,ds.}
2172:-dimensional Lebesgue measure we continue by estimating the volume of the intersection by the minimum of the volumes of the two sets. Then, we can use the equality of the volumes of the superlevel sets for the rearrangements:
627:
962:
882:
533:
3034:
3208:
2439:
2810:
2301:
1434:
1376:
1135:
1012:
1248:
2822:
3175:
3148:
2710:
722:
136:
2681:
2638:
2182:
693:
144:
3116:
1318:
1283:
1190:
1067:
1506:
1470:
450:
404:
330:
303:
3089:
2150:
2736:
748:
3195:
3069:
2170:
1210:
1155:
1087:
1032:
800:
780:
650:
424:
374:
354:
101:
70:
50:
538:
887:
807:
1215:
Now the proof can be obtained by first using Fubini's theorem to interchange the order of integration. When integrating with respect to
3441:
333:
3380:
The technique that is used to obtain the above property of the Normal distribution can be utilized for other unimodal distributions.
458:
2955:
3043:
The last identity follows by reversing the initial five steps that even work for general functions. This finishes the proof.
2583:{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left\{\mu (E_{f^{*}}(r)),\,\mu (E_{g^{*}}(s))\right\}\,dr\,ds.}
3433:
3394:
2741:
2428:{\displaystyle \leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left\{\mu (E_{f}(r)),\,\mu (E_{g}(s))\right\}\,dr\,ds}
1381:
1323:
759:
1092:
969:
3389:
2944:{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(E_{f^{*}}(r)\cap E_{g^{*}}(s)\right)\,dr\,ds}
29:
1218:
3153:
3529:
17:
3121:
2686:
698:
112:
2290:{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(E_{f}(r)\cap E_{g}(s)\right)\,dr\,ds}
268:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}
73:
2643:
2600:
655:
3094:
1288:
1253:
1160:
1037:
3506:
3437:
1475:
1439:
3496:
429:
382:
308:
281:
3421:
3074:
2135:
107:
2715:
727:
3460:
3180:
3054:
2155:
1195:
1140:
1072:
1017:
785:
765:
635:
409:
359:
339:
86:
76:
55:
35:
3523:
3399:
3425:
3464:
25:
3510:
104:
3118:, then using the Hardy–Littlewood inequality, it can be proved that for
80:
3501:
3484:
622:{\displaystyle \quad E_{f^{*}}(r)=\left\{x\in X:f^{*}(x)>r\right\}}
957:{\displaystyle \quad g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds}
877:{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\quad }
3432:. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14 (2nd ed.).
528:{\displaystyle E_{f}(r)=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}\quad }
3029:{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}
3206:
3183:
3156:
3124:
3097:
3077:
3057:
2958:
2825:
2744:
2718:
2689:
2646:
2603:
2442:
2304:
2185:
2158:
2138:
1837:
1571:
1517:
1478:
1442:
1384:
1326:
1291:
1256:
1221:
1198:
1163:
1143:
1095:
1075:
1040:
1020:
972:
890:
810:
788:
768:
730:
701:
658:
638:
541:
461:
432:
412:
385:
362:
342:
311:
284:
147:
115:
89:
58:
38:
3485:"Geometric ergodicity for Bayesian shrinkage models"
3368:
3189:
3169:
3142:
3110:
3083:
3063:
3028:
2943:
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2704:
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1061:
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1006:
956:
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621:
527:
444:
418:
398:
368:
348:
324:
297:
267:
130:
95:
64:
44:
2805:{\displaystyle E_{f^{*}}(r)\,\cap \,E_{g^{*}}(s)}
2476:
2338:
2812:is exactly the smaller one of the two balls:
8:
3466:A Short Course on Rearrangement Inequalities
3234:
3227:
3177:reciprocal moment for the absolute value of
1429:{\displaystyle x\mapsto \chi _{E_{g}(s)}(x)}
1371:{\displaystyle x\mapsto \chi _{E_{f}(r)}(x)}
3455:
3453:
3416:
3414:
1925:
1770:
1638:
1130:{\displaystyle s\mapsto \chi _{g(x)>s}}
1007:{\displaystyle r\mapsto \chi _{f(x)>r}}
3500:
3355:
3354:
3343:
3330:
3324:
3296:
3286:
3261:
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3205:
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3161:
3155:
3123:
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3096:
3076:
3056:
3019:
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2985:
2973:
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2968:
2966:
2957:
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2871:
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2833:
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2780:
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2771:
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2749:
2743:
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2692:
2691:
2688:
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2651:
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2253:
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2091:
2065:
2043:
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2026:
2022:
2021:
2019:
2009:
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1968:
1961:
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1899:
1894:
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1878:
1877:
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1850:
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1600:
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911:
889:
866:
845:
835:
830:
809:
787:
767:
762:allows us to write the general functions
729:
708:
704:
703:
700:
668:
663:
657:
637:
593:
552:
547:
540:
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460:
431:
426:is defined via the property that for all
411:
390:
384:
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341:
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122:
118:
117:
114:
88:
57:
37:
3345: irrespective of the value of
3410:
3483:Pal, Subhadip; Khare, Kshitij (2014).
