2216:
3226:
2853:
2379:
2669:
1455:
1197:
1930:
1835:
2551:
126:
3039:
2766:
2916:
709:
1671:
1983:
3078:
884:
1582:
3321:
3287:
2703:
1011:
2777:
741:
3253:
582:
2252:
396:
2576:
1252:
303:
235:
1017:
1841:
1746:
3539:
2390:
3529:
3379:
3359:
66:
2924:
3585:
2711:
2861:
948:
A triple system is said to be a Jordan triple system if the trilinear map, denoted {.,.,.}, satisfies the following identities:
674:
3645:
1626:
3448:
3429:
1684:. It has a noncompact dual given by replacing the Cartan involution by its composite with the involution equal to +1 on
2211:{\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}
3443:
3424:
3221:{\displaystyle \mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-}).}
1711:
1202:
The first identity abstracts the symmetry of the triple anticommutator, while the second identity means that if L
180:
3337:
1715:
932:
with such a symmetric decomposition (i.e., it is the Lie algebra of a symmetric space), the triple bracket ,
757:
1498:
3569:
3438:
3292:
3258:
2848:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1}}
2677:
954:
21:
3548:
3419:
717:
3625:
3234:
628:
3466:
402:
144:
3615:
3407:
3581:
3525:
3472:
3375:
3355:
1977:). The other Jordan axiom (apart from symmetry) is likewise replaced by two axioms, one being
1681:
184:
2374:{\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}}
3591:
3519:
3505:
3399:
2664:{\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})}
1450:{\displaystyle :=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}
3595:
1677:
1609:
is positive definite (resp. nondegenerate). In either case, there is an identification of
922:
894:
592:
309:
176:
140:
55:
3629:
3560:
1726:
A Jordan pair is a generalization of a Jordan triple system involving two vector spaces
1192:{\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x\},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.}
243:
172:
202:
3639:
3603:
588:
3510:
2556:
which imply that the images of L and L are closed under commutator brackets in End(
44:
25:
1925:{\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}}
1830:{\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+}}
3369:
2705:, and the Jordan identities become Jacobi identities for a graded Lie bracket on
3374:, Graduate Studies in Mathematics, vol. 34, American Mathematical Society,
168:
595:
for the triple commutator, while the third identity means that the linear map L
3332:
3072:
are dual to one another, with dual trilinear maps determined by an element of
1676:
which in the positive definite case is a Cartan involution. The corresponding
152:
3476:
2384:
and similarly L. The Jordan axioms (apart from symmetry) may then be written
2546:{\displaystyle =L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}
1492:
Any Jordan triple system is a Lie triple system with respect to the product
2221:
and the other being the analogue with + and − subscripts exchanged.
3547:, Mathematical lectures, University of California, Irvine, archived from
3580:, Mathematics and its Applications, vol. 393, Kluwer, p. 92,
3411:
32:
3255:
above is semisimple, when the
Killing form provides a duality between
175:
defines a Jordan triple system. They are important in the theories of
3620:
3403:
121:{\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\times V\times V\to V.}
3034:{\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=,Z_{\pm }].}
1740:. The trilinear map is then replaced by a pair of trilinear maps
1482:} is closed under commutator bracket, and hence is a Lie algebra
3604:"Moore-Penrose inverse, parabolic subgroups, and Jordan pairs"
631:
of the triple product. The identity also shows that the space
3058:
and equal trilinear maps. Another important case occurs when
2224:
As in the case of Jordan triple systems, one can define, for
2761:{\displaystyle V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},}
2911:{\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})}
657:} is closed under commutator bracket, hence a Lie algebra.
3390:
Jacobson, Nathan (1949), "Lie and Jordan triple systems",
3354:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1754, Springer,
3524:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 460, Springer,
704:{\displaystyle {\mathfrak {g}}:=k\oplus {\mathfrak {m}}}
3371:
Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces
1666:{\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}}
1613:
with its dual space, and a corresponding involution on
3295:
3261:
3237:
3081:
2927:
2864:
2780:
2714:
2680:
2579:
2393:
2255:
1986:
1844:
1749:
1629:
1501:
1255:
1020:
957:
760:
720:
677:
405:
312:
246:
205:
69:
3458:
An elementary approach to bounded symmetric domains
3315:
3281:
3247:
3220:
3033:
2910:
2847:
2760:
2697:
2663:
2545:
2373:
2210:
1924:
1829:
1699:. A special case of this construction arises when
1665:
1576:
1449:
1191:
1005:
878:
735:
703:
576:
390:
297:
229:
120:
3471:, Symmetric spaces, vol. 1, W. A. Benjamin,
1714:of compact and noncompact type (the latter being
3487:, Symmetric spaces, vol. 2, W. A. Benjamin
3498:Bulletin of the American Mathematical Society
3492:Loos, Ottmar (1971), "Jordan triple systems,
8:
3044:Jordan triple systems are Jordan pairs with
2968:
2928:
2521:
2502:
2478:
2459:
2362:
2343:
2199:
2177:
2158:
2155:
2143:
2127:
2108:
2099:
2087:
2077:
2058:
2043:
2031:
2021:
2002:
1987:
1864:
1845:
1769:
1750:
1568:
1550:
1544:
1526:
1436:
1418:
1405:
1387:
1183:
1168:
1150:
1147:
1141:
1132:
1114:
1105:
1099:
1096:
1078:
1063:
1057:
1054:
1036:
1021:
1000:
982:
976:
958:
3541:Bounded symmetric domains and Jordan pairs
901:is a connected Lie group with Lie algebra
3619:
3509:
3496:-spaces, and bounded symmetric domains",
3352:The geometry of Jordan and Lie structures
3304:
3298:
3297:
3294:
3270:
3264:
3263:
3260:
3239:
3238:
3236:
3206:
3196:
3178:
3169:
3164:
3154:
3141:
3136:
3126:
3110:
3100:
3082:
3080:
3019:
3003:
2990:
2971:
2961:
2948:
2935:
2926:
2896:
2890:
2889:
2876:
2870:
2869:
2863:
2836:
2830:
2829:
2819:
2813:
2812:
2799:
2793:
2792:
2782:
2781:
2779:
2749:
2736:
2730:
2729:
2719:
2713:
2689:
2683:
2682:
2679:
2652:
2636:
2635:
2623:
2607:
2606:
2597:
2584:
2578:
2537:
2524:
2501:
2488:
2481:
2452:
2436:
2425:
2412:
2401:
2392:
2365:
2325:
2314:
2304:
2297:
2284:
2271:
2260:
2254:
2202:
2180:
2146:
2130:
2090:
2080:
2034:
2024:
1985:
1935:which are often viewed as quadratic maps
1916:
1903:
1893:
1880:
1867:
1843:
1821:
1808:
1798:
1785:
1772:
1748:
1657:
1644:
1638:
1637:
1628:
1500:
1417:
1380:
1361:
1342:
1323:
1304:
1282:
1263:
1254:
1019:
956:
828:
759:
727:
723:
722:
719:
695:
694:
679:
678:
676:
404:
311:
245:
204:
68:
2570:). Together they determine a linear map
1460:so that the space of linear maps span {L
3562:Lectures on algebras and triple systems
2858:is a graded Lie algebra, then the pair
879:{\displaystyle =(+L_{u,v},L(v)-M(u)).}
587:The first two identities abstract the
237:, satisfies the following identities:
1587:A Jordan triple system is said to be
1577:{\displaystyle =\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}
7:
3316:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}
3282:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+1}}
171:defines a Lie triple system and any
3299:
3265:
3240:
2891:
2871:
2831:
2814:
2794:
2783:
2731:
2698:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
2684:
2640:
2637:
2611:
2608:
1639:
1006:{\displaystyle \{u,v,w\}=\{u,w,v\}}
897:for this Lie bracket, and hence if
696:
680:
3185:
3182:
3179:
3089:
3086:
3083:
147:closed under triple commutators ,
16:For an account of that concept in
14:
3485:Compact Spaces and Classification
1706:preserves a complex structure on
3460:, Lecture Notes, Rice University
2918:is a Jordan pair, with brackets
2674:whose image is a Lie subalgebra
928:Conversely, given a Lie algebra
736:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
195:A triple system is said to be a
131:The most important examples are
3511:10.1090/s0002-9904-1971-12753-2
3392:American Journal of Mathematics
3248:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3231:These arise in particular when
2309:
2303:
1620:. They induce an involution of
909:is a subgroup with Lie algebra
3212:
3189:
3116:
3093:
3025:
3009:
2983:
2980:
2905:
2865:
2658:
2645:
2629:
2616:
2603:
2442:
2394:
2337:
2331:
2290:
1909:
1814:
1710:. In this case we obtain dual
1520:
1502:
1294:
1256:
870:
867:
861:
852:
846:
818:
806:
803:
797:
794:
782:
776:
764:
761:
577:{\displaystyle ]=,x,y]+,y]+].}
568:
565:
547:
532:
526:
517:
499:
490:
484:
469:
451:
448:
442:
439:
421:
406:
379:
361:
355:
337:
331:
313:
292:
274:
265:
247:
224:
206:
199:if the trilinear map, denoted
143:in 1949 to study subspaces of
109:
88:
70:
1:
187:and their noncompact duals).