2597:Now, we use that the superlevel sets
1243:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
7:
3170:{\displaystyle \delta ^{\text{th}}}
652:-dimensional Lebesgue measure) and
334:symmetric decreasing rearrangements
3289:
3211:
3071:is Normally distributed with mean
2854:
2839:
2471:
2456:
2333:
2318:
2214:
2199:
2010:
1995:
1866:
1851:
1740:
1725:
1649:
1601:
917:
836:
14:
3143:{\displaystyle 0<\delta <1}
750:, i.e. it has maximal symmetry.
3489:Electronic Journal of Statistics
2705:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1436:appear with the superlevel sets
717:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
131:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
891:
873:
542:
524:
3276:
3264:
3016:
3010:
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2913:
2890:
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2799:
2793:
2768:
2762:
2670:
2664:
2627:
2621:
2555:
2552:
2546:
2526:
2516:
2513:
2507:
2487:
2403:
2400:
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2381:
2371:
2368:
2362:
2349:
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2243:
2237:
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2082:
2077:
2071:
2055:
2049:
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1947:
1941:
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1779:
1759:
1753:
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1662:
1620:
1614:
1558:
1552:
1546:
1540:
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1489:
1459:
1453:
1423:
1417:
1412:
1406:
1388:
1365:
1359:
1354:
1348:
1330:
1301:
1295:
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1260:
1179:
1173:
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676:
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510:
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472:
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249:
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230:
188:
182:
176:
170:
1:
3434:American Mathematical Society
3091:and finite non-zero variance
379:The decreasing rearrangement
2676:{\displaystyle E_{g^{*}}(s)}
2633:{\displaystyle E_{f^{*}}(r)}
688:{\displaystyle E_{f^{*}}(r)}
3111:{\displaystyle \sigma ^{2}}
22:Hardy–Littlewood inequality
3546:
3395:Chebyshev's sum inequality
452:the two super-level sets
1313:{\displaystyle g(x)>s}
1278:{\displaystyle f(x)>r}
1185:{\displaystyle s<g(x)}
1089:otherwise. Analogously,
1062:{\displaystyle r<f(x)}
760:layer cake representation
3390:Rearrangement inequality
1501:{\displaystyle E_{g}(s)}
1465:{\displaystyle E_{f}(r)}
1320:the indicator functions
30:John Edensor Littlewood
3370:
3191:
3171:
3144:
3112:
3085:
3065:
3030:
2945:
2806:
2732:
2706:
2677:
2634:
2584:
2429:
2291:
2166:
2146:
2119:
1822:
1508:as introduced above:
1502:
1466:
1430:
1372:
1314:
1279:
1244:
1206:
1186:
1151:
1131:
1083:
1063:
1028:
1008:
958:
878:
796:
776:
744:
718:
689:
646:
632:have the same volume (
623:
529:
446:
445:{\displaystyle r>0}
420:
400:
370:
350:
326:
299:
269:
132:
97:
66:
46:
3371:
3192:
3172:
3145:
3113:
3086:
3066:
3031:
2946:
2807:
2738:, which implies that
2733:
2707:
2678:
2635:
2585:
2430:
2292:
2167:
2147:
2120:
1823:
1503:
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1431:
1373:
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1280:
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1064:
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745:
719:
690:
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530:
447:
421:
401:
399:{\displaystyle f^{*}}
371:
351:
327:
325:{\displaystyle g^{*}}
300:
298:{\displaystyle f^{*}}
270:
133:
98:
67:
47:
18:mathematical analysis
3204:
3181:
3154:
3122:
3095:
3084:{\displaystyle \mu }
3075:
3055:
3051:Let random variable
2956:
2823:
2742:
2716:
2687:
2644:
2601:
2440:
2302:
2183:
2156:
2145:{\displaystyle \mu }
2136:
1835:
1515:
1476:
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766:
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636:
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410:
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360:
340:
309:
282:
145:
113:
87:
83:that are defined on
56:
36:
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2843:
2731:{\displaystyle x=0}
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