3368:Helgason, Sigurdur (2001) ,
3444:Encyclopedia of Mathematics
3425:Encyclopedia of Mathematics
183:and their generalizations (
3662:
3350:Bertram, Wolfgang (2000),
1712:Hermitian symmetric spaces
1595:) if the bilinear form on
940:into a Lie triple system.
181:Hermitian symmetric spaces
139:. They were introduced by
15:
3576:Rosenfeld, Boris (1997),
3437:Kamiya, Noriaki (2001) ,
3418:Kamiya, Noriaki (2001) ,
1716:bounded symmetric domains
1599:defined by the trace of L
743:-graded Lie algebra, the
3338:Quadratic Jordan algebra
2771:so that conversely, if
895:symmetric decomposition
167:}}. In particular, any
3578:Geometry of Lie groups
3570:University of Virginia
3518:Loos, Ottmar (2006) ,
3439:"Jordan triple system"
3317:
3283:
3249:
3222:
3035:
2912:
2849:
2762:
2699:
2665:
2547:
2375:
2212:
1926:
1831:
1667:
1578:
1451:
1193:
1007:
880:
737:
705:
578:
392:
299:
231:
122:
3646:Representation theory
3608:Journal of Lie Theory
3538:Loos, Ottmar (1977),
3483:Loos, Ottmar (1969),
3465:Loos, Ottmar (1969),
3318:
3284:
3250:
3223:
3036:
2913:
2850:
2763:
2700:
2666:
2548:
2376:
2213:
1927:
1832:
1668:
1579:
1452:
1194:
1008:
944:Jordan triple systems
889:The decomposition of
881:
738:
706:
579:
393:
300:
232:
137:Jordan triple systems
123:
22:Steiner triple system
3602:Tevelev, E. (2002),
3559:Meyberg, K. (1972),
3456:Koecher, M. (1969),
3293:
3259:
3235:
3079:
2925:
2862:
2778:
2712:
2678:
2577:
2391:
2253:
1984:
1842:
1747:
1627:
1499:
1253:
1018:
955:
758:
718:
675:
403:
391:{\displaystyle ++=0}
310:
244:
203:
145:associative algebras
67:
3630:2001math......1107T
3420:"Lie triple system"
3174:
3146:
2542:
2493:
2441:
2417:
2330:
2276:
714:can be made into a
3313:
3279:
3245:
3218:
3160:
3132:
3031:
2908:
2845:
2758:
2695:
2661:
2543:
2497:
2448:
2421:
2397:
2371:
2310:
2256:
2208:
1922:
1827:
1663:
1574:
1447:
1189:
1003:
876:
745:standard embedding
733:
701:
668:, it follows that
574:
388:
298:{\displaystyle =-}
295:
227:
191:Lie triple systems
185:symmetric R-spaces
133:Lie triple systems
118:
3531:978-3-540-37499-2
3381:978-0-8218-2848-9
3361:978-3-540-41426-1
2307:
1682:symmetric R-space
1589:positive definite
197:Lie triple system
3653:
3632:
3623:
3598:
3572:
3567:
3555:
3553:
3546:
3534:
3514:
3513:
3488:
3479:
3461:
3451:
3432:
3414:
3384:
3364:
3322:
3320:
3319:
3314:
3312:
3311:
3303:
3302:
3288:
3286:
3285:
3280:
3278:
3277:
3269:
3268:
3254:
3252:
3251:
3246:
3244:
3243:
3227:
3225:
3224:
3219:
3211:
3210:
3201:
3200:
3188:
3173:
3168:
3159:
3158:
3145:
3140:
3131:
3130:
3115:
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